3. 洛倫茲變換和質(zhì)能方程是怎么推導(dǎo)的?
請注意【數(shù)學(xué)公式也是一種語言椎眯，比自然語音更為表達(dá)準(zhǔn)確的語言】
洛倫茲變換的核心是光速不變原理编整，以及時空均勻性。前者由光干涉實驗的零結(jié)果證實，后者確保洛倫茲變換是線性變換镶蹋。洛倫茲變換包含6個情況，即3個空間轉(zhuǎn)動和3個時空轉(zhuǎn)動boost淆两。boost就是教科書上常見的那種形式拂酣。下面主要講boost這種情況婶熬。我這里找到別人關(guān)于變換公式的一個參考文獻(xiàn)(英文版)pdf下載赵颅。而且我們還可以把沿著任意單位方向n運動的洛倫茲變化公式求解出來，這個公式求解過程可以參考此處洛倫茲變換詞條捂刺。注意到這個公式把一般的洛倫茲變換給出來了族展，它是一種3+1形式，3維空間和1維時間贵涵。之后的任意個四維矢量形如(t,r)都可以由這個公式套用独悴。
我們常常會遇到運用洛倫茲變換求解各種奇怪的問題刻炒，總是覺得在一個參考系的物理量變到另一個參考系會“相對來相對去”地收縮膨脹效應(yīng)坟奥，如時間和長尺爱谁，會把自己搞混亂孝偎。我們盡量用四維語言來表述。例如求解下面的速度變換公式寺旺。如圖势决，男孩觀察一個物體以速度u運動，女孩觀察該物體以速度u'運動果复，女孩相對男孩沿著任一方向以速度v運動。不考慮相對論效應(yīng)走搁，u'=u-v。注意速度是個矢量朱盐，帶有方向兵琳。
但是考慮相對論效應(yīng)女孩觀察到的速度u'為
其中的洛倫茲因子是
這個公式用四維語言計算比較方便躯肌。首先定義4維速度
三維速度定義和固有時與時間坐標(biāo)的關(guān)系如下清女，可最終得到四維速度表達(dá)式嫡丙。
前面已經(jīng)說過我們對任何形如4維矢量(t,r)可套用洛倫茲變換形式曙博。這里男孩參考系為靜止參考系拥刻，即男孩靜止，觀察物體的4維速度為(γ0,γ0 u),女孩參考系內(nèi)的物體4維速度為(γ'父泳，γ'u')般哼。那么
還有的問題需要借助時空圖來解決。如圖惠窄，在光錐內(nèi)是低于光速運動的事件蒸眠，這些事件的時空軌跡靠近時間坐標(biāo)軸，被稱為類時(timelike)事件杆融，光錐面上是光速運動楞卡，被稱為類光事件(lightlike)，光錐外是超光速運動的事件脾歇，事件的時空軌跡靠近空間坐標(biāo)軸的蒋腮，被稱為類空事件(spacelike)。
這種解題方式詳見于梁燦彬《微分幾何入門與廣義相對論》上冊介劫，討論狹義相對論的那一章節(jié)徽惋。如果有興趣可以看看案淋。
接下來我們要討論質(zhì)能方程E=mc^2座韵。同樣采用四維語言。定義四維動量
我們要定義4維矢量的內(nèi)積是3正1負(fù)的運算法則蹈丸。這個法則來源于時空中的長度定義加上了時間一維奋岁，X=(t,x,y,z)的內(nèi)積<X,X>=s^2=-t^2+x^2+y^2+z^2。這個長度是不會因為坐標(biāo)變換而改變的光绕，因為它是一個標(biāo)量。標(biāo)量，矢量谷徙，張量剩失，旋量是不同數(shù)學(xué)概念脾歧。其中只有標(biāo)量是坐標(biāo)變換不變量芒粹。為什么呢？因為坐標(biāo)變換對實際物理量不會有影響付材，只會對它的數(shù)學(xué)表達(dá)式有影響，坐標(biāo)變換實質(zhì)上選擇了不同的向量基底。標(biāo)量是不需要向量基底來表示作喘，它只是一個數(shù)泞坦。同樣地我們定義4維動量的內(nèi)積
其中
那么通過簡單計算，有
那么這里的動量和能量為什么可以被四維動量(E,p)定義出來？因為這個能量動量與牛頓動力學(xué)定義不完全一樣。當(dāng)物體靜止，即p=0,我們很自然地得到質(zhì)能方程崖咨。也許有人覺得這像是事后諸葛亮际邻，恰好湊出這個結(jié)果缨恒。其實不是的×爰眩現(xiàn)在我們的思路是4維語言化的叶洞，是很數(shù)學(xué)的螟炫。
一旦有了數(shù)學(xué)結(jié)果封寞，我們于是盡可能地挖掘它可行的物理含義。方法是通過取極限或取近似，讓它回到已知的認(rèn)識上。那么我們就說我們推廣了原有的理論，而且也可在推廣之上得到新的結(jié)果。
所以不妨嘗試從上面的公式取低速近似，可以得到E=?mv^2+mc^2枚碗。同樣地道理，我們?yōu)槭裁从X得廣義相對論在牛頓引力上推廣呢，而且堅信廣義相對論的基本方程是正確的?那就看下一章內(nèi)容吧舱污。
【附錄】洛倫茲變換推導(dǎo)
為了公式顯示方便捻撑，我把推導(dǎo)過程弄成圖片格式
之后可能的內(nèi)容
4. 廣義相對論的基本方程是什么？
5.如何求解廣義相對論的黑洞解?
6.廣義相對論對水星進(jìn)動是如何解釋?
7. 現(xiàn)在為什么又要修改廣義相對論?
8.? 雙生子佯謬和《星際穿越》中的年齡問題是一回事嗎?”
