課程視頻地址：
http://open.163.com/movie/2010/11/7/3/M6V0BQC4M_M6V29E773.htm
課程筆記轉(zhuǎn)自以下地址（加上一些個人見解的補充）：
http://nbviewer.jupyter.org/github/zlotus/notes-linear-algebra/blob/master/chapter01.ipynb
簡書好像沒有輸入公式的語法？所以方程組和矩陣都截圖貼過來了。剩辟。。
1. 方程組和 “行圖像” 和 “列圖像”
- 行圖像
我們從求解線性方程組來開始這門課，從一個普通的例子講起：方程組有2個未知數(shù)乏苦，一共有2個方程六荒，分別來看方程組的“行圖像”和“列圖像”。
有方程組：
寫作矩陣形式有：
通常我們把第一個矩陣稱為系數(shù)矩陣A蝗砾，將第二個矩陣稱為向量x先较，將第三個矩陣稱為向量b，于是線性方程組可以表示為Ax=b悼粮。
那么闲勺，在直角坐標系中，這個方程組的行圖像可以表示為：
在二維直角坐標系中扣猫，每個方程代表一條直線菜循。上圖是我們都很熟悉的直角坐標系中兩直線相交的情況，相交的點即是方程組的解申尤。
- 列圖像
接下來我們按列觀察方程組：
我們把第一個向量稱作col1癌幕，第二個向量稱作col2衙耕，以表示第一列向量和第二列向量，要使得式子成立勺远，需要第一個向量加上兩倍的第二個向量橙喘，即：
在二維平面上畫出上面的列向量（即方程組的"列圖像"）：
如上圖，綠向量col1與藍向量（兩倍的藍綠向量col2）合成紅向量b胶逢。
col1,col2 的某種線性組合得到了向量b，那么col1,col2的所有線性組合能夠得到什么結(jié)果宪塔？它們將鋪滿整個平面磁奖。
2. 三個未知數(shù)的方程組
有方程組：
寫作矩陣形式：
在三維直角坐標系中，每一個方程將確定一個平面某筐，而例子中的三個平面會相交于一點比搭，這個點就是方程組的解。
同樣的南誊，將方程組寫成列向量的線性組合身诺，觀察列圖像：
這里是教授特意安排的例子中最后一個列向量恰巧等于等式右邊的b向量，所以我們需要的線性組合為x=0,y=0,z=1抄囚。假設(shè)我們令：
則需要的線性組合為x=1,y=1,z=0霉赡。
我們并不能總是這么輕易的求出正確的線性組合，所以下一講將介紹消元法——一種線性方程組的系統(tǒng)性解法幔托。
3. 方程組是否都有解穴亏？
現(xiàn)在，我們需要考慮重挑，對于任意的b嗓化，是否都能求解Ax=b？用列向量線性組合的觀點闡述就是谬哀，列向量的線性組合能否覆蓋整個三維向量空間刺覆？對上面這個例子，答案是肯定的史煎，這個例子中的A是我們喜歡的矩陣類型谦屑，但是對另一些矩陣，答案是否定的篇梭。那么在什么情況下氢橙，三個向量的線性組合得不到b？
如果三個向量在同一個平面上恬偷，問題就出現(xiàn)了——那么他們的線性組合也一定都在這個平面上悍手。舉個例子，比如col3=col1+col2，那么不管怎么組合谓苟，這三個向量的結(jié)果都逃不出這個平面，因此當b在平面內(nèi)协怒，方程組有解涝焙，而當b不在平面內(nèi)，這三個列向量就無法構(gòu)造出b孕暇。在后面的課程中仑撞，我們會了解到這種情形稱為奇異、矩陣不可逆妖滔。
下面我們推廣到九維空間隧哮，每個方程有九個未知數(shù)，共九個方程座舍，此時已經(jīng)無法從坐標圖像中描述問題了沮翔，但是我們依然可以從求九維列向量線性組合的角度解決問題，仍然是上面的問題曲秉，是否總能得到b采蚀？當然這仍取決于這九個向量，如果我們?nèi)∫恍┎⒉幌嗷オ毩⒌南蛄砍卸瑒t答案是否定的榆鼠，比如取了九列但實只相當于八列，有一列毫無貢獻（這一列是前面列的某種線性組合）亥鸠，則會有一部分b無法求得妆够。
4. 矩陣乘以向量的計算
接下來介紹方程的矩陣形式Ax=b，這是一種乘法運算负蚊，舉個例子神妹，取
來看如何計算矩陣乘以向量：
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一種方法是，使用列向量線性組合的方式盖桥，一次計算一列：
11.png -
另一種方法灾螃，使用向量內(nèi)積，矩陣第一行向量點乘x向量（如何點乘揩徊？百度一下腰鬼，你就知道）：
12.png
教授建議使用第一種方法，將Ax看做A列向量的線性組合塑荒。
