微分方程-線性方程-存在性與唯一性

線性方程-存在性與唯一性

考慮如下形式的微分方程

$\dfrac{\text2j95m0n\boldsymbol{x}}{\textzhgkwvut}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\quad(3.1)$

其中 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{f}\in\mathbb{R}^n$ . 若函數(shù) $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 在某點(diǎn) $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ 處有 Taylor 展開

$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{R} (\boldsymbol{x})$

其中 $\lVert \boldsymbol{R}(\boldsymbol{x})\rVert$ 是 $\lVert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\rVert$ 的高階無窮欣蠲（這里 $\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\rVert$ 是向量 $\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0$ 的范數(shù)）， $\boldsymbol{A}$ 為 $n\times n$ 階矩陣，則在 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ 附近的向量值函數(shù) $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 可以用其線性部分

$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)$

來逼近，因此人們自然地想到用如下形式的線性微分方程的解來逼近方程組（3.1）在 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ 附近的解：

$\dfrac{\textxu2iudq\boldsymbol{x}}{\textsod2hm7t}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0).$

從這個(gè)意義上說铜异，研究線性微分方程及線性微分方程組是進(jìn)一步研究一般微分方程即微分方程組的基礎(chǔ).

考慮含 $n$ 個(gè)未知函數(shù)的一階線性微分方程組

$\begin{cases} \dfrac{\textsxbm7ayx_1}{\text52t22xht}=a_{11}(t)x+a_{12}(t)x_2+\cdots+a_{1n}(t)x_n+f_1(t)\\ \dfrac{\textosllaoux_2}{\textapalesct}=a_{21}(t)x_1+a_{22}(t)x_2+\cdots+a_{2n}(t)x_n+f_2(t)\\ \cdots\cdots\\ \dfrac{\textkd5l0kqx_n}{\textehs05w2t}=a_{n1}(t)x_1+a_{n2}(t)x_2+\cdots+a_{nn}+f_n(t) \end{cases}\quad(3.2)$

其中已知函數(shù) $a_{ij}(t),\,f_i(t)\,(i,j=1,2,\cdots,n)$ 都是區(qū)間 $[\alpha,\beta]$ 上的連續(xù)函數(shù). 令

$\boldsymbol{A}(t)=\begin{pmatrix} a_{11}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\ a_{21}(t)&\cdots&a_{2n}(t)\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}(t)&\cdots&a_{nn}(t) \end{pmatrix},$

$\boldsymbol{f}(t)= \begin{pmatrix} f_1(t)\\ f_2(t)\\ \vdots\\ f_n(t)\\ \end{pmatrix},$

$\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix},$

則可以用矩陣記號把方程組（3.2）寫為

$\dfrac{\textlmeb0a0\boldsymbol{x}}{\textreat5vxt}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}+\boldsymbol{f}(t)\quad(3.3)$

當(dāng) $\boldsymbol{f}(t)\equiv0$ 時(shí)，我們稱方程組（3.3）是齊次的秸架；否則揍庄，就是非齊次的.

對方程組（3.3），我們首先需要知道它滿足給定的初值條件的解是否存在东抹，如果存在是否唯一. 下面的存在唯一性定理回答了這一基本問題：

定理 3.1

假設(shè) $\boldsymbol{A}(t)$ 是區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n\times n$ 階連續(xù)矩陣函數(shù)蚂子， $\boldsymbol{f}(t)$ 是區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n$ 維連續(xù)列向量函數(shù). 則對于區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上的任意實(shí)數(shù) $t_0$ 及任意 $n$ 維常向量 $\boldsymbol{x}^0$ ，方程組（3.3）在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上存在唯一解 $\boldsymbol{x}(t)$ 滿足初值條件 $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}^0$ .

這個(gè)結(jié)果不僅告訴我們初值問題解的存在性與唯一性缭黔，而且指出解的存在區(qū)間和已知函數(shù)連續(xù)的區(qū)間是一樣大的.

為了理解和證明這個(gè)定理食茎，我們需要了解矩陣函數(shù)的一些形式. 對矩陣函數(shù)的加法、乘法的定義與普通的常數(shù)矩陣相同. 稱矩陣 $\boldsymbol{A}(t)=(a_{ij}(t))$ 是連續(xù)的（或可微的）试浙，如果其每一個(gè)元素 $a_{ij}(t)$ （其中 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ ）都是實(shí)變量 $t$ 的連續(xù)函數(shù)（或可微函數(shù)）. 在可微的情形下董瞻，

$\dfrac{\textgiailog}{\textzog5iwrt}\boldsymbol{A}(t)=\left(\dfrac{\texthppt2iv}{\textyrn0kybt}a_{ij}(t)\right)$ .

