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二進(jìn)制

二進(jìn)制來(lái)自哲學(xué)，自然萬(wàn)物兩兩相對(duì)宾娜，白天與黑夜批狐、太陽(yáng)和月亮、蒼天與大地前塔、男人和女人嚣艇、寒冷與炎熱、甘甜和苦澀……我國(guó)傳統(tǒng)文化中的陰陽(yáng)學(xué)說(shuō)华弓、太極八卦食零，都是在講這些自然的本質(zhì)。

不光中國(guó)寂屏，在很久很久以前贰谣，世界各地的文明也都或多或少意識(shí)到了二進(jìn)制的意義娜搂，只是除了參悟哲學(xué)道理，一直沒(méi)有用到數(shù)學(xué)中去吱抚。

直到17～18世紀(jì)涌攻，數(shù)學(xué)上的二進(jìn)制才由萊布尼茨首次提出。萊布尼茨首先是位偉大的哲學(xué)家频伤，至簡(jiǎn)的理念始終貫穿在他的哲學(xué)和數(shù)學(xué)研究中恳谎。他認(rèn)為，任何數(shù)字都可以在0和1的基礎(chǔ)上產(chǎn)生憋肖。他對(duì)中國(guó)的哲學(xué)文化有著十分濃厚的興趣因痛，當(dāng)了解到《易經(jīng)》時(shí)，不禁感嘆其中充滿智慧的符號(hào)系統(tǒng)和他的二進(jìn)制理論竟如此相仿^[1]岸更。

那么鸵膏，“逢2進(jìn)1”的二進(jìn)制如何表示數(shù)字呢？我們知道怎炊，對(duì)于一個(gè)十進(jìn)制數(shù)谭企，從最右側(cè)的個(gè)位開(kāi)始，越往高位评肆，數(shù)位上的數(shù)字所代表的值越大债查，相鄰數(shù)位上相同的數(shù)字所代表的值相差10倍。比如1024中瓜挽，個(gè)位上的4代表3盹廷，十位上的2代表20，千位上的1則代表1000久橙，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是：

總結(jié)而言俄占，就是從右往左數(shù)，第n位上的數(shù)字所代表的值淆衷，是該數(shù)字與10^n-1的乘積缸榄。二進(jìn)制示數(shù)也遵循這一規(guī)則。對(duì)于一個(gè)全是1的二進(jìn)制數(shù)祝拯，從右往左甚带，第1位表示2⁰，第2位表示2¹鹿驼，第3位表示2²欲低，第4位表示2³，第5位表示2⁴畜晰，以此類推砾莱，第11位表示2¹⁰，即1024凄鼻。

下表羅列了部分常用的二進(jìn)制數(shù)腊瑟，在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域聚假，為了方便閱讀和處理，常常會(huì)以4位為單位在二進(jìn)制串前補(bǔ)零闰非。

萊布尼茨還設(shè)想過(guò)一種可以進(jìn)行二進(jìn)制加法的機(jī)械計(jì)算器膘格，這種機(jī)器需要有一排可以開(kāi)閉的洞口，洞口打開(kāi)表示1财松，洞口關(guān)閉表示0瘪贱，通過(guò)往洞中扔小彈珠表示加法，每個(gè)洞中最多只能存放1顆彈珠辆毡，每滿2顆它們就會(huì)一起從機(jī)器中滾出來(lái)菜秦，洞口也相應(yīng)關(guān)閉，高一位洞口則打開(kāi)舶掖。

一種可行的萊布尼茨二進(jìn)制加法器（圖片來(lái)自https://woodgears.ca/marbleadd/index.html）

布爾代數(shù)

萊布尼茨堅(jiān)信球昨，人類的思想和數(shù)字一樣可以化繁為簡(jiǎn)——所有思想都可以分解為數(shù)量不多的簡(jiǎn)單思想。這些簡(jiǎn)單思想通過(guò)一些既定規(guī)律眨攘，可以組成任意的復(fù)雜思想主慰，就像數(shù)學(xué)運(yùn)算一樣。當(dāng)兩個(gè)人發(fā)生了爭(zhēng)執(zhí)鲫售，他們可以把自己的觀點(diǎn)通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算的方式梳理出來(lái)共螺，誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)就一目了然了。

為了“計(jì)算”思想龟虎，萊布尼茨闡述了后來(lái)被稱為合攘Ы鳌（conjunction）、析壤鹜住（disjunction）、否定（negation）等的邏輯運(yùn)算規(guī)則拱雏，成為數(shù)理邏輯（mathematical logic）最早的探索者之一棉安。

但邏輯運(yùn)算在數(shù)學(xué)上的系統(tǒng)性定義，要等到19世紀(jì)由英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾（George Boole）首次提出铸抑。布爾分別在1847年和1854年發(fā)表了著名的《邏輯的數(shù)學(xué)分析》和《思維規(guī)律的研究》贡耽，將數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法引入到邏輯學(xué)中，被后人稱為布爾代數(shù)（Boolean algebra）鹊汛，邏輯運(yùn)算因而也叫布爾運(yùn)算蒲赂。

