一蜈缤、兩向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
****1****．?dāng)?shù)量積的定義****
向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)的數(shù)量積為
其中θ為向量a與b之夾角，規(guī)定0≤θ≤π.
****2****．兩向量的夾角****
兩非零向量a與b的夾角余弦計(jì)算公式為
****3****．?dāng)?shù)量積的幾何應(yīng)用****
(1)向量垂直關(guān)系的判定：
(2)向量的投影：
【注】：零向量與任何向量垂直.
****4****．向量積的物理應(yīng)用****
常力F拉物體沿位移S所做的功W為
W=F?S.
二禁炒、兩向量的向量積及其應(yīng)用
****1****．向量積的定義****
兩向量a=(a1,a2,a3),** b=(b1,b2,b3)的向量積**定義
【注】:兩向量的數(shù)量積為一個(gè)數(shù)量，而兩向量的向量積為一個(gè)向量．
關(guān)于向量a漫蛔，b的向量積抛蚤，有：
(1) aⅹb與a低淡，b分別垂直姓言；
(2)a，b與aⅹb服從右手法則蔗蹋；
(3)|aⅹb|=|a||b|sinθ何荚，其中θ為向量a，b間的夾角．
****2****．向量積的幾何應(yīng)用****
****3****．向量積的物理應(yīng)用****
設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn)猪杭，有一個(gè)力F作用于這杠桿上點(diǎn)P處兽泣，則力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩M為
三、向量的混合積及其應(yīng)用
****1****．向量的混合積的定義****
設(shè)有三個(gè)向量
a=(a1,a2,a3),** b=(b1,b2,b3), c**=(c1,c2,c3),
則稱向量(aⅹb)?c為向量a,b,c的混合積胁孙，記作[abc]唠倦，并有
根據(jù)行列式的運(yùn)算性質(zhì)，可得向量的混合積滿足輪換性涮较，即
(aⅹb)?c=(** bⅹc)?a =( cⅹa)?b**.
****2****．混合積的幾何應(yīng)用****
(1) a,b,c共面?[abc]=0存在不全零的數(shù)λ,μ,γ稠鼻，使得λa +μb +γc=0.
(2) 空間四點(diǎn)A,B,C,D共面
(3) 以a,b,c為棱的四面體體積為：
(4) 以a,b,c為棱的平行六面體體積為：
四、空間平面及其方程
****1****．平面的點(diǎn)法式方程****
設(shè)M(x0,y0,z0)為平面上的已知點(diǎn)狂票，n=(A,B,C)為法向量候齿，M(x,y,z)為平面上的任一點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程為：
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
****2****．平面的三點(diǎn)式方程****
設(shè)M1 (x1,y1,z1)，M2 (x2,y2,z2)慌盯，M3 (x3,y3,z3)是某平面上不共線的三點(diǎn)周霉，則由四點(diǎn)共面，四點(diǎn)構(gòu)成的三個(gè)向量的混合積為零亚皂，可得平面的三點(diǎn)式方程：
****3****．平面的截距式方程****
如果三點(diǎn)取為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)俱箱，其中abc≠0，或者已知平面在三坐標(biāo)軸上的截距為a,b,c灭必，則平面的截距式方程為
****4****．平面的一般式方程****
三元一次方程描述的圖形為空間平面狞谱，即平面的一般式方程為：
Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0).
