損失函數(shù)也叫目標(biāo)函數(shù)蒋院，他是衡量預(yù)測值和實際值的相似程度的指標(biāo)厢绝。我們希望預(yù)測值和真實值盡量接近，就需要估計一系列參數(shù)來擬合，這個參數(shù)集使得誤差越小就說明這個算法還不錯吼畏。一個損失函數(shù)有可能存在多個局部最小點督赤，我們就需要至少找到在局部地區(qū)的最小值。

找到生成最小值的一組參數(shù)的算法被稱為優(yōu)化算法泻蚊。我們發(fā)現(xiàn)隨著算法復(fù)雜度的增加躲舌，則算法傾向于更高效地逼近最小值。我們將在這篇文章中討論以下算法：

隨機(jī)梯度下降法（批次性雄、隨機(jī)没卸、mini-batch）

動量算法（物理里面的動量含義）

RMSProp

Adam 算法

隨機(jī)梯度下降法

隨便找一本書介紹 SGD，都會出現(xiàn)這個公式

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θ是你試圖找到最小化 J 的參數(shù)秒旋，這里的 J 稱為目標(biāo)函數(shù)约计，α叫做學(xué)習(xí)率。目標(biāo)函數(shù)的來龍去脈可以參考之前的文章滩褥。我們先假設(shè)θ取一個值病蛉，然后不停的修正這個值，從而使得最小化J瑰煎∑倘唬可以假設(shè)θ是一個山坡上一個點，而最后的導(dǎo)數(shù)部分是該點的坡度酒甸；學(xué)習(xí)率就是一個摩擦系數(shù)魄健，學(xué)習(xí)率大就說明摩擦越小。

算法說明

隨機(jī)梯度下降法：

1插勤、初始化參數(shù)（θ沽瘦，學(xué)習(xí)率）

2、計算每個θ處的梯度

3农尖、更新參數(shù)

4析恋、重復(fù)步驟 2 和 3，直到代價值穩(wěn)定

隨便舉個例子：

下面是一個目標(biāo)函數(shù)和他的導(dǎo)數(shù)

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用 python 實現(xiàn)這兩個曲線

importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltdefminimaFunction(theta):returnnp.cos(3*np.pi*theta)/thetadefminimaFunctionDerivative(theta):const1 =3*np.pi? ? const2 = const1*thetareturn-(const1*np.sin(const2)/theta)-np.cos(const2)/theta**2#從0.1-2.1,步長0.01theta = np.arange(.1,2.1,.01)Jtheta = minimaFunction(theta)dJtheta = minimaFunctionDerivative(theta)plt.plot(theta,Jtheta,'m--',label =r'$J(\theta)$')plt.plot(theta,dJtheta/30,'g-',label =r'$dJ(\theta)/30$')plt.legend()axes = plt.gca()plt.ylabel(r'$J(\theta),dJ(\theta)/30$')plt.xlabel(r'$\theta$')plt.title(r'$J(\theta),dJ(\theta)/30 $ vs $\theta$')plt.show()

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圖中虛線有3處局部最低點盛卡，在靠近0附件是全局最小的助隧。

使用下面的程序模擬逐步找到最小值

importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltimportmatplotlib.animationasanimation#給定參數(shù)逐步找到最優(yōu)值defoptimize(iterations, oF, dOF,params,learningRate):oParams = [params]#喜歡次數(shù)foriinrange(iterations):# 計算參數(shù)的導(dǎo)數(shù)dParams = dOF(params)# 更新參數(shù)值params = params-learningRate*dParams# 參數(shù)追加到數(shù)組,方便演示oParams.append(params)returnnp.array(oParams)#損失函數(shù)defminimaFunction(theta):returnnp.cos(3*np.pi*theta)/theta#損失函數(shù)導(dǎo)數(shù)defminimaFunctionDerivative(theta):const1 =3*np.pi? ? const2 = const1*thetareturn-(const1*np.sin(const2)/theta)-np.cos(const2)/theta**2#基本參數(shù)設(shè)定theta =.6iterations=45learningRate =.0007optimizedParameters = optimize(iterations,\? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? minimaFunction,\? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? minimaFunctionDerivative,\? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? theta,\? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? learningRate)#? plt 繪制損失函數(shù)曲線thetaR = np.arange(.1,2.1,.01)Jtheta = minimaFunction(thetaR)# 在損失函數(shù)上繪制參數(shù)點JOptiTheta = minimaFunction(optimizedParameters)# 創(chuàng)建動畫fig, ax = plt.subplots()line, = ax.plot(thetaR,Jtheta,'m-')axes = plt.gca()axes.set_ylim([-4,6])#y 周范圍axes.set_xlim([0,2])#x周范圍# 構(gòu)建動畫參數(shù)Writer = animation.writers['ffmpeg']writer = Writer(fps=15, metadata=dict(artist='Me'), bitrate=1800)# 動畫動作defanimate(i):line, = ax.plot(optimizedParameters[i],JOptiTheta[i],'or')# update the dataplt.title(r'Updating $\theta$ through SGD $\theta$ = %f J($\theta$) = %f'%(optimizedParameters[i],JOptiTheta[i]))returnline,#動畫ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, np.arange(1, iterations),? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? interval=1, blit=True)#保存ani.save('sgd1.mp4', writer=writer)

