弦振動方程的解法（分離變量法+行波法）

弦振動方程的解法

微分方程基礎(chǔ)

本文所言的方程基本上是微分方程，而非中學(xué)階段所言的代數(shù)方程川慌，微分方程的求解目標(biāo)一般是一個函數(shù)，而代數(shù)方程的解一般是一個值。下面給出兩例來介紹微分方程和代數(shù)方程的區(qū)別秫舌。

下列方程是一個典型的代數(shù)方程：

$x^2-3x+2=0$

根據(jù)中學(xué)階段所學(xué)的知識，可以解出方程的兩個代數(shù)解：

$x_1=1,\ x_2=2$

下列方程是一個典型的微分方程：

$\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}-3\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}+2y=0$

根據(jù)本科階段所學(xué)的知識绣檬，可以解出方程的通解：

$y=c_1{\rm e}^{x}+c_2{\rm e}^{2x}$

但是上述的微分方程是常微分方程足陨，常微分方程只有一個變量。而對于弦振動來說娇未，位置 $x$

和時間 $t$ 都是變量墨缘，故而弦振動方程是一種偏微分方程。

弦振動方程介紹

弦振動方程是波動方程的一種零抬，是局限在一維空間內(nèi)的波動方程镊讼。我們假定弦上在位置 $x$ 處的一點，在時間 $t$ 時刻平夜，偏移平衡位置的偏移量是 $u(x,t)$ 蝶棋，那么偏移的加速度就是 $u$ 關(guān)于 $t$ 求兩次偏導(dǎo)數(shù) $u_{tt}$ ，而弦的彎曲程度（凹凸性）是 $u$ 關(guān)于 $x$ 的二階偏導(dǎo)數(shù) $u_{xx}$ 褥芒。

易于理解嚼松，當(dāng) $u_{xx}$ 為正數(shù)時嫡良，意味著弦在這里向下凸，類似于”U“字型献酗。這個地方在兩端的拉力下寝受，拉力的左右分力相互抵消，只剩下向上的分力罕偎。這個地方應(yīng)該向上有加速度很澄，所以 $u_{tt}$ 也為正。同樣地颜及，當(dāng) $u_{xx}$ 為負(fù)數(shù)時甩苛，類似于”∩“字型，加速度為負(fù)俏站。

通過物理背景讯蒲，我們可以列出弦振動方程：

$u_{tt}=a^2u_{xx}$

偏移量 $u$ 的國際單位是 $\rm m$ ，它關(guān)于 $t$ 求兩次偏導(dǎo)數(shù)肄扎，所得加速度的單位是 $\rm m/s^2$ 墨林，而右邊 $u_xx$ 的單位是 $\rm m^{-1}$ ，這樣犯祠，我們可以得到 $a$ 的單位是 ${\rm m/s}$ 旭等，實驗現(xiàn)象表明，這里的 $a$ 就是波速衡载。

分離變量法解弦振動方程

上文我們列出了弦振動方程的偏微分方程搔耕，對于有限長弦振動問題，我們可以嘗試用分離變量法來求解弦振動方程痰娱。

如果弦長 $L$ 弃榨，并且弦兩端固定，那么可以得到偏微分方程的兩個邊界條件：

$u|_{x=0}=0,\ u|_{x=L}=0$

在物理現(xiàn)象中猜揪，代表空間的 $x$ 和代表時間的 $t$ 是可以分離的惭墓。

假定 $u(x,t)=X(x)T(t)$ ，代入原偏微分方程而姐，得到：

$X(x)T''(t)=a^2X''(x)T(t)$

變形

$\frac{X''}{X}= \frac{T''}{a^2T}$

令這個數(shù)值為 $-\lambda$ 腊凶，即 $\frac{X''}{X}= \frac{T''}{a^2T}=-\lambda$ ，我們得到了兩個常微分方程：

$X''+\lambda X=0$

$T''+\lambda a^2 T=0$

當(dāng) $\lambda \le 0$ 時拴念，考慮到邊界條件的話钧萍，只能得到零解 $X(x)=0$

當(dāng) $\lambda > 0$ 時，根據(jù)本科學(xué)習(xí)的知識政鼠，可以解出 $X(x)$ 的通解：

$X(x)=a \sin \sqrt{\lambda }x + b \cos \sqrt{\lambda }x$

考慮到邊界條件 $u|_{x=0}=0,\ u|_{x=L}=0$ 风瘦，即

$X(0)=b =0,\ X(L)=a \sin \sqrt{\lambda}L=0$

可知 $\sqrt{\lambda} L = n\pi,\ n=1,2,...$

我們可以解出 $\lambda _n=n^2\pi^2/L^2$

下面我們再關(guān)注 $T''+\lambda a^2 T=0$ ，我們可以解出 $T(t)$ 的通解：

$T(t)=c \sin \sqrt{\lambda}at + d \cos \sqrt{\lambda}at$

實際上公般，因為 $\lambda$ 可以取不同的值万搔， $T(t)$ 是一系列波的疊加：

$T(t)=\sum_{n=1}^{\infty} (C_n \sin \sqrt{\lambda_n}at + D_n \cos \sqrt{\lambda_n}at)$

故而胡桨，我們得到了有限長弦振動方程的一般解：

$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} (C_n \sin n\pi at/L + D_n \cos n\pi at/L)\sin n\pi x/L$

如果能給出初始條件，便能確定 $C_n$ 和 $D_n$ 的值瞬雹，從而得到了有限長弦振動方程的特解昧谊。

行波法求解弦振動方程

在無限長的弦上，一切的波動都可以看做一個左行波和一個右行波的疊加酗捌。故而可以假設(shè)

$u(x,t)=f_1(x-at)+f_2(x+at)$

上面這個方程恰好滿足弦振動方程 $u_{xx}=a^2u_{tt}$ 呢诬，是無限長弦振動方程的通解。

如果我們有初始條件（弦的初始形狀和初始速度）：

$u|_{t=0}=\varphi (x),\ u_t|_{t=0}=\psi (x)$

將通解代入

$f_1(x)+f_2(x)=\varphi (x),\ -af'_1(x)+af'_2(x)=\psi (x)$

對后者求一次不定積分可得

$-f_1(x)+f_2(x)=\frac{1}{a}\int \psi (x){\rm d}x$

可以分別解出 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ ：

$f_1(x)=\frac{1}{2} \varphi(x) - \frac{1}{2a}\int \psi (x){\rm d}x$

$f_2(x)=\frac{1}{2} \varphi(x) + \frac{1}{2a}\int \psi (x){\rm d}x$

那么胖缤， $u(x, t)=f_1(x-at)+f_2(x+at)$

$u(x,t)=\frac 12 (\varphi (x+at)+\varphi (x-at))+\frac 1{2a}\int_{x-at}^{x+at} \psi(x){\rm d} x$

這一結(jié)論又稱為d'Alembert公式尚镰、

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