引自：
https://www.cnblogs.com/german-iris/p/4840647.html
https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90/7261323?fr=aladdin
拉普拉斯算子 Laplace Operation
定義：
拉普拉斯算子是n維歐幾里德空間中的一個(gè)二階微分算子艰垂，定義為梯度grad（▽f）的散度div（▽·f）。
f的拉普拉斯算子也是笛卡爾坐標(biāo)系xi中的所有非混合二階偏導(dǎo)數(shù)：
作為一個(gè)二階微分算子加匈，拉普拉斯算子把C函數(shù)映射到C函數(shù)株依，對于k≥2時(shí)成立狂巢。算子Δ :C(R) →C(R)摆马，或更一般地臼闻，定義了一個(gè)算子Δ :C(Ω) →C(Ω)，對于任何開集Ω時(shí)成立囤采。
另外述呐，滿足▽·▽f=0 的函數(shù)f, 稱為調(diào)和函數(shù)。
表示式：
二維空間：
其中x與y代表 x-y 平面上的笛卡爾坐標(biāo)：
另外極坐標(biāo)的表示法為：
三維空間：
笛卡爾坐標(biāo)系下的表示法：
圓柱坐標(biāo)系下的表示法：
球坐標(biāo)系下的表示法：
N 維空間
在參數(shù)方程為（其中以及）的N維球坐標(biāo)系中蕉毯，拉普拉斯算子為：
離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)：差分公式
離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)退化成了差分，一維一階差分公式和二階差分公式分別為：
Laplace算子的差分形式：
分別對Laplace算子x,y兩個(gè)方向的二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行差分就得到了離散函數(shù)的Laplace算子代虾。
有時(shí)我們也會見到不同于上述結(jié)果的Laplace算子的filter mask：
圖像的Laplace操作：
如同本文開始時(shí)說的那樣，將Laplace算子寫成filter mask后火本，其操作大同小異于其他的空間濾波操作危队。將filter mask在原圖上逐行移動，然后mask中數(shù)值與其重合的像素相乘后求和钙畔，賦給與mask中心重合的像素茫陆，對圖像的第一，和最后的行和列無法做上述操作的像素賦值零擎析，就得到了拉普拉斯操作結(jié)果盅弛。
拉普拉斯操作結(jié)果與原圖的混合：
因?yàn)長aplace算子是二階導(dǎo)數(shù)操作，其在強(qiáng)調(diào)圖像素中灰度不連續(xù)的部分的同時(shí)也不在強(qiáng)調(diào)灰度值連續(xù)的部分叔锐。這樣會產(chǎn)生一個(gè)具有很明顯的灰度邊界挪鹏，但是沒有足夠特征的黑色背景。背景特征可以通過原圖像與Laplace算子操作后的圖像混合恢復(fù)愉烙。用公式：
其中的參數(shù)c的取值和上面的兩種mask定義有關(guān)讨盒，當(dāng)mask中心的數(shù)值取正時(shí)c=-1，相反c=1;