并且平面的法向量為n=(A,B,C)，任何滿足方程的x,y,z的值構(gòu)成在有序?qū)?x,y,z)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都為該方程描述的平面上的點(diǎn)禁漓。
****5****．一些特殊平面對(duì)應(yīng)的方程結(jié)構(gòu)****
(1) 過(guò)原點(diǎn)的平面：Ax+By+Cz=0跟衅；
(2) 平行于x軸的平面：By+Cz+D=0；
平行于y軸的平面：Ax+Cz+D=0播歼；
平行于z軸的平面：Ax+By+D=0伶跷；
【注】：法向量的哪個(gè)分量為零，則該平面平行于該分量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸秘狞。
(3) 過(guò)x軸的平面：By+Cz=0叭莫；
過(guò)y軸的平面：Ax+Cz=0；
過(guò)z軸的平面：Ax+By=0谒撼；
(4) 行于xOy坐標(biāo)面的平面：Cz+D=0食寡；
平行于zOx坐標(biāo)面的平面：By+D=0雾狈；
平行于yOz坐標(biāo)面的平面：Ax+D=0廓潜；
【注】：法向量的哪兩個(gè)分量為零，則該平面平行于這兩個(gè)分量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸構(gòu)成的坐標(biāo)面善榛。
五辩蛋、空間直線及其方程
****1****．直線的向量式參數(shù)方程****
設(shè)直線L過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，方向向量為s=(m,n,p)移盆，其中m,n,p是不全為零的常數(shù)．在直線L上任取一點(diǎn)M(x,y,z)悼院，并記
則直線L參數(shù)為t的向量式參數(shù)方程為
r=r0+ts(-∞<t<+∞)
****2****．空間直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程****
過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，方向向量為s=(m,n,p)的直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程為
****3****．空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程****
過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)咒循，方向向量為s=(m,n,p)的直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程据途，或者對(duì)稱式方程，點(diǎn)向式方程為
****4****．空間直線的兩點(diǎn)式方程****
已知空間直線L上的相異的兩點(diǎn)A(x1,y1,z1)叙甸，B(x2,y2,z2)颖医，則兩點(diǎn)的連線構(gòu)成的直線的兩點(diǎn)式方程為
****5****．空間直線的一般式方程****
兩平面的交線的一般式方程為
六、點(diǎn)裆蒸、直線熔萧、平面間的位置關(guān)系
****1****．點(diǎn)到平面的距離****
如果點(diǎn)P0不在平面π上，則點(diǎn)P0到平面π的距離為
****2****．平面與平面的位置關(guān)系****
設(shè)兩平面的方程為
π1：A1x+B1y+C1z+D1=0，
π2：A2x+B2y+C2z+D2=0.
(1) 兩平面平行佛致，有
(2) 兩平面重合贮缕，有
(3) 兩平面垂直，有
(4) 兩平面夾角θ定義為兩法向量相交的銳角俺榆，即
****3****．兩直線的位置關(guān)系****
設(shè)兩直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程分別為：
并設(shè)M1(x1,y1,z1)是直線L1上的點(diǎn)感昼，s1=(m1,n1,p1)是它的一個(gè)方向向量；M2(x2,y2,z2)是直線L2上的點(diǎn)肋演，s2=(m2,n2,p2)是它的一個(gè)方向向量抑诸，則有：
【注】：兩條平行直線可以位于不同的平面上，但由于它們可以位于一個(gè)平面上爹殊，所以它們也表示共面直線。
(5) 不管是共面的直線還是異面的直線，規(guī)定兩直線的夾角θ為兩直線的方向向量間的夾角，即有
【注】：若兩直線平行或重合胞谈，則它們的夾角可看成是0或π；如果兩直線垂直，則它們的夾角為π/2.
****4****．點(diǎn)到直線的距離****
設(shè)點(diǎn)M1(x1,y1,z1)是直線
上的一點(diǎn)，s=(m,n,p)是直線的方向向量，則點(diǎn)M0(x0,y0,z0)到直線L的距離為由方向向量s與M1和M0構(gòu)成的向量為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形览濒，在方向向量所在邊上的高宙项，即由平行四邊形的面積公式可得
****5****．直線間的距離****
平行直線之間的距離歸結(jié)為一直線上的任一點(diǎn)到另一直線之間的距離盆繁，即平行直線之間的距離可以直接使用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得到革娄。
如果兩條直線為異面直線，即已知兩直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程分別為：
并設(shè)M1(x1,y1,z1)是直線L1上的點(diǎn)，s1=(m1,n1,p1)是它的一個(gè)方向向量挠羔；M2(x2,y2,z2)是直線L2上的點(diǎn)，s2=(m2,n2,p2)是它的一個(gè)方向向量了罪，則兩異面直線之間距離等于向量M1, M2構(gòu)成的向量在向量s1ⅹs2上的投影的絕對(duì)值辅辩，即
****6****．平面與直線的位置關(guān)系****
設(shè)平面和直線的方程分別為：
并設(shè)n=(A,B,C)是平面π的法向量谦炬，s=(m,n,p)是直線L的方向向量，M0(x0,y0,z0)是直線L上的一點(diǎn)甫贯，則有：
直線L在平面π上?n⊥s且
Ax0+By0+Cz0+D=0.
(3) 直線L與平面π相交?Am+Bn+Cp≠0.
