初等數(shù)學(xué)2300年之重大錯(cuò)誤：將無(wú)窮多各異點(diǎn)集誤為同一集

——讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)3000年都無(wú)人能識(shí)的直線段

黃小寧（通訊：廣州市華南師大南區(qū)9-303 郵編510631）

?[摘要]初等幾何有史2300多年來(lái)一直認(rèn)定相互平行且距離為0的直線必重合從而有直線公(定)理煎楣，進(jìn)而斷定：等長(zhǎng)的直線段必合同。然而集合换淆、幾何起碼常識(shí)及區(qū)間概念凸顯此“初等幾何起碼常識(shí)”其實(shí)是將無(wú)窮多各異直線（段）誤為同一直線（段）的“以井代天”的2300年“井底蛙”誤區(qū)笤休。判斷兩點(diǎn)集是否≌的全新方法讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)3000年都無(wú)人能識(shí)的偽二重、偽≌直線段监婶，進(jìn)而認(rèn)識(shí)初等數(shù)學(xué)有一系列搞錯(cuò)函數(shù)的值域的幾百年重大錯(cuò)誤——百年病態(tài)集論的癥結(jié)般哼。

[關(guān)鍵詞]推翻直線公（定）理把敢；推翻百年集論和百年“R軸各點(diǎn)與各標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)定理”燥爷；偽二重蜈亩、偽≌點(diǎn)集；直線（段）的伸縮變換前翎；函數(shù)的值域稚配；有序連續(xù)變化的變化規(guī)律；保序及保距變換

文獻(xiàn)[1][2]證明了直線A沿本身保序平移或伸縮后就≠A了港华，故“直線公（定）理”其實(shí)是將無(wú)窮多各異直線誤為同一線的重大錯(cuò)誤道川，但未能從幾何上來(lái)闡明此事實(shí)，本文使人可如小學(xué)生看圖識(shí)字那樣看圖識(shí)此事實(shí)立宜。公元前1100年中國(guó)人商高同周公的一段對(duì)話談到了勾股定理說(shuō)明人類(lèi)認(rèn)識(shí)幾何學(xué)的直線段起碼已有3000多年愤惰。2300多年來(lái)學(xué)、教過(guò)初等幾何的人數(shù)以?xún)|計(jì)赘理，其中不少人是著名科學(xué)家及著名教育家，他們都沒(méi)發(fā)現(xiàn)初等幾何有重大錯(cuò)誤扇单∩棠＃“所以顯然有科學(xué)常識(shí)”：因數(shù)學(xué)是嚴(yán)密精確的代名詞故數(shù)學(xué)，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等數(shù)學(xué)對(duì)直線（段）這一最基本蜘澜、簡(jiǎn)單圖形的認(rèn)識(shí)絕不可能有極重大錯(cuò)誤; 絕不可能有人能推翻現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公(定)理施流。有一種“凡是”：凡是連“小人物”也談不上的“草根”絕不可能有重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)。人類(lèi)由認(rèn)識(shí)直線段到發(fā)現(xiàn)用而不知的偽二重鄙信、偽≌直線段竟須歷時(shí)3000多年瞪醋！但若擔(dān)心廣大高中生（應(yīng)熟悉非常簡(jiǎn)單易懂的保距變換概念）看此文后還不能立刻認(rèn)識(shí)這類(lèi)線段那就是污蔑其是弱智群體了，因挑戰(zhàn)各“絕對(duì)不可能”的“反科學(xué)”的“超人”發(fā)現(xiàn)來(lái)自于太淺顯的：⑴集合起碼常識(shí)a：所謂集A=B是說(shuō)A的元與B的元可一一對(duì)應(yīng)相等装诡，故點(diǎn)集A≠B的原因是不可“一一對(duì)應(yīng)相等”银受。⑵中學(xué)的幾何起碼常識(shí)c：重合的有界圖形（點(diǎn)集）必合同践盼。⑶區(qū)間概念。