矩陣函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也滿足

$\dfrac{\texthxitayq}{\text04cbp0ct}(\boldsymbol{A}_1(t)+\boldsymbol{A}_2(t))=\dfrac{\textrzzuyba\boldsymbol{A}_1(t)}{\textspsledvt}+\dfrac{\texthloalkr\boldsymbol{A}_2(t)}{\textfxm0btdt},$

$\dfrac{\textaiix5iz}{\texti5u7jmlt}(\boldsymbol{A}_1(t)\boldsymbol{A}_2(t))=\dfrac{\textew5c0gb\boldsymbol{A}_1(t)}{\textroz5agft}\boldsymbol{A}_2(t)+\boldsymbol{A}_1(t)\dfrac{\textwtpoavc\boldsymbol{A}_2(t)}{\textdlp50x7t}.$

如果矩陣 $\boldsymbol{A}(t)=(a_{ij}(t))$ 的每個(gè)元素 $a_{ij}(t)$ （其中 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ ）都在 $t$ 的區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上可積，就稱矩陣 $\boldsymbol{A}(t)$ 在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上可積田巴，并且

$\displaystyle\int_\alpha^\beta\boldsymbol{A}(t)\textfc0kkuit=\left(\int_\alpha^\beta a_{ij}(t)\textgla9ru5t\right).$

為了討論矩陣函數(shù)序列的收斂問題，對矩陣 $\boldsymbol{A}$ 及向量 $\boldsymbol{x}$ 我們引入其范數(shù)為

$\displaystyle\lVert\boldsymbol{A}\rVert=\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|,$

$\displaystyle\lVert\boldsymbol{x}\rVert=\sum_{i=1}^n|x_i|$

顯然對任意 $n\times n$ 階矩陣 $\boldsymbol{A}_1,\,\boldsymbol{A}_2$ 及 $n$ 維向量 $\boldsymbol{x}_1,\,\boldsymbol{x}_2$ 挟秤，有如下性質(zhì)：

$\lVert\boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{A}_2\rVert\leqslant\lVert\boldsymbol{A}_1\rVert+\lVert\boldsymbol{A}_2\rVert,$

$\lVert\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2\rVert\leqslant\lVert\boldsymbol{x}_1\rVert+\lVert\boldsymbol{x}_2\rVert,$

$\lVert\gamma\boldsymbol{A}\rVert=|\gamma|\;\lVert\boldsymbol{A}\rVert,\quad\forall\;\gamma\in\mathbb{R}(or\;\;\mathbb{C})$

$\lVert\gamma\boldsymbol{x}\rVert=|\gamma|\;\lVert\boldsymbol{x}\rVert,\quad\forall\;\gamma\in\mathbb{R}(or\;\;\mathbb{C})$

$\lVert\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{A}_2\rVert\leqslant\lVert\boldsymbol{A}_1\rVert\,\lVert\boldsymbol{A}_2\rVert,$

$\displaystyle\left\lVert\int_\alpha^\beta\boldsymbol{A}(t)\textapxpiq7t\right\rVert\leqslant\int_\alpha^\beta\lVert\boldsymbol{A}(t)\rVert\text7s42aoft$

考慮 $n\times n$ 階矩陣函數(shù)序列 $\{\boldsymbol{A}_k(t)\}$ 壹哺，其中 $\boldsymbol{A}_k(t)=(a_{ijj}^{(k)}(t))$ . 稱它對所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 收斂（一致收斂），如果對任意的 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ 函數(shù)序列 $\{a_{ij}^{(k)}(t)\}$ 對所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 收斂（一致收斂）. 同理艘刚，稱矩陣函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\boldsymbol{A}_k(t)$

對所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 收斂（一致收斂）管宵，如果對任意的 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ ，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{ij}^{(k)}(t)$

對所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant \beta$ 收斂（一致收斂）.

定理 3.1 的證明

第一步

容易驗(yàn)證，方程組（3.3）關(guān)于 $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}^0$ 的初值問題等價(jià)于求積分方程

$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}^0+\int_{t_0}^t(\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{x}(\tau)+\boldsymbol{f}(\tau))\textha0t0dm\tau\quad(3.4)$

在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上的連續(xù)解. 事實(shí)上箩朴，如果連續(xù)函數(shù) $\boldsymbol{x}(t)$ 是積分方程（3.4）的解岗喉，由方程（3.4）右端立即看出 $\boldsymbol{x}(t)$ 也是可微的. 因此對方程（3.4）的兩端關(guān)于 $y$ 求導(dǎo)可推出微分方程組（3.3）的形式. 方程（3.4）稱為（3.3）的等價(jià)積分方程.

第二步

利用積分方程（3.4）構(gòu)造向量函數(shù)序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ ，其中 $\boldsymbol{x}_0(t)\equiv\boldsymbol{x}_0$ 炸庞，且

$\displaystyle\boldsymbol{x}_k(t)=\boldsymbol{x}^0+\int_{t_0}^t(\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{x}_{k-1}(\tau)+\boldsymbol{f}(\tau))\textckksvqe\tau\quad(3.5)$

這里 $k=1,2,\cdots$ 且 $t\in[\alpha,\,\beta].$ 容易歸納地證明钱床，對任意正整數(shù) $k$ ，向量函數(shù) $\boldsymbol{x}_k(t)$ 在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上是一致收斂的埠居，它的極限函數(shù) $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k(t)$ 在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上連續(xù)且滿足等價(jià)積分方程（3.4）.