(4) 規(guī)定直線L與它在平面π上的投影線的夾角θ為直線與平面的夾角，即
****7****．平面束方程****
空間中通過(guò)同一條直線的所有平面的集合叫做有軸平面束叫搁，直線叫做平面束的軸赖条。
如果兩個(gè)平面
交于一條直線L，那么以直線L為軸的平面束的所有平面方程可以表示為
其中λ,μ是不全為零的任意實(shí)數(shù)常熙。
當(dāng)λ=1,μ=0時(shí)纬乍，則表示平面π1的方程；λ=0,μ=1時(shí)裸卫，則表示平面π2的方程仿贬。
【注】：如果僅僅取μ=1，則平面束方程為
λ是不全為零的任意實(shí)數(shù)墓贿，則該方程能夠表示的平面為除了平面π1的平面束中的所有平面茧泪；在利用平面束方程解決問(wèn)題的過(guò)程中，減少了一個(gè)參數(shù)聋袋，簡(jiǎn)化問(wèn)題求解過(guò)程队伟，但是需要單獨(dú)考慮平面π1。
七幽勒、構(gòu)建圖形數(shù)學(xué)描述形式的一般步驟
(1) 針對(duì)實(shí)際問(wèn)題嗜侮，繪制草圖，構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系啥容。
【注****1****】當(dāng)然根據(jù)問(wèn)題的描述的方便锈颗，也可以是其他坐標(biāo)系，比如在三重積分中我們要討論的柱坐標(biāo)系咪惠、球坐標(biāo)系等击吱。
【注****2****】如果問(wèn)題本身帶有坐標(biāo)信息，則繪制坐標(biāo)系遥昧，并根據(jù)坐標(biāo)特征繪制草圖覆醇。
(2) 在圖形上朵纷，或者空間任取一符合問(wèn)題背景或相關(guān)幾何意義的點(diǎn)，并設(shè)其坐標(biāo)為M(x,y,z)永脓。
(3) 依據(jù)問(wèn)題提供的條件柴罐，比如物理意義、幾何意義憨奸、已有等式等革屠，構(gòu)建相關(guān)的等式，并轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M的坐標(biāo)變量x,y,z的等式排宰；或者通過(guò)適當(dāng)引入?yún)?shù)似芝，將點(diǎn)M的坐標(biāo)變量x,y,z描述為有關(guān)參數(shù)的表達(dá)式，如果是平面圖形或曲線圖形板甘，則一個(gè)參數(shù)党瓮；如果是曲面圖形，一般為兩個(gè)參數(shù)盐类。
(4) 化簡(jiǎn)相關(guān)等式寞奸，得到圖形的方程描述形式。
八在跳、旋轉(zhuǎn)曲面
空間中枪萄，一條曲線繞一定直線旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸猫妙，曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線．
比如瓷翻，yOz坐標(biāo)面上的曲線C:f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為
繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為
空間曲線
繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程為
【注****1****】如果三個(gè)方程能夠消去兩個(gè)參數(shù)得到x,y,z的表達(dá)式，則也就可以直接得到旋轉(zhuǎn)曲面的一般方程割坠。
九齐帚、柱面
在空間中，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所構(gòu)成的曲面叫做柱面彼哼；直觀地講对妄，柱面就是由平行于一定直線沿曲線移動(dòng)時(shí)所形成的曲面，或者說(shuō)是由一條直線連續(xù)平移而形成的敢朱。其中曲線叫做柱面的準(zhǔn)線剪菱，直線叫做柱面的母線．
圓柱面：準(zhǔn)線為圓，母線為垂直于圓所在平面的直線所形成的曲面蔫饰。
比如準(zhǔn)線為xOy面上的圓x2+y2=R2琅豆，母線垂直于xOy面愉豺，或平行于z軸的圓柱面方程為
x2+y2=R2篓吁。
類似有中心軸為y,x軸為中心軸的圓柱面方程
z2+x2=R2，y2+z2=R2蚪拦。
橢圓柱面：準(zhǔn)線為橢圓杖剪，母線為垂直于橢圓所在平面的直線所形成的曲面冻押。比如準(zhǔn)線取為xOy,yOz,zOx面上的橢圓，母線分別垂直三個(gè)坐標(biāo)面的橢圓柱面方程分別為
雙曲柱面：準(zhǔn)線為雙曲線盛嘿，母線為垂直于雙曲線所在平面的直線所形成的曲面洛巢。比如準(zhǔn)線取為xOy,yOz,zOx面上的、實(shí)軸分別為x軸次兆、y軸稿茉、z軸的雙曲線，母線分別垂直三個(gè)坐標(biāo)面的雙曲柱面方程分別為
拋物柱面：準(zhǔn)線為拋物線芥炭，母線為垂直于拋物線所在平面的直線所形成的曲面漓库。比如，比如準(zhǔn)線取為xOy面上的拋物線园蝠，母線為垂直xOy面的拋物柱面方程為
y2=2px或x2=2py渺蒿。
十、常見標(biāo)準(zhǔn)曲面及其參數(shù)方程
