信號與系統(tǒng)

信號

  • 信號的基本變換
    • 時移:x(t-t_0) 右移 t_0
    • 時間反轉(zhuǎn):x(-t)
    • 尺度變換:x(2t) 兩倍速度缩宜,x(t/2) 速度降低一半
  • 連續(xù)信號與離散信號
  • 單位沖激與單位階躍信號
  • 周期信號
    • 連續(xù)函數(shù)x(t) = x(t + T)幌陕,使上式成立的最小T為基波周期T_0
    • 離散函數(shù)x[n] = x[n - N],使上式成立的最小N為基波周期N_0
  • 偶信號與奇信號
    • x(-t) = x(t), x[n] = x[-n]
    • x(-t) = -x(t), x[-n] = -x[n]
    • 任何信號都可以分解為偶信號與奇信號之和蚊俺,偶部:Re[x(t)] = \frac 12 [x(t) + x(-t)]岔绸,奇部:Im[x(t)] = \frac 12 [x(t) - x(-t)]
  • 連續(xù)函數(shù)x(t) = Ce^{at}
    • C和a都是實數(shù),則x(t)為實指數(shù)信號
    • a為純虛數(shù)端仰,x(t)為周期信號
    • 一般情況下捶惜,C=|C|e^{j\theta},a=r+j\omega_0,Ce^{at}=|C|e^{j\theta}e^{(r+j\omega_0)t}=|C|e^{rt}e^{j(\omega_0t+\theta)},可見荔烧,\theta為相位吱七,r控制振幅的增長或衰減

一、周期函數(shù)
x(t) = e^{j\omega_0t} = cos(\omega_0t) + jsin(\omega_0t)
T_0=\frac{2\pi}{|\omega_0|},\omega_0=2\pi f_0, f_0=\frac1{T_0}
Acos(\omega_0t+\phi) = ARe[e^{j(\omega_0t+\phi)}]
Asin(\omega_0t+\phi) = AIm[e^{j(\omega_0t+\phi)}]
\omega單位為rad/s鹤竭,t單位為s踊餐,\phi單位為rad,f單位為周期/s臀稚,即Hz吝岭,T單位為秒/周期
二、諧波
\phi_k(t) = e^{jk\omega_0t}, k = 0, \pm1, \pm2,...
若k=0,\phi(t)是常數(shù)吧寺,其他k值窜管,\phi(t)是周期的,基波周期為\frac {T_0}{k}稚机,即在任何長度為T_0的長度內(nèi)幕帆,恰好通過了k個基波周期,所以第k次諧波對T_0來說仍然是周期的赖条。

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  • 離散信號x[n]=Ca^nx[n]=Ce^{\beta n}
    • C和a都是實數(shù)失乾,則x[n]為實指數(shù)信號
    • \beta為純虛數(shù),x[n]=e^{j\omega_0n}為正弦信號
    • 一般情況下谋币,x[n]為增長或衰減的正弦信號

一仗扬、實指數(shù)信號的形狀與a的值有關,a>1增長蕾额,a<1衰減早芭,a>0同號,a<0異號

image.png

二诅蝶、離散正弦信號的周期性
連續(xù)信號e^{j\omega_0t}有如下性質(zhì):(1)\omega_0越大頻率越高退个;(2)對任何\omega_0值都是周期的。
而對于離散信號e^{j\omega_0n}
(1)e^{j(\omega_0+2\pi)n}=e^{j2\pi n}e^{j\omega_0n}=e^{j\omega_0n}调炬,離散時間復指數(shù)信號在\omega_0+2k\pi\omega_0是完全一致的语盈,這是由于采樣導致的結(jié)果;
(2) 要使信號為周期信號缰泡,必須滿足\omega_0N=2\pi m
(3) 若N和m沒有公因子刀荒,那么基波周期就是N=m(\frac{2\pi}{\omega_0}),基波頻率就是\frac {\omega_0} m

系統(tǒng)

  • 連續(xù)時間系統(tǒng):x(t) \rightarrow y(t)
  • 離散時間系統(tǒng):x[n] \rightarrow y[n]
  • 系統(tǒng)互聯(lián):串聯(lián)、并聯(lián)缠借、反饋
  • 記憶性
    • 無記憶系統(tǒng)僅與當前輸入有關
    • 記憶系統(tǒng)如累加器干毅、延遲單元等,與過去的輸入有關
  • 可逆性:若不同的輸入有不同的輸出泼返,則系統(tǒng)可逆
  • 因果性:若系統(tǒng)只決定與當前及過去的輸入硝逢,則為因果系統(tǒng)
  • 穩(wěn)定性:輸入有界,輸出有界
  • 時不變性:系統(tǒng)性質(zhì)不隨時間改變
  • 線性:可加性與齊次性

線性時不變系統(tǒng)與卷積

  • 用脈沖表示離散時間信號:x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\delta[n-k]
  • 線性系統(tǒng):令h_k[n]為線性系統(tǒng)對脈沖\delta(n-k)的響應绅喉,因此線性系統(tǒng)對x[n]的響應y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h_k[n]
  • 時不變系統(tǒng):h_k[n]=h_0[n-k]
  • LTI系統(tǒng)(卷積和):y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k] = x[n] * h[n]
  • 理解卷積1(看作n的函數(shù))
    y[n] = ... + x[0]h[n-0] + x[1]h[n-1]+...
    image.png
  • 理解卷積2(看作k的函數(shù))
    y[0] = \sum_k x[k]h[0-k]
    y[1] = \sum_k x[k]h[1-k]...
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