MIT線性代數(shù)總結(jié)筆記——行列式

行列式及其性質(zhì)

前面的章節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了大量關(guān)于矩陣的知識富寿，現(xiàn)在我們來集中探討一下方陣的性質(zhì)，其中行列式和特征值是重中之重锣夹，本章來單獨討論行列式页徐。

行列式（Determinants）

行列式是每個方陣都具有的值，我們將矩陣 $A$ 的行列式記作 $det(A) = |A|$ 银萍。行列式將很多矩陣信息壓縮到這一個數(shù)值中变勇，例如矩陣的不可逆（奇異矩陣）與行列式的值為 $0$ 等價（也就是說行列式可以直接判斷矩陣是否可逆）。

性質(zhì)

我們先從行列式最主要的三個性質(zhì)開始講起贴唇，因為這三個性質(zhì)定義了行列式搀绣，然后再拓展到其他性質(zhì)上。

（1）單位矩陣的行列式為 $1$ 戳气。

例如二維單位矩陣： $det(I) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} = 1$

（2）如果發(fā)生行交換链患，那么行列式的正負號會改變。

將性質(zhì)（1）和性質(zhì)（2）結(jié)合在一起瓶您，就能得到所有置換矩陣 $P$ 的行列式锣险。

例如

$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -1$

通過該性質(zhì)還可以得出蹄皱，置換矩陣 $P$ 具有奇偶性，也就是說芯肤，一個矩陣不可能經(jīng)過奇數(shù)次置換得到和偶數(shù)次置換相同的方陣巷折。

性質(zhì)（3）有兩個，分別為

（3）a. $\begin{vmatrix} ta & tb \\ c & d\end{vmatrix} = t\begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix}$

（3）b. $\begin{vmatrix} a+a' & b+b' \\ c & d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d\end{vmatrix}$

為什么說由以上三個性質(zhì)可以定義行列式崖咨，因為行列式其余的性質(zhì)皆可由上述三個性質(zhì)推導(dǎo)而出锻拘，以下是行列式其余的性質(zhì)及它們的推導(dǎo)過程。

（4）如果矩陣中的兩行相等击蹲，則它的行列式為 $0$ 署拟。

矩陣中的兩行相等，意味著發(fā)生兩行交換時歌豺，行列式不變推穷，根據(jù)性質(zhì)（2）：“如果發(fā)生行交換，那么行列式的正負號會改變类咧÷澹”，那么行列式只能為 $0$ 痕惋。

（5）行列式不因消元操作而改變区宇。

證明：

$\begin{vmatrix} a & b \\ c-la & d-lb\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b \\ -la & -lb\end{vmatrix}(性質(zhì)(3)b.) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix} - l\begin{vmatrix} a & b \\ a & b\end{vmatrix}(性質(zhì)(3)a.) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix}(性質(zhì)(4))$

（6）若矩陣中有一行是 $0$ ，那么行列式為 $0$

矩陣中有一行是0值戳，可以看作 $\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ c & d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a×0 & b×0 \\ c & d\end{vmatrix}$ 议谷，那么有

$\begin{vmatrix} a×0 & b×0 \\ c & d\end{vmatrix} = 0\begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix} = 0$

（7）對于三角陣的行列式，主元的乘積等于行列式堕虹。例如在四維中卧晓，設(shè)上三角矩陣 $U=\left[\begin{matrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ 0 & 0 & u_{33} & u_{34} \\ 0 & 0 & 0 & u_{44}\end{matrix}\right]$ ，則 $det(U) = u_{11}×u_{22}×u_{33}×u_{44}$ 赴捞， $n$ 維同理禀崖。

對于三角矩陣，我們可以通過不斷地消元最終得到對角矩陣螟炫，例如波附，通過消元法可以得到

$U=\left[\begin{matrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ 0 & 0 & u_{33} & u_{34} \\ 0 & 0 & 0 & u_{44}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} u_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & u_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & u_{44}\end{matrix}\right] = D（對角矩陣）$