一宾巍、可看圖識(shí)“字”：直線Z沿本身平移或伸縮后就≠Z了——直線公理嚴(yán)重歪曲了事物的本來(lái)面目

因與x∈R相異或相等的實(shí)數(shù)均可表為y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x變換為實(shí)數(shù)x+△x的幾何意義可是：一維空間“管道”g內(nèi)R軸上的質(zhì)點(diǎn)x∈R(x是點(diǎn)的坐標(biāo))沿R軸方向移動(dòng)變?yōu)檫€在g內(nèi)的點(diǎn)x′=x+△x咕幻，即實(shí)數(shù)的改變可形象化（注！是真正的形象化而非沒(méi)有形象的假形象化）為管道g內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位置的改變（設(shè)各點(diǎn)只作位置改變而沒(méi)別的改變即變位前后的質(zhì)點(diǎn)是同一質(zhì)點(diǎn)）顶霞∫蕹蹋《復(fù)分析可視化方法》是復(fù)分析領(lǐng)域的一部名著，其公開(kāi)挑戰(zhàn)當(dāng)前占統(tǒng)治地位的純符號(hào)邏輯推理选浑。顯然沒(méi)有寬度的直線和沒(méi)大小的“點(diǎn)”是沒(méi)有形象的蓝厌，從而是不可視的。R可形象化為R軸, R各數(shù)x可形象化為 R軸各點(diǎn)古徒；變數(shù)可形象化為g內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)拓提。數(shù)學(xué)的圖形可是離散的點(diǎn)的點(diǎn)集。直線上的點(diǎn)集E：……（這不是省略號(hào)）各點(diǎn)可作保距或非保距平移描函。至少有兩元的點(diǎn)（數(shù)）集 A各元x保距（偏離原位）變?yōu)閤′=x+△x組成元為點(diǎn)x′的B≌A崎苗。鐵球是鐵分子的集合A，鐵球的熱脹冷縮導(dǎo)致其組織結(jié)構(gòu)變了舀寓，A平移到新位置成A′還是由移動(dòng)前的所有鐵分子組成的集胆数，這移動(dòng)只是改變各分子的位置而不能改變A的組成成員和組織結(jié)構(gòu)。同樣互墓，保距變換是剛體運(yùn)動(dòng)從而不改變點(diǎn)集的組成成員和組織結(jié)構(gòu)必尼。極顯然：E各點(diǎn)之間任意交換位置后還是原點(diǎn)集E，但點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離變大（写勰臁）后（集的組成成員沒(méi)變但組織結(jié)構(gòu)變了）就不能還是原點(diǎn)集了判莉。所以不改變組成成員的變距變換必改變點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)。有了各點(diǎn)還須有規(guī)定各點(diǎn)如何排列聚集的法則才能確定一點(diǎn)集育谬；點(diǎn)還是這些點(diǎn)券盅，但其可聚集成長(zhǎng)度為c的直線段A也可聚集成長(zhǎng)為c的圓弧等等，A還可伸長(zhǎng)（壓縮） 變長(zhǎng)（短）為新線段(～A)還由A的全部點(diǎn)組成膛檀。這說(shuō)明：質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與質(zhì)點(diǎn)本身有根本區(qū)別從而使質(zhì)點(diǎn)集與數(shù)（數(shù)組）集有根本區(qū)別锰镀。E中兩個(gè)點(diǎn)形成點(diǎn)集B，兩點(diǎn)的距離ρ一發(fā)生變化就形成還由這兩點(diǎn)組成的集≠B咖刃，因ρ≥0可取無(wú)窮多個(gè)數(shù)故這兩點(diǎn)可形成無(wú)窮多均由其組成的各異點(diǎn)集泳炉。要注意集的組成成員與集的元素是有根本區(qū)別的，例｛2嚎杨，2花鹅，2｝由3個(gè)2組成但其元卻只有一個(gè)。

高中有“平面內(nèi)的不變直線”知識(shí)枫浙。集合起碼常識(shí)a和有序連續(xù)變化的變化規(guī)律顯示自有變換（函數(shù)）概念幾百年來(lái)數(shù)學(xué)一直存在重大錯(cuò)誤：將變動(dòng)了的直（射）線誤為不變直（射）線刨肃。

設(shè)A=｛x｝表A各元均由x代表古拴，變量x的變域是A，其余類(lèi)推之景。說(shuō)R軸各元點(diǎn)x可沿軸保距平移變?yōu)辄c(diǎn)x+△x=y=x+1就是說(shuō)R軸可沿軸正向平移距離1變?yōu)閥=x+1軸斤富，其余類(lèi)推。R各元x保序變?yōu)閥（x）=x+△x=kx生成I={y}各元y=kx中的正常數(shù)k若≈1則I各元y=kx≈(1+0)x=x (x=0時(shí)kx=0)與R各元x一一對(duì)應(yīng)近似相等（或?qū)?yīng)相等）使I≈R（xy平面的直線y=kx≈x與直線y=x近似重合）锻狗；顯然當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)才有：I各元kx=x與R各元x一一對(duì)應(yīng)相等使I=R满力。可見(jiàn)數(shù)集相等概念表明x軸保序伸縮變換為y（x）=kx軸≠x軸（正常數(shù)k≠1）轻纪；當(dāng)然肉眼不可察覺(jué)此事實(shí)油额，但下文使人憑肉眼就能察覺(jué)。

有共同橫坐標(biāo)的點(diǎn)（x刻帚，y）與點(diǎn)（x潦嘶，y′≈y）近似重合。直線A：y=x（y∈R）各元點(diǎn)P（x崇众，y=x）中的x 不變而y=x保序變?yōu)閥=kx≈x（正常數(shù)k≈1）就使A變?yōu)樵屈c(diǎn)P′（x掂僵，y=kx≈x）的直線B：y=kx≈x而與直線y=x近似重合，原因是兩線各點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=x與y=kx≈x一一對(duì)應(yīng)近似相等（或?qū)?yīng)相等）顷歌；顯然若“一一對(duì)應(yīng)相等”則兩線必重合锰蓬，故兩線只可近似重合而不可重合的唯一原因是各y=x∈R與各y=kx≈x不能一一對(duì)應(yīng)相等。這就形象地說(shuō)明R各元x非恒等變換地保序變?yōu)閥=kx生成I各元y=kx與R各元x不可一一對(duì)應(yīng)相等使R≠I(mǎi)眯漩。

h定理1：U各元點(diǎn)（x芹扭，y=x）中的x 不變而y變?yōu)閥′=y′（x）得元為點(diǎn)（x，y′）的V赦抖，V=U的必要條件：U舱卡、V各元點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)（x，y）?點(diǎn)（x队萤，y′）且y=x與y′=y′（x）同為x的增函數(shù)轮锥；滿(mǎn)足此條件的U、V不重合的原因是關(guān)系式中的縱標(biāo)y′與y不可一一對(duì)應(yīng)相等要尔。

