喬治.波利亞的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)--對解題的理解家厌、研究和講授》
P295：數(shù)學(xué)系給我們的是啃不動的硬牛排恶复，而教育學(xué)院給的則是一碗沒有肉的白水湯亿絮。
P304：我們無法預(yù)知誰以后會干什么，我們也無從知道哪些學(xué)生歸屬于哪一類琉兜。因此據(jù)此情況攀操，我覺得數(shù)學(xué)班應(yīng)當(dāng)辦得符合兩個原則院仿。 第一，每一個學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠從他的學(xué)習(xí)中得到某些收獲而不管他以后的職業(yè)是什么速和。 第二歹垫，那些在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)出一些資質(zhì)的學(xué)生應(yīng)當(dāng)受到鼓勵和吸引，而不要由于拙劣的教育而使他們嫌棄了數(shù)學(xué)颠放。
P312-313：
用那些缺乏動力的排惨，得不到什么收獲的乏味的證明充塞教本的每一頁，會給最好的學(xué)生帶來極壞的印象碰凶。 這種錯誤也是源于混淆了水平暮芭，對于一個專業(yè)數(shù)學(xué)家來講，檢驗一個長的論證中的每一步形式上正確與否是必要的欲低，雖然它不是數(shù)學(xué)家工作中最令人愉快的部分辕宏。邏輯就像是站在超市出口處的女士，她要核查籃子里每一件東西的價格砾莱。
P317：混淆水平瑞筐。近代數(shù)學(xué)家們主要用集合、運算腊瑟、群聚假、域等進(jìn)行工作，而很少用老式的幾何和代數(shù)闰非。因此我們應(yīng)當(dāng)在這些老式科目之前先教集合膘格、運算、群财松、域瘪贱。 這是一種意見。下面的意見和它類似： 現(xiàn)代的美國人更多的是駕駛汽車代替步行辆毡，因此我們在嬰兒學(xué)會走步前應(yīng)當(dāng)先教他們開車政敢。
第一卷 序言:
??一個解法稱為是完善的，如果我們從一開頭就能預(yù)見甚至證明胚迫，沿著這個方法做下去，就一定能達(dá)到我們的目的唾那》枚停——《萊布尼茲文集》褪尝，pp. 161
解一個問題就是意味著從困難中去找出一條越過障礙的路，使我們能夠達(dá)到一個不易即時達(dá)到的目標(biāo)期犬。解題是智力的特殊成就河哑，而智力乃是人類的天賦，因此解題可以認(rèn)為是人的最富有特征性的活動龟虎。解題是一種本領(lǐng)璃谨，就像是游泳、滑雪鲤妥、彈鋼琴一樣佳吞，你只能夠靠模仿和實踐才能學(xué)到它。假如你想要從解題中得到最大的收獲棉安，你就應(yīng)當(dāng)在所做的題目中去找出它的特征底扳，這些特征在你以后去求解其他的問題時，能起到指引的作用贡耽。一種解題的方法衷模，它若是經(jīng)過了你自己的努力得到的，或者是從別人那里學(xué)來或聽來的蒲赂，只要經(jīng)過了你自己的體驗阱冶，那么它對你來講就可以成為一種楷模，當(dāng)你在碰見別的類似的問題時滥嘴，它就是可供你仿照的模型木蹬。我們所講述的，不僅僅限于解法氏涩，而且還講述了解法的“病歷”届囚。所謂“病歷”，就是這個解法所借以發(fā)現(xiàn)的一些實質(zhì)性步驟是尖，以及導(dǎo)致這些步驟的動機(jī)和想法的一種敘述意系。對一個特例之所以要進(jìn)行這樣周密的描述，目的就是為了從中提出一般的方法或模型饺汹，這種模型蛔添，在以后類似的情況下，對于讀者求解問題兜辞，可以起指引的作用迎瞧。任何學(xué)問都包括知識和能力這兩個方面。假如你真正具有數(shù)學(xué)工作（無論是初等或是高等水平的）的經(jīng)驗的話逸吵，那么你會毫不遲疑地說凶硅，在數(shù)學(xué)里，能力比起單單具有一些知識來扫皱，要重要得多足绅。在數(shù)學(xué)里捷绑，能力指的是什么？就是解決問題的才智——我們這里所指的問題氢妈，不僅僅是常規(guī)的粹污，還包括那些要求有某種程度的獨立見解、判斷力首量、能動性和創(chuàng)造精神的問題壮吩。