信號與系統(tǒng)

信號

信號的基本變換
- 時移： $x(t-t_0)$ 右移 $t_0$
- 時間反轉(zhuǎn)： $x(-t)$
- 尺度變換： $x(2t)$ 兩倍速度缩宜， $x(t/2)$ 速度降低一半
連續(xù)信號與離散信號
單位沖激與單位階躍信號
周期信號
- 連續(xù)函數(shù) $x(t) = x(t + T)$ 幌陕，使上式成立的最小T為基波周期 $T_0$
- 離散函數(shù) $x[n] = x[n - N]$ ，使上式成立的最小N為基波周期 $N_0$
偶信號與奇信號
- 偶 $x(-t) = x(t), x[n] = x[-n]$
- 奇 $x(-t) = -x(t), x[-n] = -x[n]$
- 任何信號都可以分解為偶信號與奇信號之和蚊俺，偶部： $Re[x(t)] = \frac 12 [x(t) + x(-t)]$ 岔绸，奇部： $Im[x(t)] = \frac 12 [x(t) - x(-t)]$
連續(xù)函數(shù)
- C和a都是實數(shù)，則x(t)為實指數(shù)信號
- a為純虛數(shù)端仰，x(t)為周期信號
- 一般情況下捶惜， $C=|C|e^{j\theta},a=r+j\omega_0$ , $Ce^{at}=|C|e^{j\theta}e^{(r+j\omega_0)t}=|C|e^{rt}e^{j(\omega_0t+\theta)}$ ，可見荔烧， $\theta$ 為相位吱七，r控制振幅的增長或衰減

一、周期函數(shù)
$x(t) = e^{j\omega_0t} = cos(\omega_0t) + jsin(\omega_0t)$
$T_0=\frac{2\pi}{|\omega_0|}$ , $\omega_0=2\pi f_0$ , $f_0=\frac1{T_0}$
$Acos(\omega_0t+\phi) = ARe[e^{j(\omega_0t+\phi)}]$
$Asin(\omega_0t+\phi) = AIm[e^{j(\omega_0t+\phi)}]$
$\omega$ 單位為rad/s鹤竭， $t$ 單位為s踊餐， $\phi$ 單位為rad， $f$ 單位為周期/s臀稚，即Hz吝岭， $T$ 單位為秒/周期
二、諧波
$\phi_k(t) = e^{jk\omega_0t}, k = 0, \pm1, \pm2,...$
若k=0, $\phi(t)$ 是常數(shù)吧寺，其他k值窜管， $\phi(t)$ 是周期的，基波周期為 $\frac {T_0}{k}$ 稚机，即在任何長度為 $T_0$ 的長度內(nèi)幕帆，恰好通過了k個基波周期，所以第k次諧波對 $T_0$ 來說仍然是周期的赖条。

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離散信號或
- C和a都是實數(shù)失乾，則x[n]為實指數(shù)信號
- $\beta$ 為純虛數(shù)， $x[n]=e^{j\omega_0n}$ 為正弦信號
- 一般情況下谋币，x[n]為增長或衰減的正弦信號

一仗扬、實指數(shù)信號的形狀與a的值有關，a>1增長蕾额，a<1衰減早芭，a>0同號，a<0異號

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二诅蝶、離散正弦信號的周期性
連續(xù)信號 $e^{j\omega_0t}$ 有如下性質(zhì)：(1) $\omega_0$ 越大頻率越高退个；(2)對任何 $\omega_0$ 值都是周期的。
而對于離散信號 $e^{j\omega_0n}$ ：
(1) $e^{j(\omega_0+2\pi)n}=e^{j2\pi n}e^{j\omega_0n}=e^{j\omega_0n}$ 调炬，離散時間復指數(shù)信號在 $\omega_0+2k\pi$ 和 $\omega_0$ 是完全一致的语盈，這是由于采樣導致的結(jié)果；
(2) 要使信號為周期信號缰泡，必須滿足 $\omega_0N=2\pi m$
(3) 若N和m沒有公因子刀荒，那么基波周期就是 $N=m(\frac{2\pi}{\omega_0})$ ，基波頻率就是 $\frac {\omega_0} m$

系統(tǒng)

連續(xù)時間系統(tǒng)： $x(t) \rightarrow y(t)$
離散時間系統(tǒng)： $x[n] \rightarrow y[n]$
系統(tǒng)互聯(lián)：串聯(lián)、并聯(lián)缠借、反饋
記憶性
- 無記憶系統(tǒng)僅與當前輸入有關
- 記憶系統(tǒng)如累加器干毅、延遲單元等，與過去的輸入有關
可逆性：若不同的輸入有不同的輸出泼返，則系統(tǒng)可逆
因果性：若系統(tǒng)只決定與當前及過去的輸入硝逢，則為因果系統(tǒng)
穩(wěn)定性：輸入有界，輸出有界
時不變性：系統(tǒng)性質(zhì)不隨時間改變
線性：可加性與齊次性

線性時不變系統(tǒng)與卷積

用脈沖表示離散時間信號： $x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\delta[n-k]$
線性系統(tǒng)：令 $h_k[n]$ 為線性系統(tǒng)對脈沖 $\delta(n-k)$ 的響應绅喉，因此線性系統(tǒng)對x[n]的響應 $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h_k[n]$
時不變系統(tǒng)： $h_k[n]=h_0[n-k]$
LTI系統(tǒng)（卷積和）： $y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k] = x[n] * h[n]$
理解卷積1（看作n的函數(shù)）
$y[n] = ... + x[0]h[n-0] + x[1]h[n-1]+...$

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理解卷積2（看作k的函數(shù)）
$y[0] = \sum_k x[k]h[0-k]$
$y[1] = \sum_k x[k]h[1-k]$ ...

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