喬治·布爾（George Boole），1815-1864刁憋，英國(guó)數(shù)學(xué)家滥嘴、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家至耻。（圖片來(lái)自維基百科）

下面通過(guò)一個(gè)例子介紹簡(jiǎn)單一下邏輯運(yùn)算若皱，假設(shè)有X镊叁、Y兩個(gè)命題。

X：?jiǎn)讨巍げ紶柊l(fā)明了二進(jìn)制走触。
Y：?jiǎn)讨巍げ紶杽?chuàng)立了布爾代數(shù)晦譬。

顯然，X命題是錯(cuò)的互广，Y命題是對(duì)的敛腌。在邏輯學(xué)中，我們稱：X命題為假惫皱，Y命題為真迎瞧。如果用連詞將X、Y兩句話連起來(lái)說(shuō)呢逸吵？

比如：?jiǎn)讨巍げ紶柊l(fā)明了二進(jìn)制且創(chuàng)立了布爾代數(shù)凶硅。這句話是錯(cuò)的，即“X且Y”的組合命題為假扫皱。

再比如：?jiǎn)讨巍げ紶柊l(fā)明了二進(jìn)制或創(chuàng)立了布爾代數(shù)足绅。這句話是對(duì)的，即“X或Y”的組合命題為真韩脑。

這就是邏輯學(xué)中的合取與析取氢妈，也稱邏輯與和邏輯或。

當(dāng)然段多，也有對(duì)單個(gè)命題的邏輯運(yùn)算首量，比如：?jiǎn)讨巍げ紶枦](méi)有發(fā)明二進(jìn)制。這句話是對(duì)的进苍，即“非X”為真加缘。

這就是邏輯學(xué)中的否定，也稱邏輯非觉啊。

與拣宏、或、非是3種最基本杠人、最常用的邏輯運(yùn)算勋乾。將它們組合起來(lái)，還可以形成與非嗡善、或非辑莫、異或、同或等復(fù)雜邏輯運(yùn)算罩引。歷史上各吨，布爾和許多其他邏輯學(xué)家曾使用過(guò)各種層出不窮的符號(hào)來(lái)表示它們，如今蜒程，我們常用下表中的表達(dá)形式绅你。

邏輯運(yùn)算	英文縮寫	表達(dá)式
與	AND
或	OR
非	NOT
與非	NAND
或非	NOR
異或	XOR
同或	XNOR

其中伺帘，異或和同或其實(shí)意如其名，只是表達(dá)式有點(diǎn)抽象忌锯，它們的展開(kāi)式十分容易理解：

而邏輯命題的真假像極了二進(jìn)制中的1和0伪嫁，布爾代數(shù)自然而然選擇用1表示真、0表示假偶垮。

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的邏輯推演张咳，我們就能得到這些邏輯運(yùn)算在所有情況下的結(jié)果：

不難發(fā)現(xiàn)，邏輯運(yùn)算和二進(jìn)制運(yùn)算有著極高的一致性似舵，除了有點(diǎn)違反直覺(jué)的：

更巧合的是脚猾，邏輯運(yùn)算和數(shù)學(xué)運(yùn)算一樣滿足交換律、結(jié)合律和分配律等各種運(yùn)算規(guī)則砚哗，比如：

數(shù)字電路

20世紀(jì)龙助，隨著繼電器電路的發(fā)展，許多科學(xué)家開(kāi)始將二進(jìn)制蛛芥、布爾代數(shù)和電路聯(lián)系到一起提鸟，最終，由美國(guó)一位名為克勞德·香農(nóng)（Claude Shannon）的數(shù)學(xué)家做出了完整闡釋仅淑。1938年称勋，就讀于麻省理工學(xué)院的香農(nóng)發(fā)表了他那篇著名的碩士論文《繼電器與開(kāi)關(guān)電路的符號(hào)分析》，奠定了數(shù)字電路的理論基礎(chǔ)涯竟。

克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)（Claude Elwood Shannon）赡鲜，1916-2001，美國(guó)數(shù)學(xué)家庐船、電氣工程師银酬、信息論創(chuàng)始人。（圖片來(lái)自維基百科）

開(kāi)關(guān)電路就是有接通和斷開(kāi)兩種狀態(tài)的電路醉鳖，繼電器電路就是一種典型的開(kāi)關(guān)電路捡硅。當(dāng)我們用X、Y等字母表示開(kāi)關(guān)電路盗棵，將兩者串聯(lián)就可以表示邏輯與，將兩者并聯(lián)就可以表示邏輯或北发。

香農(nóng)的邏輯電路

那么邏輯非如何如何實(shí)現(xiàn)呢纹因？還記得有兩個(gè)靜觸點(diǎn)的電磁繼電器嗎奢方？如果X表示常閉觸點(diǎn)所在的工作電路再芋，便是常開(kāi)觸點(diǎn)所在的工作電路，兩者的通斷永遠(yuǎn)互斥瓢喉。