教師應(yīng)當(dāng)發(fā)揚(yáng)學(xué)生的才智和推理的能力；他應(yīng)當(dāng)發(fā)覺并鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性——但是現(xiàn)在問題就在于他自己所修的課程并沒有充分考慮他能否熟練掌握所學(xué)的東西加缘，更不用說去提高他的才智鸭叙、他的推理能力、解題能力和創(chuàng)造精神了生百。德國諺語：不要把蓋了一半的房子讓傻子看見递雀。
P279:我打算把初學(xué)者學(xué)習(xí)的那些事物寫得能讓他看到事物的里層內(nèi)容，甚至揭示發(fā)明的源頭蚀浆，這種寫法可以使得初學(xué)者領(lǐng)悟一切缀程，就像這些事物是他本人發(fā)明的一樣。-萊布尼茨《數(shù)學(xué)著作集》第七卷
14.1 教不是一門科學(xué)
假如教學(xué)這件事可以完全被科學(xué)的事實和理論所規(guī)定市俊，那我也就不必談?wù)撍鼈儊硗劫M你的時間了杨凑。
P280：關(guān)于學(xué)的方面的心理學(xué)雖然可以給我們提供一些有趣的啟示，卻不能冒充為教學(xué)問題上的最終判斷摆昧。
14.2教學(xué)的目標(biāo)
高中課程中的數(shù)學(xué)撩满，關(guān)于它的教學(xué)目標(biāo)我有一種老式的想法：即首先和主要的，是必須教會那些年輕人去思考绅你。
P281：
14.3 教是一種藝術(shù)
P282：
我必須承認(rèn)伺帘，我是樂意做點表演的。特別是我現(xiàn)在已經(jīng)老了忌锯，在數(shù)學(xué)上已經(jīng)很難再去發(fā)現(xiàn)什么新的東西了伪嫁，因此重演一下過去是如何發(fā)現(xiàn)的，心中會感到一點快慰偶垮。
教師講解一個問題张咳，不能光講一遍或兩遍，而往往要講三遍四遍甚至多遍似舵。然而脚猾，把同一句話不停地毫無變化地重復(fù)多遍，那會令人十分厭煩而且要起反作用砚哗。這里龙助，你可以向作曲家學(xué)習(xí)，看他們是怎樣處理這一問題的蛛芥。音樂的一種主要藝術(shù)格式是“變奏曲調(diào)”泌参，將這個音樂中的藝術(shù)格式用到教學(xué)中就應(yīng)是：開始時用最簡單的形式講你的東西脆淹，然后略加變化地重復(fù)它，然后又增加一點新的色彩再重復(fù)它沽一，等等颜说，在你結(jié)束時又可以回到原來簡單的形式上儒将。另一種音樂藝術(shù)格式是“回旋曲”，將回旋曲從音樂中轉(zhuǎn)移到教學(xué)里就變成：你把同一句最重要的話不加改變或很少改變地重復(fù)多次鹦付，然而在兩次重復(fù)之間插入若干適當(dāng)對照的敘述材料昆禽。
抽象的道理是重要的蝗蛙，但要用一切辦法使它們能看得見摸得著。什么也不作醉鳖，對于弄清你的抽象觀念捡硅，可能很好也可能很壞，可能有詩意也可能很乏味盗棵。正如蒙田所說壮韭，真理是這樣的偉大，我們不應(yīng)該藐視任何能夠達(dá)到它的手段纹因。
P283：
14.4學(xué)習(xí)三原則
教學(xué)是一種有著無數(shù)門道的行當(dāng)喷屋。每個好的老師都有自己幾個拿手的高招，并且好的教師又各不相同瞭恰。
任何有效的教學(xué)法必然以某種方式與學(xué)習(xí)過程的性質(zhì)互相關(guān)聯(lián)著屯曹。對于學(xué)習(xí)過程我們并不知道得很多，然而對于它的一些比較顯著的特點即使作一個粗略的概括惊畏，也足以對我們這一行中的門道給出若干受歡迎的闡明恶耽。讓我們以學(xué)習(xí)的三條“原則”來表述這一粗略的概括。
（1）主動學(xué)習(xí)颜启。
許多人都在不同場合講到偷俭，學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是主動的，不要只是被動或消極接受农曲。僅僅靠閱讀或聽課社搅、看電影而不自己動腦筋，很難學(xué)到什么東西乳规，當(dāng)然更談不上學(xué)到很多東西了形葬。
