蒙日和非線性二階方程
除了前面說過的二階線性方程惠毁，數(shù)學(xué)家也在研究更一般的二階線性方程，甚至非線性方程堤撵。線性方程一般形式為仁讨，大寫字母均為x,y的函數(shù)，這個方程通常寫為Ar+Bs+Ct+Dp+Eq+Fz+G=0,1773年拉普拉斯證明如果B^2-4AC≠0实昨，方程可以變價替換為s+ap+bq+cz+g=0洞豁，然后他用無窮級數(shù)求解。蒙日考察了非線性方程Rr+Ss+Tt=V荒给，RSTV是xyzpq的函數(shù)丈挟，即方程關(guān)于二階導(dǎo)rst是線性的，他建立了一般形式的解法志电，并引入了特征理論曙咽，特征方程為Rdy^2-Sdxdy+Tdx^2=0，它在積分曲面的每一點(diǎn)上定義該點(diǎn)的兩個特征方向挑辆。積分曲面的每一點(diǎn)都有兩條特征曲線通過例朱，沿其中每一條都有兩個相鄰的積分曲面彼此相切孝情。極小曲面的積分法是蒙日重要成就之一。拉格朗日研究極小曲面（給定的空間曲線界住的面積最小的曲面）也出現(xiàn)了這類方程洒嗤，形式是(1+q^2)r-2pqs+(1+p^2)t=0箫荡。
一階偏微分方程組
流體動力學(xué)和水力學(xué)引出了一階偏微分方程組，比如設(shè)計船體減少水中運(yùn)動阻力渔隶，人們研究不可壓縮流體（水）和可壓縮流體（空氣）解決實(shí)際問題羔挡。
1752年歐拉處理不可壓縮流體，1755年他推廣了這一工作间唉，給出了關(guān)于理想（無粘性）可壓縮和不可壓縮流體的流體流動方程绞灼。他將流體看作連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)，考察受到壓力為p呈野，密度為ρ以及單位質(zhì)量上外力分量為PQR的流體小體積的作用力低矮。他用xyzt四個分量描述質(zhì)點(diǎn)速度，建立了微分方程組际跪，這一方法被稱為空間描寫商佛。歐拉還推廣了達(dá)朗貝爾的連續(xù)性微分方程，得到關(guān)于可壓縮流體的方程姆打。
歐拉在1755年的文章中認(rèn)為流體運(yùn)動的理論可以用分析形式得出良姆，他討論了一些特殊的解法，但歐拉的方程并非水力學(xué)最終的方程幔戏，70年后納維和斯托克斯引入了歐拉忽略的粘性（即納維-斯托克斯方程）玛追。拉格朗日也研究了流體運(yùn)動，他給出并推廣了歐拉的基本方程闲延，但把功勞歸功于達(dá)朗貝爾痊剖。
在18世紀(jì)，偏微分方程組主要應(yīng)用于水力學(xué)垒玲，而且成果很少陆馁。
偏微分方程學(xué)科的產(chǎn)生
偏微分方程早期只出現(xiàn)在物理問題中，1765年歐拉首次進(jìn)行了純數(shù)學(xué)的研究合愈。
1747年達(dá)朗貝爾研究弦振動使數(shù)學(xué)家意識到特解和通解之間的區(qū)別叮贩，但那時大家認(rèn)為似乎通解更重要。1799年拉普拉斯還抱怨球坐標(biāo)的位勢方程不能用一般形式求積分佛析，他們沒意識到歐拉和達(dá)朗貝爾在弦振動中得到的通解不如滿足初始條件和邊值條件的特解有用益老。
數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)偏微分方程沒有什么新的運(yùn)算技巧，它跟常微分方程的區(qū)別僅在于解中可以出現(xiàn)任何函數(shù)寸莫，他們希望把偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程以確定這些函數(shù)捺萌。拉普拉斯和拉格朗日明確說，如果偏微分方程被化成常微分方程膘茎，這個偏微分方程就等于積分出來了桃纯。還有一種辦法是像丹尼爾伯努利研究波動方程和拉普拉斯研究位勢方程一樣酷誓，尋求特殊函數(shù)的級數(shù)展開式。
18世紀(jì)偏微分方程的主要成果體現(xiàn)在彈性力學(xué)慈参、水力學(xué)和萬有引力問題中呛牲。除了拉格朗日在一階偏微分方程的系統(tǒng)性研究，沒有發(fā)展出普遍的方法驮配，人們也沒意識到特殊函數(shù)展開法的潛力。他們的主要工作是求解物理問題中提出的特殊方程着茸，因此未形成偏微分方程解的理論壮锻。總而言之涮阔，偏微分方程學(xué)科還處于幼年時期猜绣。
