小結(jié)
- 向量的定義
- 向量方程的定義和求解
-
與
的幾何解釋
中的向量
僅含一列的矩陣稱為&列向量锁施,或簡(jiǎn)稱向量借浊。向量表示一組有序數(shù)。
包含兩個(gè)元素的向量表示為:盐须,其中
和
是任意實(shí)數(shù)。
所有兩個(gè)元素的向量的集記為漆腌,
表示向量中的元素是實(shí)數(shù)贼邓,而指數(shù)2表示每個(gè)向量包含兩個(gè)元素。
中兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)其對(duì)應(yīng)元素相等闷尿。即
中的向量是實(shí)數(shù)的有序?qū)Α?br>
給定實(shí)數(shù)
和
中兩個(gè)向量
和
塑径,它們的和
是把
和
對(duì)應(yīng)元素相加所得的向量。
和
的標(biāo)量乘法(或數(shù)乘)是把
的每個(gè)元素乘以
填具,所得向量記為
统舀。
中的數(shù)
稱為標(biāo)量(或數(shù))。
給定和
,求
解:
的幾何表示
考慮平面上的直角坐標(biāo)系誉简。因?yàn)槠矫嫔厦總€(gè)點(diǎn)由實(shí)數(shù)的有序?qū)Υ_定碉就,所以可把幾何點(diǎn)與列向量
等同。因此我們可把
看作平面上所有點(diǎn)的集合闷串。
向量的幾何表示是一條由原點(diǎn)
指向點(diǎn)
的有向線段瓮钥。
向量加法的平行四邊形法則
若中向量
和向量
用平面上的點(diǎn)表示,則
對(duì)應(yīng)于以
窿克,
和
為頂點(diǎn)的平行四邊形的第4個(gè)頂點(diǎn)骏庸。
中的向量
中向量是
列矩陣,有3個(gè)元素年叮。它們表示三維空間中的點(diǎn)具被,或起點(diǎn)為原點(diǎn)的箭頭。
若是正整數(shù)只损,則
表示所有
個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列(或有序
元組)的集合一姿,通常寫(xiě)成
列矩陣的形式,
跃惫。
所有元素都是零的向量稱為零向量叮叹,用表示。
中向量相等以及向量加法與標(biāo)量乘法類似于
中的定義爆存。
中向量的代數(shù)性質(zhì)
對(duì)中一切向量
以及標(biāo)量
和
:
線性組合
給定中向量
和標(biāo)量
蛉顽,向量
稱為向量
以
為權(quán)的線性組合。形如
的方程稱為向量方程先较。
設(shè)携冤,
,
曾棕,確定
能否寫(xiě)成
和
的線性組合菜循,也就是說(shuō)翘地,確定是否存在權(quán)
和
使
癌幕。
解:
向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的對(duì)應(yīng)元素相等衙耕。即和
滿足
當(dāng)且僅當(dāng)
和
滿足方程組
勺远。
用行化簡(jiǎn)算法將方程組的增廣矩陣化簡(jiǎn)臭杰,以此解方程組:
~
~
~
~
由階梯形矩陣最右列不是主元列,可知其有解谚中。解為渴杆。
因此是
與
的線性組合,權(quán)為
磁奖。
若是
矩陣囊拜。
的各列是
中的向量,用
表示比搭,則A=
冠跷。
注意:求解過(guò)程中,增廣矩陣的3列分別對(duì)應(yīng)于
蜜托。即增廣矩陣可直接寫(xiě)為:
霉赡。
向量方程和增廣矩陣為
的線性方程組有相同的解穴亏。特別地蜂挪,
可表示為
的線性組合當(dāng)且僅當(dāng)線性方程組有解嗓化。
與
的幾何解釋
若是
中的向量棠涮,則
的所有線性組合所成的集合用記號(hào)
表示,稱為由
所生成(或張成)的
的子集刺覆。也就是說(shuō)严肪,
是所有形如
的向量的集合,其中
為標(biāo)量谦屑。
要判斷向量是否屬于
,就是判斷向量方程
是否有解结窘,或等價(jià)地很洋,判斷增廣矩陣為
的線性方程組是否有解。
設(shè)是
中的向量喉磁,那么
就是
的所有標(biāo)量倍數(shù)的集合谓苟,也就是
中通過(guò)
和
的直線上所有點(diǎn)的集合。
若和
是
中的非零向量协怒,
不是
的倍數(shù)涝焙,則
是
中包含
,
和
的平面孕暇。