還有另外一種常見的與之密切相關(guān)的說法：學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。
李希坦伯格（十八世紀(jì)德國物理學(xué)家暮的，因善寫格言而知名）添了一段有意思的話：“那些曾使你不得不親自動手發(fā)現(xiàn)了的東西笙以，會在你腦中留下一條途徑，一旦有所需要冻辩，你就可以重新運用它猖腕〔鹌恚”下面的這段敘述，雖然略遜文采倘感，卻用得更廣：“為了有效地學(xué)習(xí)放坏，學(xué)生應(yīng)當(dāng)在給定條件下，盡 量多地自己去發(fā)現(xiàn)所要學(xué)習(xí)的材料老玛∮倌辏”
這就是主動學(xué)習(xí)的原理，這是一條很老的原理蜡豹，它是“蘇格拉底方法”的思想基礎(chǔ)麸粮。
（2）最佳動機(jī)。
學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是主動的镜廉，上面已經(jīng)談了弄诲。然而倘若學(xué)生沒有學(xué)習(xí)的動機(jī)，他就不會去主動學(xué)習(xí)娇唯。他必須要有某些激勵的因素齐遵，譬如說，某些報償?shù)钠谕拍艽偈怪鲃訉W(xué)習(xí)视乐。所學(xué)內(nèi)容的興趣乃是學(xué)習(xí)最佳的刺激洛搀，強(qiáng)烈的心智活動所帶來的愉悅乃是這種活動最好的報償。于是在我們不能得到最佳動機(jī)的地方佑淀，我們就應(yīng)該爭取得到第二位第三位的動機(jī)留美，那些不那么內(nèi)在的動機(jī)也不應(yīng)當(dāng)忽略掉。
為了有效地學(xué)習(xí)伸刃，學(xué)生應(yīng)當(dāng)對所學(xué)習(xí)的材料感到興趣并且在學(xué)習(xí)活動中找到樂趣谎砾。此外，除了這些學(xué)習(xí)的最佳動機(jī)之外捧颅，也還有其他的景图，其中有些也是值得考慮的動機(jī)（例如不學(xué)習(xí)會帶來懲罰也許是最后一個可供考慮的動機(jī)）。
我們把上面的敘述稱為最佳動機(jī)原理碉哑。
3挚币、階段序進(jìn)。
人的認(rèn)識從感覺開始扣典，再從感覺上升到概念妆毕，最后形成思想。-康德《純粹理性批判》1978年英文版
請允許我談一下我對康德這句格言的理解：
學(xué)習(xí)從行動和感覺開始贮尖，再從這里上升到語言和概念笛粘，最后形成該有的心理習(xí)慣。
請你一開始就將這個句子里的詞按你自己經(jīng)驗所能具體描述的意義去理解（促使你按個人經(jīng)驗去思考也是想取得的效果之一）。
詞的這種具體解釋薪前，當(dāng)我們聯(lián)想的是某些簡單粗淺的事物時润努，當(dāng)然顯得比較容易理解和自然。然而示括，我們可以發(fā)現(xiàn)铺浇，在把握那些涉及更加復(fù)雜和高深材料的工作中，也存在著認(rèn)識的類似階段垛膝。讓我們將它們區(qū)分為三種階段：探索階段随抠、形式化階段和同化階段。
第一個探索階段更接近于行動和感受繁涂，處在一種比較直觀帶
P285：啟發(fā)性的水平上；
第二個形式化階段二驰，引入了術(shù)語扔罪、定義、證明等桶雀，上升到了一個較為概念化的水平上矿酵；
最后出現(xiàn)的是同化階段，這里
應(yīng)當(dāng)有一種洞察事務(wù)“內(nèi)部環(huán)境”的嘗試矗积，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)習(xí)的內(nèi)容經(jīng)過消化吸收到學(xué)生的知識體系中全肮，到學(xué)生的整個精神世界中去，這個階段一方面鋪平了通向應(yīng)用的道路棘捣，另一方面又打開了向更高級推廣的道路辜腺。
我們綜合一下：對于有效的學(xué)習(xí)，在語言文字表達(dá)及概念建立的階段之前應(yīng)當(dāng)有一個探索階段乍恐，最后评疗，學(xué)習(xí)所得將轉(zhuǎn)化為學(xué)生的才能和品性，融入其中茵烈，變成精神素質(zhì)的一部分百匆。