證：U交胚、V各元點(diǎn)（x，y=x）與（x盈电，y′）中的函數(shù)y=x與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系的關(guān)系圖就是U，函數(shù)關(guān)系y′=y′（x）的關(guān)系圖就是V杯活，若U=V則顯然定義域相同的y′與y必是同一函數(shù)。A各元y=x變?yōu)閥′= y′（x）組成B=｛y′｝,設(shè)各x是平面點(diǎn)的橫坐標(biāo)，各y與y′是縱坐標(biāo)卷谈。y（x）=y′（x）時(shí)點(diǎn)（x，y）∈U與點(diǎn)（x互拾，y′=y）∈V重合說(shuō)明U、V各元點(diǎn)的縱標(biāo)y（x）與y′（x）若一一對(duì)應(yīng)相等則各元點(diǎn)必一一對(duì)應(yīng)重合使U=V嚎幸。故若U≠V則必表明各縱標(biāo)y與y′不可一一對(duì)應(yīng)相等颜矿。證畢。

h定理2（實(shí)際上是文[3]中的h推論1）：至少有兩元的數(shù)集A非恒等變換地保序變換為B必≠A嫉晶。

證1：若數(shù)集A＝B則顯然A的元與B的元必可由小到大一一對(duì)應(yīng)相等骑疆。A各數(shù)在集內(nèi)分別都有一定的大小“名次、地位”替废，例在A={0箍铭，1，2}中：2是第一大的數(shù)椎镣，1是第二大數(shù)诈火，0是第三大數(shù)；A各元x保序變?yōu)閤2組成{0状答，1冷守，4}也有第一大、第二大惊科、第三大的元拍摇。大小互不同的雞組成集A和B，a（b）是A（B）中第n大的雞译断，顯然若A=B則a和b必是同一雞授翻。任一A=｛x｝各數(shù)x保序變?yōu)閥=y（x）（y是增函數(shù)）組成B=｛y（x）｝，x∈A在A中的大小“地位”與y（x）∈B在B中的大小地位是一樣的孙咪，顯然若A=B則x與y（x）必是同一數(shù)堪唐，故若y（x）不≡x則B≠A。

證2：x軸各元點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)y=x得元為點(diǎn)y=x的y=x軸翎蹈。A各元y=x可形象化為y=x軸(⊥x軸)的元點(diǎn)y=x∈y軸而分別都有一定的高度（可<0）淮菠，A各點(diǎn)y=x沿y軸方向非恒等變換地保序升高（降低）變?yōu)辄c(diǎn)y′（x）形成B=｛點(diǎn)y′｝?相應(yīng)數(shù)軸，y′（x）是x的增函數(shù)荤堪。將各點(diǎn)（x合陵，y）的縱標(biāo)y稱(chēng)為點(diǎn)的高，直線y=x是由高低各不同的點(diǎn)（x澄阳，y=x）從低到高有序聚集成的拥知。直線y=x的子集U=｛（x，y=x）|y=x的變域是A｝各高為y=x的元點(diǎn)非恒等變換地保序升高（降低）（保高碎赢、低順序）移動(dòng)變?yōu)楦呤莥′（x）的點(diǎn)P′（x低剔，y′）∈V，因各元點(diǎn)移動(dòng)的方向均⊥x軸故各P′不能都還在直線y=x上；故所有點(diǎn)P′組成的V=｛（x襟齿，y′（x））| y′的變域是B｝≠U姻锁，原因是各y與y′不能一一對(duì)應(yīng)相等，據(jù)h定理1猜欺。這形象地說(shuō)明A各元y=x與各對(duì)應(yīng)y′（x）∈B不能一一對(duì)應(yīng)相等使A≠B位隶。證畢。

相比下x軸上的點(diǎn)x與點(diǎn)x+c≈x（c≈0）近似重合开皿，要注意近似式中的c是與1相比而非與x相比≈0即c是與±1相比而非與x相比距0極近涧黄。R軸即x軸各點(diǎn)x沿軸非恒等變換地保序平移變?yōu)辄c(diǎn)y=x+△x=x+非0常數(shù)c生成元為點(diǎn)y的y=x+c軸疊壓在x軸上，中學(xué)數(shù)學(xué)一直認(rèn)定x軸=y軸即函數(shù)y=x+c的值域y軸=x軸副瀑，因初中幾何有直線公理（有書(shū)“證明”這是定理）：過(guò)空間兩異位置點(diǎn)有且只能有一條直線弓熏。其實(shí)這是違反集合起碼常識(shí)a的肉眼直觀錯(cuò)覺(jué)。理由：①據(jù)h定理2這非恒等保序變換前后的直線不相等糠睡。②可從二維圖形上說(shuō)明此事實(shí)挽鞠。有相互平行的直線y=x（y∈R）和直線y=x+c,由圖像可見(jiàn)若c≈0則直線y=x+c≈x+0與直線y=x近似重合，原因是兩線各點(diǎn)的縱標(biāo)y=x與y=x+c≈x一一對(duì)應(yīng)近似相等狈孔；故兩線只可近似重合而不可重合的唯一原因是各y=x與各對(duì)應(yīng)y=x+c不能一一對(duì)應(yīng)相等信认；據(jù)h定理1兩線不可重合的原因是不可“一一對(duì)應(yīng)相等”。這形象地說(shuō)明R各元x與各f（x）=x+c不能一一對(duì)應(yīng)相等均抽；顯然各x只能與各x+c中的x一一對(duì)應(yīng)相等而不可與各x+c本身一一對(duì)應(yīng)相等嫁赏。可見(jiàn)數(shù)集相等概念表明x軸沿軸平移變?yōu)閥=x+c軸≠x軸油挥。③第三節(jié)指出y=x+c（c>0）軸有點(diǎn)的坐標(biāo)y=x+c>R一切數(shù)x使R是有界集潦蝇！