那么我們再利用性質(zhì)（3）a.來證明對角矩陣的行列式就是對角線元素相乘

$\begin{vmatrix} u_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & u_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & u_{44}\end{vmatrix} =u_{11} u_{22} u_{33}u_{44}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

（8） $det(A) = 0$ ，則矩陣 $A$ 為奇異矩陣昼钻。相反掸屡，若 $det(A) \not= 0$ ，則矩陣 $A$ 可逆然评。

因為如果A可逆仅财，化簡后能得到矩陣各列都含非0主元，得到三角矩陣碗淌，再利用性質(zhì)（7）得到其行列式盏求。

（9） $det(AB) = det(A)det(B)$

這意味著 $A^{-1}A = I \Rightarrow det(A^{-1})det(A) = det(I) = 1 \Rightarrow det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$ 抖锥，這也可以作為本性質(zhì)的證明，也可以用對角陣 $A$ 和 $B$ 碎罚，但是我們必須一步步進行消元磅废，整個證明過程需要是非耐心，最終證明該性質(zhì)對任意矩陣成立荆烈。

同時本性質(zhì)還能推出

$det(A^2) = det(A)det(A)=det(A)^2$

這說明如果矩陣進行平方拯勉，那么它的行列式也會平方憔购。

此外宫峦，本性質(zhì)還能推出

$det(2A) = 2^ndet(A)$

因為對一個 $n×n$ 矩陣，將矩陣翻倍意味著各列向量都翻倍玫鸟，一共翻倍 $n$ 次导绷，因此行列式變成了 $2^n$ 倍。

（10） $det(A^T) = det(A)$

證明：

根據(jù) $A = LU$ 屎飘，有

$det(A) = det(LU)=det(L)det(U)$

$det(A^T) = det((LU)^T) = det(U^TL^T)= det(U^T)det(L^T)$

由于 $L$ 和 $U$ 都是三角矩陣妥曲，因此它們的行列式都是對角線的乘積，因此

$det(L) = det(L^T) \quad det(U) = det(U^T)$

所以最后我們得出

$det(A^T) = det(A)$

行列式的計算

對于行列式的計算枚碗，我們先來推導(dǎo)二維行列式的求解過程逾一。

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & b \\ c & d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & b \\ 0 & d\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0\end{vmatrix} = ad-bc$

觀察二維行列式的求解過程铸本，我們發(fā)現(xiàn)肮雨，行列式的求解取決于那些分解后非零行列式的和，即各行各列均有非零元素的行列式箱玷。因此我們按照這個規(guī)律怨规，繼續(xù)推導(dǎo)三維行列式，我們這次只寫出非 $0$ 項锡足，有

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix}$

$+ \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$

可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律波丰，因為各行各列均需有非零元素，所以對于 $n×n$ 的矩陣舶得，其行列式分解后的非零項有 $n!$ 個掰烟。

同理，我們根據(jù) $n$ 階行列式可以分解為 $n!$ 個非零行列式來推到出高維行列式的一般求解公式沐批，即

$|A| = \sum_{n!}\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}...a_{n\psi}(\alpha,\beta,\gamma,...,\psi為1到n的某種排列) = P^n_{n}$

例求 $|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

如果檢查該行列式分解出的24項會發(fā)現(xiàn)其中有22項為 $0$ 纫骑，剩下的非零行列式為

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1和\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$

因此 $|A| = 1-1 = 0$ 。

代數(shù)余子式（Cofactors）

接下來引入代數(shù)余子式的概念九孩，它的作用是把 $n$ 階行列式化簡為 $n-1$ 階行列式先馆。

先來看 $3×3$ 行列式的情況，上一節(jié)我們得到了

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$

那么我們以行列式第一行的三個元素來合并同類項躺彬，可以得到

$a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \\ = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) + a_{12}(-a_{21}a_{33} + a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