這就是階段序進(jìn)原理。
14.5教學(xué)的三原則
（1）主動學(xué)習(xí)呜投。
不幸的是加匈，甚至在中學(xué)里，時間也是限定的仑荐，許多規(guī)定的內(nèi)容要去完成雕拼，因此事情不能都用對話的形式去進(jìn)行。然而释漆，原則是：在給定的條件下悲没，應(yīng)讓學(xué)生們盡可能地靠他們自己去發(fā)現(xiàn)。
能夠做的總是比已經(jīng)在做的要多，我確信如此示姿。我在這里向你推薦一種小小的門道：讓學(xué)生主動地為問題的明確表述貢獻(xiàn)一份力量甜橱。假如學(xué)生們在問題的提出過程中自己起過作用，則以后在學(xué)習(xí)中就必然會顯得更加主動積極栈戳。
事實上岂傲，在科學(xué)家的工作中，去明確表述出一個問題也許是發(fā)現(xiàn)的更主要的一個部分子檀。問題的求解比起問題的明確表述來镊掖，就常常不需要那么多的見識和獨創(chuàng)了。因此褂痰，讓學(xué)生在表述工作中分擔(dān)一部分亩进，你就不僅能推動他們更加努力地去工作，而且也教給他們一個應(yīng)有的思維方式缩歪。
（2）最佳動機(jī)归薛。
教師應(yīng)當(dāng)把自己看成是一個推銷員，他要把某些數(shù)學(xué)知識推銷給年輕人匪蝙。
作為一個教師主籍，作為一個知識的推銷員，他的責(zé)任就是使得學(xué)生們確信數(shù)學(xué)是有趣的逛球，使他們感到剛剛討論的那個問題是有趣的千元，讓他做的那些題是值得他努力去做的，等等颤绕。
因此幸海，教師應(yīng)該注意選擇好提出的題目，將它組織好進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕榻B屋厘。假如我們想鼓勵學(xué)生做出真正地努力涕烧，我們總得給他們講出點道理，使得他感覺到值得花力氣去干這件事汗洒。
讓我在這里推薦一個小小的實際可行的辦法:在
學(xué)生開始做題之前,先讓他猜猜結(jié)果或猜猜部分的結(jié)果议纯。于是表示過意見的孩子就約束住了自己，因為結(jié)果如何多少影響到他的面子和自尊溢谤，因此他就急于要知道他的猜測是不是對的瞻凤，這樣
P287：他就會積極關(guān)注于他的作業(yè)和課堂上的工作——也就無暇去打瞌睡或搗亂了。
事實上世杀，在科學(xué)家的工作中阀参，猜測幾乎總是走在證明的前頭的。因此瞻坝，讓你的學(xué)生們?nèi)ゲ陆Y(jié)果蛛壳，這不僅調(diào)動了他們工作的積極性，并且你還教給他們應(yīng)有的思維方式。
（3）階段序進(jìn)衙荐。
常規(guī)的習(xí)題也許是有用的甚至是必需的捞挥，我 并不反對它們。然而它們忽略了兩個重要的學(xué)習(xí)階段：探索階段和同化階段忧吟。這兩個階段都是要尋求手頭上的問題與周圍世界和其他知識領(lǐng)域的聯(lián)系砌函，不過第一個階段是在正式求解之前，而后一個階段則是在正式求解之后溜族。
跟這些常規(guī)的習(xí)題對比讹俊，高級中學(xué) 應(yīng)當(dāng)時常介紹更多一些帶挑戰(zhàn)性的題目，一些具有豐富背景并值得深入探索的題目煌抒，一些能預(yù)先品味到科學(xué)家工作的題目仍劈。
這里有一個實際工作上的提示：假如你準(zhǔn)備拿到班上討論的題目是合適的，那么不妨讓你的學(xué)生預(yù)先做一些探索工作寡壮，這可以提高他們正式解題的興趣耳奕。此外保留一點時間對已完成的解進(jìn)行一些回顧性的總結(jié)討論，這對后來的題目的求解將是有好處的诬像。
（4）我認(rèn)為這些原則可以貫徹到教師日常工作中的各個環(huán)節(jié)中去并且能使他成為一個更好的教師。我同樣認(rèn)為這些原則也應(yīng)當(dāng)貫徹到整個教學(xué)計劃中去闸婴，貫徹到每門課程的計劃以及每門課程的每一章節(jié)的計劃中去坏挠。