x軸非恒等變換地保序不保距（收縮）變換為元為點(diǎn)y=x+△x=0.5x的y=0.5x軸（不≌x軸）疊壓在x軸上，中學(xué)一直認(rèn)定x軸=y軸深寥，因有直線公理攘乒。其實(shí)這是肉眼直觀錯(cuò)覺(jué)。理由：⑴同上①惋鹅。⑵直線y=x各點(diǎn)P（x则酝，y=x）變?yōu)辄c(diǎn)P′（x，y=0.5x）（y是增函數(shù)）得元為P′的直線y=0.5x與直線y=x不重合闰集，原因是兩線各點(diǎn)的縱標(biāo)y=x∈R與y=0.5x不能一一對(duì)應(yīng)相等沽讹，據(jù)h定理1。顯然各0.5x只能與各x=0.5x+0.5x∈R中的0.5x一一對(duì)應(yīng)相等而不可…武鲁。⑶不保距（收縮）變換是改變點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)的變換：使元點(diǎn)間的距離變小的變換爽雄。所以y=0.5x軸不≌x軸反映出兩軸有不同的組織結(jié)構(gòu)。⑷下節(jié)證明[a沐鼠，b]?x軸與[a盲链，b]?y=0.5x軸是偽二重直線段（區(qū)間）——從另一側(cè)面表明0.5x軸與x軸是偽二重直線。

同理可證：x軸沿軸（非恒等變換地）保序伸縮、平移成X=kx+b軸(疊壓在x軸上)≠x軸刽沾，其中常數(shù)k>0是伸縮因子，b≠0是平移因子排拷。所以“據(jù)直線公理X軸與x軸重合”是中學(xué)幾百年解析幾何的直觀錯(cuò)覺(jué)侧漓，是搞錯(cuò)X=kx+b（增函數(shù)）的值域的以井代天錯(cuò)誤。

R所有非負(fù)元x≥0組成R+监氢，數(shù)學(xué)將R+記為[0布蔗，+∞）。R軸的射線x≥0即射線R+各元x≥0非恒等變換地保序變?yōu)閥=x+△x=xk≥0（正常數(shù)k≠1）組成｛y｝=Y疊壓在R+上（說(shuō)R+=Y就是說(shuō)Y是射線R+）浪腐，中學(xué)幾百年“Y=R+”是肉眼直觀錯(cuò)覺(jué)纵揍。理由：⑴據(jù)h定理2Y≠R+。⑵可從幾何上說(shuō)明此事實(shí)议街。設(shè)xk中的k=2泽谨，平面上的直線y=x上的射線y=x≥0（x的變域是R+）各元點(diǎn)（x，y=x≥0）變?yōu)辄c(diǎn)P′（x特漩，y=x2≥0）得元為P′的拋物線y=x2≥0（x≥0吧雹，y=x2是增函數(shù)）與射線y=x≥0不重合，原因是兩線各點(diǎn)的縱標(biāo)y=x≥0與y=x2≥0不能一一對(duì)應(yīng)相等涂身，據(jù)h定理1雄卷。這形象地說(shuō)明R+各元x≥0與各對(duì)應(yīng)x2≥0不能一一對(duì)應(yīng)相等使R+≠Y「蚴郏…丁鹉。同理,直線段V=[0，1]?R+各元x（0≤x≤1）非恒等變換地保序不保距變?yōu)閥=xk（正常數(shù)k≠1）組成S≠V悴能；且據(jù)幾何起碼常識(shí)c因S不≌V故S≠V揣钦，中學(xué)幾百年“S=V”是違反幾何常識(shí)c的錯(cuò)誤。據(jù)h定理2R+各元x≥0非恒等變換地保序變?yōu)閥=2x2≥0組成｛y｝=C≠R+搜骡；…拂盯。

同理可證：R各元y=x非恒等變換地保序變?yōu)閥′=x3組成R′=｛y′=x3｝（y′是x的增函數(shù)，相應(yīng)有平面直線y=x與曲線y′=x3）≠R记靡，中學(xué)幾百年“R′=R”是重大錯(cuò)誤谈竿。