****1****．球面****
方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2所表示的曲面為球心在(x0,y0,z0)球面彪薛，半徑為R的球面茂装。借助三角恒等式，cos2t+sin2t=1善延，可將橢球面的方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2轉(zhuǎn)為參數(shù)方程描述少态，即
特別有x2+y2+z2=1表示球心在原點(diǎn)，半徑為1的球面易遣。
****2****．橢球面****
方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1所表示的曲面稱為橢球面况增，其中a,b和c均為正常數(shù)。借助三角恒等式训挡，cos2t+sin2t=1毯辅，可將橢球面的方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1轉(zhuǎn)為參數(shù)方程描述，即
****3****．雙曲面****
雙曲面分為單葉雙曲面和雙葉雙曲面灭红。
l單葉雙曲面：平方項(xiàng)兩正一負(fù)的和等于1的方程描述的曲面叉钥。即
其負(fù)向變量所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸．
l雙葉雙曲面：平方項(xiàng)一正兩負(fù)的和等于1的方程描述的曲面。即
其正向變量所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸．
借助三角恒等式cos2t+sin2t=1及sec2t-tan2t=1肤京，可將對(duì)稱軸為z的單葉雙曲面方程颊艳，雙葉雙曲面方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程描述，有
****4****．拋物面****
拋物面包括橢圓拋物面和雙曲拋物面忘分。
l橢圓拋物面：具有1次方項(xiàng)等于兩個(gè)平方項(xiàng)的和結(jié)構(gòu)的方程所表示的曲面棋枕。即
如果a=b，則為旋轉(zhuǎn)拋物面妒峦。
借助三角恒等式cos2t+sin2t=1重斑，可將方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程描述，如
l雙曲拋物面：1次方項(xiàng)等于兩個(gè)平方項(xiàng)的差結(jié)構(gòu)的方程所表示的曲面肯骇。如
由于雙曲拋物面的形狀像馬鞍窥浪，所以它又稱為馬鞍面．
借助三角恒等式sec2t-tan2t=1祖很，可將方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程描述。如對(duì)
****5****．二次錐面****
在空間漾脂，通過(guò)一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所生成的曲面叫做錐面假颇。直線稱為錐面的母線，定點(diǎn)稱為錐面的頂點(diǎn)骨稿，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線笨鸡。
如方程
描述的曲面圖形為頂點(diǎn)在原點(diǎn)的橢圓錐面，其中心軸在分別為z軸坦冠，x軸镜豹，y軸．當(dāng)a=b時(shí)為圓錐面。
由三角恒等式cos2t+sin2t=1蓝牲，可得橢圓錐面的參數(shù)方程趟脂，如中心軸為z軸的橢圓錐面的參數(shù)方程為
十一、空間曲線的方程
****1****．空間曲線的一般方程****
空間曲線總可以看成是某兩個(gè)曲面的交線．設(shè)兩曲面的方程為F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0例衍，則兩個(gè)曲面的交線ξ羝冢可以用方程組描述為
該方程組也稱為空間曲線C的一般方程．
【注****1****】空間曲線的一般方程不唯一》鹦可以用任意兩個(gè)過(guò)空間曲線的曲面的方程構(gòu)成的方程組來(lái)描述硼一；并且空間曲線也位于描述空間曲線的一般方程中兩個(gè)方程的線性組合構(gòu)成的方程
λF(x,y,z)+μG(x,y,z)=0
（其中λ,μ為不全為零的實(shí)數(shù)）描述的曲面圖形上。這樣就可以用相對(duì)簡(jiǎn)單的曲面方程來(lái)描述曲線梦抢。
****2****．空間曲線的參數(shù)方程****
一般地般贼，空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)一條空間曲線。曲線C上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y,z可以用一個(gè)參數(shù)t的函數(shù)表示為
【注****1】空間曲線參數(shù)方程參數(shù)的意義可以為運(yùn)動(dòng)時(shí)間奥吩，也可以是轉(zhuǎn)動(dòng)角度哼蛆、弧度，或者為坐標(biāo)變量等霞赫。