第三步

向量函數(shù)序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ 在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收斂. 為此只需證明向量函數(shù)級數(shù)

$\displaystyle\boldsymbol{x}_0(t)+\sum_{j=2}^{\infty}\left[\boldsymbol{x}_j(t)-x_{j-1}(t)\right],\;(\alpha\leqslant t\leqslant\beta)\quad(3.6)$

在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收斂查牌，因?yàn)樗那? $k$ 項(xiàng)之和維 $\boldsymbol{x}_k(t).$

因?yàn)? $\boldsymbol{A}(t)$ 和 $\boldsymbol{f}(t)$ 都在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上連續(xù)，所以 $\lVert\boldsymbol{A}(t)\rVert$ 和 $\lVert\boldsymbol{f}(t)\rVert$ 都在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上有界滥壕，即存在大于零的常數(shù) $M$ 纸颜，使得

$\lVert\boldsymbol{A}(t)\rVert\leqslant M,\quad\lVert\boldsymbol{f}(t)\rVert\leqslant M,\alpha\leqslant t\leqslant\beta$

成立. 利用（3.5）可以歸納地證明在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上成立

$\lVert\boldsymbol{x}_j(t)-\boldsymbol{x}_{j-1}(t)\rVert\leqslant(\lVert\boldsymbol{x}^0\rVert+1)\dfrac{M^j}{j!}|t-t_0|^j\quad(3.7)$

證明 $j=1$ 的情形和假設(shè) $j=m$ 成立時(shí)證明 $j=m+1$ 的情形的房費(fèi)基本是一樣的. 事實(shí)上，由（3.5）和歸納法假設(shè)绎橘，

$\begin{aligned} &\lVert\boldsymbol{x}_{m+1}(t)-\boldsymbol{x}_m(t)\rVert\\ \leqslant&\left|\int_{t_0}^t\lVert\boldsymbol{A}(\tau)\rVert\,\lVert\boldsymbol{x}_m(\tau)-\boldsymbol{x}_{m-1}(\tau)\rVert\textm57buts\tau\right|\\ \leqslant&M(\lVert\boldsymbol{x}^0\rVert+1)\dfrac{M^m}{m!}\left|\int_{t_0}^t|\tau-t_0|^m\texteby22ba\tau\right|\\ =&(\lVert\boldsymbol{x}^0\rVert+1)\dfrac{M^{m+1}}{(m+1)!}|t-t_0|^{m+1} \end{aligned}$

用比值判別法知級數(shù)

$\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}\dfrac{M^j}{j!}|t-t_0|^j$

在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上是一致收斂的. 因此級數(shù)（3.6）在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收斂. 從而胁孙，向量函數(shù)序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ 在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上是一致收斂的.

第四步

根據(jù)收斂性，設(shè)

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k(t)=\boldsymbol{x}(t)$

由序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ 的連續(xù)性和一致收斂性称鳞，它的極限函數(shù) $\boldsymbol{x}(t)$ 也在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上連續(xù). 在（3.5）式兩邊令 $k\to\infty$ 取極限得到

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k(t)=\boldsymbol{x}^0+\int_{t_0}^t\lim_{k\to\infty}(\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{x}_{k-1}(\tau)+\boldsymbol{f}(\tau))\textin0v7fv\tau.$

即極限函數(shù) $\boldsymbol{x}(\tau)$ 對所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 都滿足積分方程（3.4）.

第五步

證明積分方程（3.4）的連續(xù)解的唯一性. 設(shè) $\tilde{\boldsymbol{x}}(t)$ 是在同一區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上的積分方程（3.4）的另一個(gè)連續(xù)解. 容證明 $\boldsymbol{y}:=\boldsymbol{x}(t)=\tilde{\boldsymbol{x}}(t)$ 滿足積分方程

$\displaystyle\boldsymbol{y}(t)=\int_{t_0}^t\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\textangg2u2\tau,\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta$

由連續(xù)性涮较，令 $L>0$ 為 $\lVert\boldsymbol{y}(t)\rVert$ 在有界閉區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上的一個(gè)上界. 和前面類似，可以可以歸納地證明對任意正整數(shù) $k$ ,

$\displaystyle\lVert\boldsymbol{y}(t)\rVert\leqslant\dfrac{LM^k}{k!}|t-t_0|^k,\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta\quad(3.8)$

上面的不等式右端當(dāng) $k\to\infty$ 時(shí)趨于零胡岔，因此 $\boldsymbol{y}(t)\equiv0$ 法希，即在區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上 $\tilde{\boldsymbol{x}}(t)\equiv\boldsymbol{x}(t)$ . 定理證畢.

在證明定理 3.1 時(shí)所采用的逐次逼近法時(shí) Picard 給出的. Picard 逐次逼近法也是用來求方程近似解的一種方法.

最后編輯于：2019.11.13 17:00:49

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微分方程-線性方程-存在性與唯一性

線性方程-存在性與唯一性

定理 3.1

定理 3.1 的證明

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步

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