研究圖形A的投影T非常重要，T隨A的連續(xù)運(yùn)動(dòng)而連續(xù)運(yùn)動(dòng)摸吠。電燈在斷電之前一直都那么亮空凸，而手電筒的光亮度是隨著電池的電量的減少而逐漸減弱直至無(wú)光亮的；后者是有序漸變寸痢。復(fù)平面z=x+iy的x軸即直線z=x繞點(diǎn)z=0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（00≤α≤900）變?yōu)橹本€B：直線z′=x（cosα+isinα）=xcosα+ixsinα=u+iv（相應(yīng)有u=xcosα軸）呀洲，α=00時(shí)直線B=x軸而在x軸的正投影T=x軸，轉(zhuǎn)角α由00→900使B由∥x軸變到⊥x軸，B在x軸的正投影T隨之就從T=x軸開(kāi)始連續(xù)不斷地收縮變換成T=u（=xcosα）軸（0≤cosα≤1）道逗，最后收縮成只有一個(gè)元u=xcos900=0的點(diǎn)集T=｛點(diǎn)u=0｝兵罢。有無(wú)窮多個(gè)元的直線T與只有一個(gè)元的｛點(diǎn)u=0｝有無(wú)窮大的差別。T由直線（x軸）收縮變化最后變?yōu)橹挥幸粋€(gè)元的點(diǎn)集這種有序連續(xù)變化的變化規(guī)律必是：T先與x軸有較小的差別（α≈00時(shí)）然后再有較大的差別滓窍，最后有無(wú)窮大的差別卖词，正如可=0的有序連續(xù)變化的變數(shù)x由正數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)時(shí)必先=0然后才能=負(fù)數(shù)一樣，正如一人不經(jīng)過(guò)兒童期就絕不可進(jìn)入少年期一樣吏夯〈蓑冢可見(jiàn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)、變化的有序漸變的性質(zhì)從一側(cè)面表明x軸保序收縮變換為u（=xcosα）軸（正常數(shù)cosα<1）必≠x軸噪生。據(jù)直線公理說(shuō)直線T=x軸在收縮成只有一個(gè)元的點(diǎn)集之前的各次收縮變換后總=x軸（注：運(yùn)動(dòng)的直線可暫時(shí)固定一下）裆赵，無(wú)異于說(shuō)T的收縮變化不是有序連續(xù)變化。這直線公理嚴(yán)重歪曲了事物的本來(lái)面目跺嗽，正如“一個(gè)什么都不懂的嬰兒在變?yōu)榭茖W(xué)家之前的幾十年間一直≡嬰兒战授，只要其達(dá)到一定年齡的某一天就突變成科學(xué)家∨滓希”嚴(yán)重歪曲了事物的本來(lái)面目一樣陈醒。產(chǎn)生邏輯悖論是因主觀認(rèn)識(shí)與客觀實(shí)際不符。正確反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系從而正確反映有序連續(xù)變化的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)瞧甩，才是真正的數(shù)學(xué)钉跷。注！第三節(jié)揭示R軸是有界集肚逸！由錯(cuò)誤的公理推出的“定理”必是偽定理爷辙。

注：x軸各點(diǎn)x沿軸平移變?yōu)辄c(diǎn)u=kx(正數(shù)k=cosα≤1)生成還由x軸所有元點(diǎn)聚集成的u=kx軸～x軸。u軸各點(diǎn)u=kx→0（k由1→0）變?yōu)辄c(diǎn)u=kx=0x即各點(diǎn)u沿軸移動(dòng)到其極限位置u=0處聚集成的單元點(diǎn)集｛u=0x=0|x的變域是x軸｝還由u軸所有元點(diǎn)組成——點(diǎn)還是這些點(diǎn)朦促，但其都集中在同一位置上就形成單元點(diǎn)集了膝晾。

二、幾何起碼常識(shí)c讓3000年都無(wú)人能識(shí)的偽二重直線段一下子浮出水面推翻百年集論——初等幾何2300年極重大錯(cuò)誤：將無(wú)窮多各異圖形誤為同一圖形

有人體穴位圖A和B务冕，A（B）中各穴位P（P′）到太陽(yáng)穴P0(P0′)的距離是變數(shù)ρ（ρ′）≥0血当，若B≌A則顯然ρ′與ρ必是同一變數(shù)，P0與P0′互為合同對(duì)應(yīng)穴禀忆。文[2]提出一種判斷兩點(diǎn)集是否≌的新方法：

h定理3：若點(diǎn)集A（至少有兩元）各元點(diǎn)x保距變?yōu)辄c(diǎn)y（x）生成B=｛y（x）｝≌A則A各點(diǎn)x到A任一固定點(diǎn)x0的距離ρ=|x-x0|=ρ′=|y（x）-y0（x0）|=B各元點(diǎn)y（x）到點(diǎn)y0（x0）（點(diǎn)y0與點(diǎn)x0互為合同對(duì)應(yīng)點(diǎn)）的距離臊旭，即ρ′與ρ是同一距離函數(shù)。同理A與B≌A可是二箩退、三維空間點(diǎn)集离熏，…。

