方程組的幾何解釋
- 核心點：從坐標(biāo)系中行圖像和列圖像的角度解方程
- 例子：
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方程組如下：
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二維行圖像
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將方程式寫成行矩陣形式：
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解釋：求一個位置向量扯俱，使得系數(shù)矩陣A*未知向量x=向量b
- 系數(shù)矩陣(A)：方程組系數(shù)按行提取，構(gòu)造的一個矩陣
- 未知向量(x)：方程組中的未知數(shù)提取出來部凑，按列構(gòu)造的一個向量
- 向量(b)：等號右側(cè)的結(jié)果按列提取椭员，構(gòu)造出一個向量
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行圖像：
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兩條直線的交點即為方程組的解
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二維列圖像
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將方程按列提取车海，得到如下的線性組合
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它的含義是：構(gòu)造成兩個向量(2, -1) (-1, 2)，方程組的解等價于：尋找合適的x和y隘击，使得 x 倍的(2,-1) + y 倍的(-1,2)得到最終的向量(0,3)
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列圖像如下
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將之前的解代入侍芝，可以看到，將(2, -1) 左移1個單位埋同、上移2個單位州叠，重復(fù)兩次，得到了(0, 3)
推廣到三維
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例子
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方程組如下：
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使用行圖像來表示時凶赁，每一個表達(dá)式在三維坐標(biāo)系都可以表示一個平面咧栗，那么我們可以得到三個平面，他們的交點就是方程組的解
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方程組的行矩陣形式如下：
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列圖像的矩陣形式如下：
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這是一個特殊的方程組虱肄，從列圖像的矩陣中可以直觀地看到致板，我們只需要取 x = 0, y = 0, z = 1 就得到了結(jié)果
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列圖像
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使用列圖像來求解方程，他的含義是：尋找合適的線性組合咏窿，使得等號左右的向量相等斟或。這種方式的優(yōu)勢在于當(dāng)?shù)仁接疫叺南蛄堪l(fā)生改變時，我們只需要重新尋找一個線性組合而不用再重新繪制平面圖像去求他們的交點
矩陣的乘法運算
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- 問題
- 對于任意的A*x=b集嵌，我們都能求出對應(yīng)的線性組合嗎萝挤？即：列的線性組合能否覆蓋整個三維空間御毅？
- 答：不一定，在我們例子中怜珍，是可以的端蛆，但是對于三個向量A,B,C, 當(dāng)這三個向量位于同一個平面時，他們的線性組合顯然也是在這個平面（比如C=A+B）, 當(dāng)b在這個平面內(nèi)時酥泛，方程組有解今豆，但大部分不在平面內(nèi)的b，我們無法求解揭璃。這種情形稱為奇異晚凿，這種矩陣是不可逆的亭罪。
- 考慮9維的情況：假設(shè)向量具有9個分量（9個方程瘦馍，9個未知數(shù)，每一列都是9維空間的向量）应役，考慮其線性組合情组，通過線性組合得到得到A*x=b,對于任意的b，是否總能有解箩祥？
- 答：對于相互獨立的9個向量來說院崇，是可以的，9個向量及其列組合袍祖，能夠覆蓋整個9維空間底瓣，但是如果第9列碰巧等于第8列，這時候蕉陋，我們的線性組合只能覆蓋9維空間中的8維平面捐凭，最后的求解也只能在這個8維平面上展開。
- 對于任意的A*x=b集嵌，我們都能求出對應(yīng)的線性組合嗎萝挤？即：列的線性組合能否覆蓋整個三維空間御毅？