****3****．空間曲線一般方程與參數(shù)方程的相互轉(zhuǎn)換的思路****
將空間曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為一般方程描述比較簡(jiǎn)單腮介，由三個(gè)參數(shù)表達(dá)式兩兩消去參數(shù)，則可以得到兩個(gè)不包含參數(shù)的等式端衰，它們一起構(gòu)成空間曲線的一般方程叠洗。
將空間曲線的一般方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程描述的基本思路為：
(1) 如果空間曲線的一般方程的兩個(gè)方程都是三個(gè)變量的方程，則通過(guò)消元旅东，獲得一個(gè)二元方程表達(dá)式灭抑，然后借助于二元方程的參數(shù)方程，寫出兩個(gè)變量的參數(shù)表達(dá)式抵代，并代入其中一個(gè)方程解出另一變量關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式腾节。
(2) 如果空間曲線的一般方程中，有一個(gè)方程只有兩個(gè)變量，則可以直接通過(guò)引入?yún)?shù)禀倔，寫出兩個(gè)變量的參數(shù)方程榄融，然后利用另外一個(gè)方程解出另一變量的參數(shù)表達(dá)式参淫。也可以利用兩個(gè)變量的表達(dá)式用一個(gè)變量表示另外一個(gè)變量代入另一方程救湖，由變換后的方程寫出參數(shù)方程后得到參數(shù)方程。
(3) 如果空間曲線的一般方程中有一個(gè)方程為單獨(dú)變量等于常數(shù)的表達(dá)式時(shí)涎才，則直接將它代入另一個(gè)方程鞋既，由另一個(gè)方程寫出對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程表達(dá)式，并聯(lián)合這個(gè)表達(dá)式即可得所求空間曲線的參數(shù)方程耍铜。
(4) 如果有兩個(gè)方程都是單獨(dú)變量等于常數(shù)的表達(dá)式邑闺，則直接令另一變量為參數(shù)即可。
十二棕兼、空間曲線在平面上的投影
****1****．曲線在平面上的投影****
設(shè)是一條空間曲線陡舅，是一個(gè)平面，曲線上每一點(diǎn)在平面上有一個(gè)垂足伴挚，曲線上的所有點(diǎn)在平面上的垂足所構(gòu)成的曲線叫做曲線在平面上的投影曲線靶衍，簡(jiǎn)稱投影，平面也稱為投影面茎芋。
過(guò)曲線上的每一點(diǎn)颅眶，都有平面的一條垂線，這些垂線構(gòu)成一個(gè)柱面田弥，并且把這樣的柱面稱為曲線關(guān)于平面的投影柱面涛酗。
空間曲線在平面上的投影曲線就是投影柱面與平面的交線。
****2****．一般方程描述的空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程****
設(shè)空間曲線Γ的一般方程為
則Γ關(guān)于xOy偷厦、yOz商叹、zOx坐標(biāo)面的投影柱面方程可以通過(guò)方程組分別消去z,x,y變量得到。假設(shè)方程組消去變量z,x,y后得到的方程分別描述為
F(x,y)=0,G(y,z)=0,H(z,x)=0只泼，
則以上三個(gè)方程分別描述了空間曲線關(guān)于坐標(biāo)面xOy沈自、yOz、zOx的投影柱面辜妓；并且空間曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線分別為
****4****．參數(shù)方程描述的空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程****
設(shè)空間曲線Γ的參數(shù)方程為
Γ:x=x(t),y=y(t),z=z(t)(t∈[t0,t1])枯途，
則Γ關(guān)于xOy、yOz籍滴、zOx坐標(biāo)面的投影柱面方程與投影曲線方程為
xOy投影柱面：x=x(t),y=y(t)酪夷，投影曲線：C:x=x(t),y=y(t),z=0(t∈[t0,t1])
yOz投影柱面：y=y(t),z=z(t)，投影曲線：C:x=0, y=y(t),z=z(t) (t∈[t0,t1])
zOx投影柱面：z=z(t), x=x(t)孽惰，投影曲線：C: x=x(t),y=0,z=z(t),(t∈[t0,t1])
【注****1****】空間曲面或立體圖形在坐標(biāo)面上的投影為空間曲面或圍成立體的所有曲面上的點(diǎn)在坐標(biāo)面上的投影點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域晚岭，可以用投影區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，垂直于坐標(biāo)面的直線為母線形成的投影柱面與坐標(biāo)面方程來(lái)描述勋功。
【注****2****】空間直角坐標(biāo)系中立體圖形簡(jiǎn)圖的繪制方法：在掌握基本立體幾何形狀坦报，比如長(zhǎng)方體库说、球體、柱體片择、平面潜的、直線繪制的基礎(chǔ)上，一般通過(guò)繪制一些關(guān)鍵性的曲線字管，比如圍成立體圖形的曲面的交線啰挪，平行于坐標(biāo)面的平面截取空間圖形所得的交線等，來(lái)描述圖形的大致輪廓嘲叔，幫助我們更好地理解和解決問(wèn)題