證：由A≌B的定義ρ′=ρ戴涝。同理…滋戳。證畢钻蔑。

區(qū)間[0，1]表示0與1及0與1之間所有數(shù)組成的集奸鸯，但要注意后文表明[0咪笑，1]與[0，1]?x軸或x′軸等娄涩，是不同區(qū)間蒲肋；...。由h定理3判斷數(shù)集A與B是否≌時(shí)若A各元均由x代表則B各元須由別的字母例y等代表钝满。在“一一對(duì)應(yīng)相等”中應(yīng)注意：0≤x≤1和0≤x+1≤1（-1≤x≤0）中括號(hào)外的x和y=x+1的變域均為區(qū)間F=[0，1]申窘，y=x+1中x的變域W=[-1弯蚜，0]可平移距離1變?yōu)镕。W的最大元x=0變?yōu)閥=x+1（x=0）=1（∈F=[0剃法，1]）=x（=1）碎捺，因不等式規(guī)定F各元也均由x代表；這里的x+1=x=1中等號(hào)兩邊的x是不相等的贷洲，此x=0收厨，彼x=1。F=[0优构，1]各元是x=h诵叁；F各元也可是y=x+1=h，當(dāng)y中x=y-1的變域是W時(shí)钦椭。各x=h與各y=h當(dāng)然可一一對(duì)應(yīng)相等：x=h?y=x+1=h（恒等對(duì)應(yīng)）拧额，但要注意箭頭兩邊的x是不相等的。所以元為x的W變?yōu)樵獮閥=x+1的F的變換彪腔，是W平移距離1的變換侥锦；元為x=h的F變?yōu)樵獮閥=x+1=h的F的變換，是恒等變換德挣。所以A=[0恭垦，1]?x軸各元點(diǎn)x=θ到A的中點(diǎn)x=1/2的距離ρ=|x（=θ）-0.5|，B（=A）=[0格嗅，1]?y=x+1軸各點(diǎn)y=x+1=θ到B的中點(diǎn)y=1/2的距離ρ′=|y（=x+1）-0.5|( x+1=θ)=ρ番挺；同樣A各點(diǎn)x=θ到A的左端點(diǎn)x=0的距離|x（=θ）|與B各點(diǎn)y=x+1=θ到B的左端點(diǎn)y=0的距離|y（=x+1）|( x+1=θ)是同一距離函數(shù)。要注意閉直線段E≌E′且E∥E′中E的左（或上）端點(diǎn)P與E′的左（上）端點(diǎn)P′不一定是合同對(duì)應(yīng)點(diǎn)吗浩，E保距且保序變?yōu)镋′≌E才能使P′與P是合同對(duì)應(yīng)點(diǎn)建芙。將非合同對(duì)應(yīng)點(diǎn)誤為合同對(duì)應(yīng)點(diǎn)就會(huì)得錯(cuò)誤的結(jié)果。

h定理4：至少有兩元的點(diǎn)（數(shù)）集A=｛x｝（B=｛y｝）任兩異元x與x+△x（y與y+△y）之間的距離是|△x|（|△y|）懂扼，A≌B的必要條件是|△x|=|△y|即△y =±△x禁荸，充分必要條件是A右蒲、B各元有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：x?y=±x+常數(shù)c。

證：A≌B時(shí)A與B的元必可有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：x?y=y（x）赶熟，距離|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即△y=±△x瑰妄；而當(dāng)且僅當(dāng)y=y（x）=±x+c時(shí)才有△y=y（x+△x）-y（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x。證畢映砖。

同理间坐，二、三維空間點(diǎn)集A≌B的必要條件是...邑退。

R軸即x軸收縮變換為y=0.5x軸≠x軸竹宋。由-2≤x≤2得-1≤0.5x≤1。自有函數(shù)概念幾百年來(lái)數(shù)學(xué)一直斷定“定義域=[-2地技，2]?R的y=x/2=0.5x的值域=[-1蜈七，1]?R”。這一中學(xué)函數(shù)“常識(shí)”其實(shí)是違反幾何起碼常識(shí)c的肉眼直觀錯(cuò)覺(jué)莫矗。直線段L=[-2飒硅，2]?x軸有子部D=[-1，1]?x軸作谚，L各元點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)y=x+△x=0.5x生成元為點(diǎn)y的線段D′（～L）=[-1三娩，1] ?y=0.5x軸∶美粒～L的D′≠D?L的理由：

①保距變換將直線段A的中心點(diǎn)變?yōu)樾戮€段B≌A的中心點(diǎn)即若A≌B則A的中點(diǎn)與B的中點(diǎn)必互為合同對(duì)應(yīng)點(diǎn)雀监；假設(shè)2300多年D≌D′成立則據(jù)h定理3相應(yīng)的距離ρ=ρ′；然而D各點(diǎn)x到D的中點(diǎn)x=0的距離ρ=|x|彬伦，D′各點(diǎn)y=0.5x到D′的中點(diǎn)y=0的距離ρ′=|0.5x|≠ρ滔悉；故假設(shè)不成立即D不≌D′。②h定理4說(shuō)明A各點(diǎn)x通過(guò)各種保距變換變?yōu)辄c(diǎn)x+△x=y（x）∈B≌A中的y與x∈A的對(duì)應(yīng)關(guān)系只能是y=±x+c（c可=0）单绑；所以D′有無(wú)窮多元是y=0.5x（x∈D）說(shuō)明D不可通過(guò)保距變換變?yōu)樵獮閥=0.5x的D′即D′不≌D回官；據(jù)幾何起碼常識(shí)cD′≠D。③文[1]證明了L～D′的任何真子集都不可～L搂橙。其實(shí)無(wú)人能證D各元x與D′各元y=0.5x能一一對(duì)應(yīng)歉提。各x變?yōu)閥=x是恒等變換。有人說(shuō)D可通過(guò)恒等變換變?yōu)樵?.5x的D′=D区转，這是錯(cuò)誤的苔巨。要將10噸棉花運(yùn)到棉紡廠須先用壓縮機(jī)將棉花壓縮打包使其體積縮小，壓縮后的棉花只是全部棉花的一小部分嗎废离？將3斤重的一包餅干A壓縮成壓縮餅干B使B的體積遠(yuǎn)小于A的體積侄泽，有人以為B是A的一小部分而將其一下子吃光，結(jié)果...蜻韭。這是致命錯(cuò)誤悼尾。同樣線段L收縮變短為與D?L等長(zhǎng)的D′～L不能成為L(zhǎng)的一部分D柿扣，中學(xué)的D′=D是使康脫誤入百年歧途的重大核心錯(cuò)誤。這錯(cuò)誤使康脫推出病態(tài)的“定理”：L～D?L闺魏∥醋矗“定理”中“=D卻不≌D的D′”中的D′=D因違反幾何起碼常識(shí)c從而是根本不能存在的假無(wú)窮集，而真正的無(wú)窮集D′≠D析桥。

