均值不等式鏈

本文介紹冪平均函數(shù)以及由他得出的冪均值不等式铣猩。

引理：Jensen不等式【琴生不等式】

假設 $f(x)$ 是區(qū)間 $I$ 上的凸函數(shù)，我們有如下結論：
$f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$

反之茴丰，如果 $f(x)$ 是一個凹函數(shù)达皿，那么上面的不等式變號。

Jensen不等式證明

假設 $f(x)$ 是定義在區(qū)間 $I$ 上的凸函數(shù)贿肩，且 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是 $I$ 上的任意點峦椰。我們需要證明以下不等式：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$

步驟 1: 使用凸函數(shù)的定義

函數(shù) $f(x)$ 是凸的，意味著對于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和 $\lambda \in [0, 1]$ 汰规，有：

$f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)$

這就是凸函數(shù)的核心性質(zhì)汤功。

步驟 2: 歸納法證明

基本情形： $n = 2$

我們首先考慮 $n = 2$ 的情形，也就是說溜哮，證明以下不等式：

$f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

這正是凸函數(shù)的定義滔金。取 $\lambda = \frac{1}{2}$ 色解，我們有：

$f\left( \frac{1}{2} x_1 + \frac{1}{2} x_2 \right) \leq \frac{1}{2} f(x_1) + \frac{1}{2} f(x_2)$

因此，基本情況 $n = 2$ 成立餐茵。

歸納假設：假設 $n = k$ 時成立

假設對于任意 $k$ 個點 $x_1, x_2, \dots, x_k$ 科阎，不等式：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_k)}{k}$

成立。

歸納步驟：證明 $n = k + 1$ 時成立

現(xiàn)在忿族，我們需要證明對于 $k + 1$ 個點 $x_1, x_2, \dots, x_{k+1}$ 锣笨，有：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{k+1})}{k+1}$

為了證明這一點，我們將 $n = k + 1$ 的問題轉化為兩個部分道批，利用歸納假設和凸函數(shù)的性質(zhì)错英。

首先，設 $\bar{x}_k = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k}$ 是前 $k$ 個點的平均值隆豹。根據(jù)歸納假設走趋，我們知道：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_k)}{k}$

接下來，我們將 $\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k + x_{k+1}}{k+1}$ 表示為兩個部分的加權平均：

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} = \frac{k}{k+1} \cdot \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} + \frac{1}{k+1} \cdot x_{k+1}$

即：

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} = \frac{k}{k+1} \bar{x}_k + \frac{1}{k+1} x_{k+1}$

由于 $f$ 是凸的噪伊，我們可以應用凸函數(shù)的定義，得到：

$f\left( \frac{k}{k+1} \bar{x}_k + \frac{1}{k+1} x_{k+1} \right) \leq \frac{k}{k+1} f(\bar{x}_k) + \frac{1}{k+1} f(x_{k+1})$

由歸納假設氮唯， $f(\bar{x}_k) \leq \frac{f(x_1) + \cdots + f(x_k)}{k}$ 鉴吹，因此：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} \right) \leq \frac{k}{k+1} \cdot \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_k)}{k} + \frac{1}{k+1} f(x_{k+1})$

將右邊的兩項合并，得到：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{k+1})}{k+1}$

結論

通過歸納法惩琉，我們證明了對于任意正整數(shù) $n$ 豆励，不等式：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$

對于任意凸函數(shù) $f(x)$ 和任意 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 成立。

冪平均函數(shù)

假設 $x_1,x_2,\cdots,x_n>0$ ,則冪平均函數(shù)定義如下：
$M(r)=(\frac{x_1^r+x_2^r+\cdots+x_n^r}{n})^{\frac{1}{r}}, (當r \neq 0時)$

$M(0)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
接下來我們說明這樣一個冪平均函數(shù)在實數(shù)集上是連續(xù)并且單調(diào)遞增的瞒渠。

冪平均函數(shù)的單調(diào)性證明良蒸。

取函數(shù) $f(x)=x^{\frac{\beta}{\alpha}}(x>0)$ ，則

$f''(x)=\frac{\beta}{\alpha}(\frac{\beta}{\alpha}-1)x^{\frac{\beta}{\alpha}-1}$

①當 $0< \alpha <\beta$ 時伍玖， $f''(x)>0$ 嫩痰，此時 $f(x)$ 是一個凸函數(shù)。那么根據(jù)我們的引理琴生不等式窍箍，有
$f(\frac{a_1^\alpha+a_2^\alpha+\cdots+a_n^\alpha}{n})\leq \frac{f(a_1^\alpha)+f(a_2^\alpha)+\cdots+f(a_n^\alpha)}{n}$
講 $f(x)$ 的具體形式帶入串纺，隨后兩邊 $\frac{1}{\beta}$ 次方.
可以得到
$(\frac{x_1^\alpha+x_2^\alpha+\cdots+x_n^\alpha}{n})^{\frac{1}{\alpha}}\leq(\frac{x_1^\beta+x_2^\beta+\cdots+x_n^\beta}{n})^{\frac{1}{\beta}}$
這樣就證明了 $M(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 這個區(qū)間上是遞增的。

②當 $\alpha<\beta<0$ 時椰棘， $f''(x)<0$ 纺棺，此時 $f(x)$ 是一個凹函數(shù)。那么根據(jù)我們的引理琴生不等式邪狞，有
$f(\frac{a_1^\alpha+a_2^\alpha+\cdots+a_n^\alpha}{n})\geq \frac{f(a_1^\alpha)+f(a_2^\alpha)+\cdots+f(a_n^\alpha)}{n}$
講 $f(x)$ 的具體形式帶入祷蝌，隨后兩邊 $\frac{1}{\beta}$ 次方.這時候需要注意 $\frac{1}{\beta}$ 是一個負數(shù)，因此要改變不等式符號的方向帆卓。
可以得到
$(\frac{x_1^\alpha+x_2^\alpha+\cdots+x_n^\alpha}{n})^{\frac{1}{\alpha}}\leq(\frac{x_1^\beta+x_2^\beta+\cdots+x_n^\beta}{n})^{\frac{1}{\beta}}$
這樣就證明了 $M(x)$ 在 $(-\infty巨朦，0)$ 這個區(qū)間上是遞增的米丘。

于是我們就得到了如下的均值不等式鏈：
$M(-1)\leq M(0)\leq M(1)\leq M(2)$
他們從左到右依次被稱為 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的調(diào)和均值，幾何均值罪郊，算術均值蠕蚜，平方均值。

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