合并同類項后煤墙，我們又可以把新的三個項看作是三個矩陣的行列式

$a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) + a_{12}(-a_{21}a_{33} + a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) \\= \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{vmatrix}$

由此我們定義 $a_{ij}$ 的代數(shù)余子式：將原行列式的第 $i$ 行與第 $j$ 列抹去后得到的 $n-1$ 階行列式記為 $C_{ij}$ 梅惯， $i+j$ 為偶數(shù)時，該項前的符號為 $+$ 仿野， $i+j$ 為奇數(shù)時铣减，該項前的符號為 $-$ ，規(guī)律如下

$\begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{vmatrix}$

例 $a_{11}$ 的代數(shù)余子式為

$C_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

因此设预，將矩陣 $A$ 沿第一行展開的公式為

$|A| = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n}$

例

$|A_1| = 1 \quad |A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}= 0$

$|A_3| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0-1+0 = -1$

求 $|A_4|$ 徙歼、 $|A_5|$ 、 $|A_6|$ 鳖枕、 $|A_7|$

$|A_4| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1·|A_3| + (-1)·|A_2| = 0$

發(fā)現(xiàn)規(guī)律： $|A_n| = |A_{n-1}| - |A_{n-2}|$ 魄梯，因此可知

$|A_5| = 0 \quad |A_6| = 1 \quad |A_7| = 1$

會發(fā)現(xiàn)，隨著維度增加宾符，行列式的值呈現(xiàn) $1酿秸，0，-1魏烫，-1辣苏，0，1$ 哄褒，以這樣 $6$ 個值循環(huán)稀蟋，因此周期為 $6$ 。

小節(jié)

至此呐赡，我們掌握了三種方法來求一個方陣的行列式：

消元法（ $LU$ 分解）將矩陣 $A$ 化為 $U$ 退客， $|A|$ 就是主元的乘積（最簡單）
使用代數(shù)余子式按某一行展開（稍復(fù)雜）
按行列式公式完全展開計算，需要求 $n!$ 項之積（很復(fù)雜）

行列式的應(yīng)用

逆矩陣公式

我們已經(jīng)接觸到很多逆矩陣了链嘀，但是一直沒有給出逆矩陣的公式萌狂，你可以通過Gauss-Jordan消元法來求矩陣的逆，不過現(xiàn)在學(xué)習(xí)了行列式怀泊，可以直接求逆矩陣茫藏。

我們已經(jīng)知道二階逆矩陣的公式為：

$\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right] ^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix}\right]$

那么我們能否通過二階公式來推導(dǎo)至更高維度？

通過觀察公式我們發(fā)現(xiàn)：

$\frac{1}{ad-bc}$ 實際就是矩陣 $A$ 的行列式的倒數(shù)
后面的矩陣中的 $d$ 實際上是矩陣 $A$ 中的 $a$ 的代數(shù)余子式霹琼，同理务傲， $-b$ 實際上就是 $c$ 的代數(shù)余子式

因此可以得出，逆矩陣公式為

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}C^T$

等式右側(cè)矩陣外的因子枣申，其分母是矩陣的行列式售葡，而矩陣為代數(shù)余子式矩陣（Cofactor Matrix） $C$ 的轉(zhuǎn)置，稱為伴隨矩陣（Adjoint Matrix）糯而。因此矩陣 $A$ 的逆就是矩陣行列式的倒數(shù)與其伴隨矩陣的乘積天通。

那么為什么是這個公式呢？我們來驗證一下熄驼，假設(shè)等式成立像寒，首先將等式兩邊都乘上矩陣 $A$ 得到

$AA^{-1} = A\frac{1}{det(A)}C^T \Rightarrow AC^T = det(A)I$

因此烘豹，若逆矩陣公式成立其實就是判斷 $AC^T$ 是否與 $det(A)I$ 相等。

根據(jù)矩陣相乘诺祸，我們觀察發(fā)現(xiàn)携悯，矩陣 $AC^T$ 的第一行第一列元素等于矩陣 $A$ 第一行和矩陣 $C^T$ 第一列進行點積，計算可得