有了與狱庇、或惊畏、非3種基礎(chǔ)邏輯電路恶耽，異或等復(fù)雜邏輯電路也就不難搭建了。

如此一來(lái)颜启，電路就徹底數(shù)字化了偷俭，原本物理的連接可以用數(shù)學(xué)來(lái)表示，是為數(shù)字電路缰盏。香農(nóng)認(rèn)為涌萤，基于布爾代數(shù)，再?gòu)?fù)雜的電路都可以用表達(dá)式條理清晰地設(shè)計(jì)出來(lái)口猜，更重要的是可以等效化簡(jiǎn)负溪。香農(nóng)的研究成為后來(lái)二進(jìn)制機(jī)電計(jì)算機(jī)和電子計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的理論支柱。

邏輯門

邏輯電路發(fā)展成熟后济炎，工程師們更多地把它們作為一種電路中的元器件（而不是電路本身）使用川抡。他們不關(guān)心這些元器件的內(nèi)部實(shí)現(xiàn)，更關(guān)注當(dāng)代表0或1的信號(hào)從它們的輸入端進(jìn)去须尚，從輸出端出來(lái)的是0還是1崖堤。這種通過(guò)邏輯電路實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制信號(hào)轉(zhuǎn)換的元器件稱為邏輯門（logic gate），門的概念很形象恨闪，二進(jìn)制數(shù)據(jù)可以從門通過(guò)倘感，也可能被門擋住，龐雜的計(jì)算機(jī)電路正是靠著一扇扇這樣的門組合而成的咙咽。下圖為IEEE和IEC^[2]標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的邏輯門符號(hào)老玛，統(tǒng)一的矩形表示更有利于繪制復(fù)雜的集成電路，信號(hào)從矩形左側(cè)進(jìn)入钧敞，從矩形右側(cè)輸出蜡豹。

邏輯門的符號(hào)表示

組合邏輯電路

邏輯門像一塊塊標(biāo)準(zhǔn)化的積木，我們可以用這些積木靈活地搭建出實(shí)現(xiàn)各種功能的組合邏輯電路溉苛。舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子——二進(jìn)制加法器镜廉。要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)的相加，首先要實(shí)現(xiàn)單個(gè)數(shù)位的兩兩相加愚战。用A和B表示兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)某一位上的值娇唯，C_in表示來(lái)自低位的進(jìn)位值，S和C_out表示A+B+C_in之后該位的值和向高位產(chǎn)生的進(jìn)位值寂玲，得單數(shù)位的加法真值表：

用2個(gè)異或門和3個(gè)與非門即可實(shí)現(xiàn)這一邏輯塔插，有興趣的讀者可以取幾組值驗(yàn)證一下。二進(jìn)制數(shù)有多少位拓哟，就需要多少個(gè)圖中的邏輯電路想许，相鄰數(shù)位的低位C_out與高位C_in相連，最低位的C_in永遠(yuǎn)為0。

單數(shù)位二進(jìn)制加法邏輯電路

減法以及其他更復(fù)雜的運(yùn)算流纹，乃至控制邏輯也可以如法炮制糜烹。

最重要的是，開(kāi)關(guān)電路僅僅是邏輯電路的實(shí)現(xiàn)途徑之一漱凝，其實(shí)不論任何材料疮蹦，所組成的基礎(chǔ)元件只要能表達(dá)出兩種狀態(tài)、能在兩種狀態(tài)之間切換碉哑，并能將狀態(tài)傳遞給其他基礎(chǔ)元件挚币，都可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)邏輯電路以及邏輯門。邏輯門一旦實(shí)現(xiàn)扣典，二進(jìn)制計(jì)算機(jī)的建造就像搭積木一樣簡(jiǎn)單了妆毕。這種基礎(chǔ)元件的等效性，是可以用不同材料來(lái)建造計(jì)算機(jī)的本質(zhì)原因贮尖。在本章笛粘，我們甚至?xí)?jiàn)到純機(jī)械的邏輯門，那是建筑二進(jìn)制計(jì)算機(jī)的第一批積木湿硝，它們尚與電路和電子無(wú)關(guān)薪前，而是由鋼鐵制成的。

參考文獻(xiàn)

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• Wikipedia. Adder (electronics)[EB/OL].

1. 關(guān)于萊布尼茨是獨(dú)立發(fā)明的二進(jìn)制关斜，還是受了《易經(jīng)》啟發(fā)的爭(zhēng)論由來(lái)已久示括，事實(shí)上，二進(jìn)制在很多文化中都早有出現(xiàn)痢畜，也有很多先人對(duì)它進(jìn)行過(guò)思考和探討垛膝，二進(jìn)制是人類文明發(fā)展到一定程度的必然結(jié)果，只是需要某個(gè)人把它系統(tǒng)地整理出來(lái)而已丁稀，而萊布尼茨就是這個(gè)人吼拥。 ?

2. IEC：國(guó)際電工委員會(huì)（International Electrotechnical Commission），世界上成立最早的電工標(biāo)準(zhǔn)化機(jī)構(gòu)线衫，在電子電氣領(lǐng)域制定國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)凿可。 ?