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如果我們的學(xué)習(xí)率很大，我們可以自己調(diào)參數(shù)進(jìn)行測試滑沧，會發(fā)現(xiàn)紅點數(shù)據(jù)有可能沖到另外一個坡度并村，形成震蕩。把參數(shù)跳到0.01就可以發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象滓技。

動量 SGD

用戶想要使用非常大的學(xué)習(xí)速率來快速學(xué)習(xí)感興趣的參數(shù)哩牍。不幸的是，當(dāng)代價函數(shù)波動較大時令漂，這可能導(dǎo)致不穩(wěn)定膝昆，之前的視頻學(xué)習(xí)參數(shù)過大丸边，基本就沒什么點可以看到。

動量 SGD 試圖使用過去的梯度預(yù)測學(xué)習(xí)率來解決這個問題

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γ 和 ν 值允許用戶對 dJ(θ) 的前一個值和當(dāng)前值進(jìn)行加權(quán)來確定新的θ值荚孵。人們通常選擇γ和ν的值來創(chuàng)建指數(shù)加權(quán)移動平均值原环，如下所示：

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β參數(shù)的最佳選擇是 0.9。選擇一個等于 1-1/t 的β值可以讓用戶更愿意考慮νdw 的最新 t 值处窥。這種簡單的改變可以使優(yōu)化過程產(chǎn)生顯著的結(jié)果！我們現(xiàn)在可以使用更大的學(xué)習(xí)率玄组，并在盡可能短的時間內(nèi)收斂滔驾！

#給定參數(shù)逐步找到最優(yōu)值defoptimize(iterations, oF, dOF,params,learningRate,beta):oParams = [params]? ? vdw=0.0#喜歡次數(shù)foriinrange(iterations):# 計算參數(shù)的導(dǎo)數(shù)dParams = dOF(params)# 應(yīng)用公式求得 vdwvdw = vdw*beta+(1.0-beta)*dParams# 更新參數(shù)值params = params-learningRate*vdw# 參數(shù)追加到數(shù)組,方便演示oParams.append(params)returnnp.array(oParams)

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RMSProp

精益求精，我們繼續(xù)看看如何再優(yōu)化俄讹。

RMS prop 試圖通過觀察關(guān)于每個參數(shù)的函數(shù)梯度的相對大小哆致，來改善動量函數(shù)。因此患膛，我們可以取每個梯度平方的加權(quán)指數(shù)移動平均值摊阀，并按比例歸一化梯度下降函數(shù)。具有較大梯度的參數(shù)的 sdw 值將變得比具有較小梯度的參數(shù)大得多踪蹬，從而使代價函數(shù)平滑下降到最小值胞此。可以在下面的等式中看到：

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這里的 epsilon 是為數(shù)值穩(wěn)定性而添加的跃捣，可以取 10e-7漱牵。我理解的意思是防止除以0吧。

既然公式給出了疚漆，我們就繼續(xù)用代碼來實現(xiàn)

defoptimize(iterations, oF, dOF,params,learningRate,beta):oParams = [params]? ? sdw=0.0eps =10**(-7)#喜歡次數(shù)foriinrange(iterations):# 計算參數(shù)的導(dǎo)數(shù)dParams = dOF(params)# 應(yīng)用公式求得 sdwsdw = sdw*beta+(1.0-beta)*dParams**2# 更新參數(shù)值params = params-learningRate*dParams/(sdw**.5+eps)# 參數(shù)追加到數(shù)組,方便演示oParams.append(params)returnnp.array(oParams)

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看來效果越來越好了酣胀。

Adam 算法

我們是否可以做得更好？結(jié)合上面動量和RMSProp結(jié)合成一種算法娶聘，以獲得兩全其美的效果闻镶。公式如下：

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其中貝塔有2個參數(shù)，分別可以設(shè)置為0.9和0.999丸升，貝塔的 t 次方铆农，t 表示迭代次數(shù)（需要+1）

#給定參數(shù)逐步找到最優(yōu)值defoptimize(iterations, oF, dOF,params,learningRate,beta1,beta2):oParams = [params]? ? sdm=0.0vdm=0.0vdwCorr =0.0sdwCorr =0.0eps =10**(-7)#喜歡次數(shù)foriinrange(iterations):# 計算參數(shù)的導(dǎo)數(shù)dParams = dOF(params)# 應(yīng)用公式求得vdm=vdm*beta1+(1-beta1)*dParams? ? ? ? sdm=sdm*beta2+(1-beta1)*dParams**2vdwCorr=vdm/(1.0-beta1**(i+1))? ? ? ? sdwCorr=sdm/(1.0-beta2**(i+1))# 更新參數(shù)值params = params-learningRate*vdwCorr/(sdwCorr**.5+eps)# 參數(shù)追加到數(shù)組,方便演示oParams.append(params)returnnp.array(oParams)

學(xué)習(xí)率修改為0.3，也能比較好的工作发钝。

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當(dāng)然顿涣，針對多維也是一樣操作，需要考慮導(dǎo)數(shù)的時候各個維度酝豪，參數(shù)也需要對應(yīng)出現(xiàn)涛碑。

作者：breezedancer

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來源：簡書

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