$\sum_{j=1}^{n}a_{1j}C_{1j} = det(A)$

也就是說筷笨，它們的點積其實就是矩陣 $A$ 的行列式計算公式憔鬼，而 $AC^T$ 對角線上的所有元素都是如此，因此我們可以得到胃夏，它們相乘后的矩陣轴或，其對角線處全部都是行列式。那么非對角元素呢仰禀？以第二行第一列為例照雁，相乘我們發(fā)現(xiàn)，各個代數(shù)余子式的形式不變答恶，但是與代數(shù)余子式相乘的變?yōu)榱司仃?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=A" alt="A" mathimg="1">第二行第 $j$ 列元素饺蚊。因此這個形式相當(dāng)于用矩陣 $A$ 第二行的元素替代第一行的元素得到的矩陣，前兩行的元素相同悬嗓，因此按照行列式性質(zhì)（4）污呼，其值為 $0$ 。

$\sum_{j=1}^{n}a_{2j}C_{1j} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \ddots & & a_{3n} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= 0$

因此最后我們得到

$AC^T = \left[\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} C_{11} & \cdots & C_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & \cdots & C_{nn} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} det(A) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & det(A) & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & det(A) \end{matrix}\right]I= det(A)I$

克萊姆法則（Cramer's Rule）

對于可逆矩陣 $A$ 包竹，方程 $Ax=b$ 必有解 $x=A^{-1}b$ 燕酷，將逆矩陣的公式代入，那么

$x=A^{-1}b=\frac{1}{det(A)}C^Tb$

克萊姆法則（Cramer's Rule）則是從另一個角度來看待這個公式映企，即 $x$ 的分量 $x_j$ 為 $x_j = \frac{det(B_j)}{det(A)}$

其中悟狱，矩陣 $B_j$ 為用向量 $b$ 替換矩陣 $A$ 的第 $j$ 列所得到的新矩陣静浴。例如

$B_1 = \left[\begin{matrix} b_1 & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ b_2 & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\ b_3 & a_{32} & \ddots & & a_{3n} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ b_n & a_{n2} & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{matrix}\right]$

矩陣 $B_j$ 的行列式的值從第j列用代數(shù)余子式進行展開計算堰氓，正好是伴隨矩陣 $C^T$ 的第j行，與向量 $b$ 點積的結(jié)果苹享。

但是相較于高斯消元法双絮，克萊姆法則計算方程的解的效率較低，它僅僅只是提供了一個代數(shù)表達式得问，讓人們能代數(shù)運算而不是寫算法囤攀。

行列式的幾何意義

在二維中，行列式的幾何意義其實就是矩陣所對應(yīng)的線性變換所改變由空間中兩基向量構(gòu)成的矩形的面積的比例宫纬，對應(yīng)到三維就是對應(yīng)空間中三個基向量對應(yīng)的平行六面體的體積的比例焚挠。