與L=[-2司草，2]?x軸重合的線段β繞L的中點(diǎn)x=0反時(shí)針旋轉(zhuǎn)使β由∥x軸變到⊥x軸，β在x軸的正投影T隨之就不斷縮短使T兩端點(diǎn)的距離由=4逐漸變小到=0致兩端點(diǎn)重合泡仗。這T由T=β=L（有無(wú)窮多個(gè)元）開(kāi)始連續(xù)不斷地縮短變?yōu)門(mén)=γ=[-1埋虹，1] ?相應(yīng)數(shù)軸，繼而變?yōu)門(mén)=…娩怎，最后收縮成只有一個(gè)元的點(diǎn)集T=｛0｝吨岭。數(shù)學(xué)斷定γ?L即斷定縮短后的T必是縮短前的T的一部分，若此論斷成立則連續(xù)運(yùn)動(dòng)的有序漸變性使T的元點(diǎn)應(yīng)是由多到少地有序變換使T=γ的元點(diǎn)少于T=β=L的元點(diǎn)峦树，即T縮短后的元必少于縮短前的元，最后才能少至只有一個(gè)元旦事。百年集論斷定T在縮短成只有一個(gè)元之前的元點(diǎn)總是和T=β=L的元點(diǎn)一樣多魁巩，無(wú)異于斷定T的收縮變化不是有序連續(xù)變化。這就構(gòu)成急待消除的：連續(xù)運(yùn)動(dòng)悖論姐浮。

注：直線段T因被壓縮而改變了各組成成員之間的距離從而使T縮短成T′～T谷遂，最后所有成員都被移到位置x=0處形成還由T所有組成成員組成的單元集T′=｛u=0x=0|x的變域是L?x軸｝,這一使點(diǎn)集任兩異成員的間距由大變小最后變?yōu)?的變換，只是改變了點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)而沒(méi)使其有任何減員卖鲤；T不斷減員變?yōu)槠湔孀蛹疶″而縮短肾扰，最后減去一切非0成員而縮短成單元集T″=｛u=0｝這一減員變換不改變點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)而只改變其組成成員，這與前者的壓縮變換是有根本區(qū)別的蛋逾。

x軸伸縮變換為y=kx軸（正常數(shù)k≠1）集晚。有等長(zhǎng)線段：D=[-1，1]?x軸和J=[-1,1]?y=kx軸区匣，D 各點(diǎn)x到D 的中心x=0的距離ρ=|x|而J各點(diǎn)y=kx到J的中心y=0的距離ρ′=|kx|≠ρ偷拔；據(jù)h定理3J不≌D，J與D 是貌似重合的偽二重集亏钩、偽≌集莲绰。y=kx軸中的k≠1可取無(wú)窮多正數(shù)說(shuō)明有無(wú)窮多長(zhǎng)度均=2的直線段互不合同。由h定理3姑丑、4可證初等幾何2300多年“形狀蛤签、大小相同的圖形必合同”其實(shí)是被偽合同圖形迷惑而將無(wú)窮多各異點(diǎn)集誤為同一集。在某些情形例當(dāng)不研究線段有多少元點(diǎn)時(shí)可將問(wèn)題大大簡(jiǎn)化：將等長(zhǎng)的直線段視為相互合同的圖形栅哀。

復(fù)平面z=x+iy可收縮成平面0.5z疊壓在z面上震肮。z面有圓盤(pán)G：|z|≤2及圓盤(pán)K?G：|z|≤1称龙；G收縮成～G的圓盤(pán)K′?0.5z面：|0.5z|≤1疊壓在K上，“K=K′≌K′”其實(shí)是肉眼直觀錯(cuò)覺(jué)钙蒙。若圓盤(pán)A≌B則A與B的圓心必互為合同對(duì)應(yīng)點(diǎn)茵瀑，假設(shè)K=K′≌K′成立則據(jù)h定理3相應(yīng)的距離ρ=ρ′，然而K各點(diǎn)z到K的圓心z=0的距離ρ=|z|≤1而K′各點(diǎn)0.5z到圓心0.5z=0的距離ρ′=|0.5z|≤1躬厌，據(jù)h定理3K不≌K′马昨。z面可伸展成w=x+i2y=u+iv平面疊壓在z面上。w面有圓盤(pán)G′：|w|≤2疊壓在G上扛施，據(jù)h定理3可證G′不≌G鸿捧；…。

三疙渣、區(qū)間概念讓2500年都無(wú)人能識(shí)的“更無(wú)理”標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)一下子浮出水面推翻百年“R軸各點(diǎn)與各標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)定理”

“R各數(shù)x均有對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)x+c（c=1匙奴，2，…）等等”妄荔。高等數(shù)學(xué)是研究變量的,而凡變量必有變域泼菌，變數(shù)必可遍取其變域的一切數(shù)。區(qū)間Q=[0啦租，x]∪[x哗伯，x+1]∪[x+1，x+2] ∪[x+2篷角，x+3]∪…中變域?yàn)镽+的x≥0由0→∞遍取R+一切數(shù)x時(shí)Q的子區(qū)間[0焊刹，x]由0→∞地變長(zhǎng)而長(zhǎng)到包含R+一切數(shù)x∈[0，x]恳蹲。據(jù)中學(xué)區(qū)間概念在各[0虐块，x]（x的變域?yàn)镽+）之外還有標(biāo)準(zhǔn)無(wú)窮大正數(shù)x+1∈（x，x+1]等等>R一切數(shù)使R+是有界集嘉蕾！從而使上述的y=x+c軸≠x軸贺奠。x軸與y=x+c軸分別都有子部：射線R+和射線y=x+c≥0〈沓溃可見(jiàn)區(qū)間概念表明初等幾何“有公共起點(diǎn)的兩條射線的夾角若=0則兩線重合”是將無(wú)窮多各異線誤為同一線的2300年“井底蛙”誤區(qū)敞嗡。否定無(wú)理數(shù)使數(shù)學(xué)自相矛盾，否定“更無(wú)理”的正實(shí)數(shù)使初等數(shù)學(xué)出現(xiàn)違反區(qū)間概念和集合起碼常識(shí)a的尖銳自相矛盾航背。由發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)到發(fā)現(xiàn)“更無(wú)理”的標(biāo)準(zhǔn)無(wú)窮大正數(shù)竟須歷時(shí)2500年喉悴！

四、結(jié)束語(yǔ)

由上可見(jiàn)R軸沿本身平移或伸縮（伸縮系數(shù)k>0且≠1可取無(wú)窮多數(shù)）可變?yōu)闊o(wú)窮多各異直線相互疊壓在一起玖媚，而中學(xué)幾百年解析幾何一直只識(shí)其中的一條直線且將無(wú)窮多各異直線誤為同一線：R軸箕肃。這是因數(shù)學(xué)一直不知有用而不知的R外標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)，不知伸縮前后的直線若組成成員相同則組織結(jié)構(gòu)不同今魔，兩者是“同分異構(gòu)”體勺像。將各異直線誤為同一線自然就會(huì)將各異直線段誤為同一線段（以及將各異面誤為同一面）障贸。用h定理檢驗(yàn)知中學(xué)課本一直搞錯(cuò)了無(wú)窮多函數(shù)的值域，幾何學(xué)2300年來(lái)對(duì)n≥1維空間圖形的認(rèn)識(shí)一直存在極重大缺陷與錯(cuò)誤：將無(wú)窮多各種各類(lèi)的偽合同吟宦、偽重合圖形誤為合同篮洁、重合圖形；從而使康脫誤入百年歧途推出康健離脫的病態(tài)理論殃姓。破除迷信袁波、解放思想、實(shí)事求是才能創(chuàng)造3千載難逢的神話般世界奇跡使數(shù)學(xué)發(fā)生革命飛躍：從“井底”一下子躍出進(jìn)入到認(rèn)識(shí)“更無(wú)理”的偽二重直線段的時(shí)代從而不再被蒙在“井”里篷牌。詳論見(jiàn)[1][4]踏幻。備注：本文已在“預(yù)印本”上公布。

參考文獻(xiàn)

[1]黃小寧该面。憑初等數(shù)學(xué)常識(shí)發(fā)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)有一系列重大錯(cuò)誤——讓5千年無(wú)人能識(shí)的自然數(shù)一下子暴露出來(lái)[J]夭苗，學(xué)周刊，2018（9）:180听诸。

[2]黃小寧蚕泽。憑中學(xué)數(shù)學(xué)常識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課本一系列重大錯(cuò)誤——讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)2300年都無(wú)人能識(shí)的直線段[J]，數(shù)理化解題研究桥嗤，2016（24）:19须妻。

[3]黃小寧。發(fā)現(xiàn)最小正數(shù)推翻百年集論消除2500年芝諾悖論——中學(xué)重大錯(cuò)誤：將無(wú)窮多各根本不同的點(diǎn)集誤為同一集[J]荒吏，中國(guó)科技信息渊鞋，2010（18）。

[4]黃小寧儡湾。初等數(shù)學(xué)各常識(shí)凸顯中學(xué)數(shù)學(xué)有一系列重大錯(cuò)誤——“一一配對(duì)”讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)5千年無(wú)人能識(shí)的自然數(shù)[J]执俩，課程教育研究，2017（50）：107尝丐。

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