例：我們在二維空間中以一組基向量 $x=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right],y = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]$ 為例，兩個基向量構(gòu)成了一個單位矩形面積為 $1$ 漓骚，假設(shè)現(xiàn)在要進行線性變換蝌衔，變換矩陣為 $\left[\begin{matrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right]$ 榛泛，即變換后 $x$ 軸單位向量由 $x=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]$ 變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%203%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D" alt="\left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right]" mathimg="1">，對應(yīng)地噩斟，y軸單位向量由 $y = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]$ 變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%202%20%5C%5C%202%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D" alt="\left[\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right]" mathimg="1">曹锨，變換后我們發(fā)現(xiàn)，矩形面積變成了 $6$ 剃允，是原單位矩形面積的 $6$ 倍沛简，其值其實就是行列式 $\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 6$ 。
當(dāng)矩陣的行列式為 $0$ 時斥废，這意味著線性變換后椒楣，原空間被壓縮成了一條線或一個點（二維情況下），即原空間的維度降低牡肉。這也解釋了為何矩陣列向量線性相關(guān)時撒顿，經(jīng)過它的線性變換后，原空間發(fā)生維度降低荚板，其實就是因為它是奇異矩陣凤壁，它的行列式為0。
當(dāng)矩陣的行列式為負數(shù)時跪另，表示矩陣的線性變換將原空間的定向發(fā)生了改變拧抖，如平面翻轉(zhuǎn)。更為直觀的就是變換后坐標(biāo)軸的相對位置會發(fā)生變換免绿。在三維中唧席，一般情況下我們使用右手定則來構(gòu)建坐標(biāo)系，若此時現(xiàn)線性變換的矩陣行列式為負數(shù)時嘲驾，線性變換后新的坐標(biāo)系就會變成滿足左手定則淌哟。但是行列式的絕對值大小仍然決定其體積的縮放比例。

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末辽故，一起剝皮案震驚了整個濱河市徒仓，隨后出現(xiàn)的幾起案子，更是在濱河造成了極大的恐慌誊垢，老刑警劉巖掉弛，帶你破解...
沈念sama閱讀 211,817評論 6贊 492
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件，死亡現(xiàn)場離奇詭異喂走，居然都是意外死亡殃饿，警方通過查閱死者的電腦和手機，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 90,329評論 3贊 385
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進店門芋肠，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來乎芳，“玉大人，你說我怎么就攤上這事∧位螅” “怎么了谬晕？”我有些...
開封第一講書人閱讀 157,354評論 0贊 348
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵，是天一觀的道長携取。經(jīng)常有香客問我攒钳，道長，這世上最難降的妖魔是什么雷滋？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 56,498評論 1贊 284
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任不撑，我火速辦了婚禮，結(jié)果婚禮上晤斩，老公的妹妹穿的比我還像新娘焕檬。我一直安慰自己，他們只是感情好澳泵，可當(dāng)我...
茶點故事閱讀 65,600評論 6贊 386
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布实愚。她就那樣靜靜地躺著，像睡著了一般兔辅。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪腊敲。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上，一...
開封第一講書人閱讀 49,829評論 1贊 290
城市分裂傳說
那天维苔，我揣著相機與錄音碰辅，去河邊找鬼。笑死介时，一個胖子當(dāng)著我的面吹牛没宾，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。我是一名探鬼主播沸柔，決...
沈念sama閱讀 38,979評論 3贊 408
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼循衰，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼！你這毒婦竟也來了褐澎？” 一聲冷哼從身側(cè)響起会钝，我...
開封第一講書人閱讀 37,722評論 0贊 266
萬榮殺人案實錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎乱凿，沒想到半個月后顽素，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體咽弦，經(jīng)...
沈念sama閱讀 44,189評論 1贊 303
?護林員之死
正文獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡徒蟆，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點故事閱讀 36,519評論 2贊 327
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了型型。大學(xué)時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片段审。...
茶點故事閱讀 38,654評論 1贊 340
活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖闹蒜，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出寺枉，到底是詐尸還是另有隱情抑淫，我是刑警寧澤，帶...
沈念sama閱讀 34,329評論 4贊 330
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布姥闪，位于F島的核電站始苇，受9級特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏筐喳。R本人自食惡果不足惜催式，卻給世界環(huán)境...
茶點故事閱讀 39,940評論 3贊 313
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望避归。院中可真熱鬧荣月，春花似錦、人聲如沸梳毙。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,762評論 0贊 21
一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽账锹。三九已至萌业，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間奸柬，已是汗流浹背咽白。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 31,993評論 1贊 266
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工，沒想到剛下飛機就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留鸟缕，地道東北人晶框。一個月前我還...
沈念sama閱讀 46,382評論 2贊 360
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長得像懂从，于是被迫代替她去往敵國和親授段。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點故事閱讀 43,543評論 2贊 349