最近在上一門stochastic calculus的課程吐葵，其中第一次碰到了概率空間上條件期望[conditional expectation, wikipedia]的概念燥撞，剛開始覺得有些難以理解和接受霹娄，仔細(xì)想了想有了一些心得體會(huì)翎苫，在這里分享一下兔院。
首先是條件期望的定義：
這里的隨機(jī)變量X是一個(gè)從概率空間\Omega到歐式空間R^n的可測(cè)函數(shù)，它的條件期望E[X|HH](我用HH表示花H)首先是一個(gè)HH-可測(cè)的函數(shù)谆吴，另外滿足在任何H上的積分等于X在H上的積分倒源。由這兩個(gè)條件限制得到的條件期望是存在唯一的(在幾乎處處相等的意義下)，但是這么定義的條件期望是什么呢句狼？
若HH={empty,\Omega}笋熬。
也即HH是\Omega上最小的Borel代數(shù)，只有兩個(gè)元素腻菇，空集和全空間胳螟。E[X|HH]滿足兩個(gè)條件，一是在HH上可測(cè)筹吐，二是在H上的積分等于X在H上的積分糖耸。首先看第一個(gè)，在HH={empty,\Omega}上的可測(cè)函數(shù)只有常值函數(shù)丘薛，可以考慮用反證法嘉竟，若值域中有兩個(gè)不同的點(diǎn)，先找到開集V1,V2將兩個(gè)點(diǎn)分離洋侨，那么V1,V2的原像是兩個(gè)互不相交的非空可測(cè)集舍扰，這不可能。所以E[X|HH]是常函數(shù)凰兑。下面再看第二個(gè)條件妥粟，考查在H上的積分，H只有兩個(gè)選擇吏够，空集上的積分無(wú)意義勾给，所以只剩下全空間上的積分，條件二便等價(jià)于常值在全空間上的積分等于X在全空間上的積分锅知，因此常值函數(shù)E[X|HH]就是期望E[X]播急。
若HH={empty, A, B, \Omega}。(B是A的補(bǔ)集)
此時(shí)HH除了空集售睹、全空間之外還有A和A的補(bǔ)集桩警。那么首先HH上的可測(cè)函數(shù)都可以寫成a*1_A+b*1_B，即為A昌妹、B上特征函數(shù)的線性組合捶枢，證明方法與上面類似，首先可證像集中最多有兩個(gè)點(diǎn)飞崖，同樣用反證法烂叔。條件二考查在HH中可測(cè)集上的積分，即H可取A固歪、B與全空間蒜鸡，而在A和B上胯努，E[X|HH]分別是常值，取H=A逢防，可得a*P(A)=\int_A X dP叶沛，即a=(\int_A X dP)/P(A)，即為X在A上的積分除以A的概率忘朝，同樣地可得b有相似的形式灰署。
若HH是有限集，或者更一般地辜伟，存在有限個(gè)可測(cè)集H1,...,Hn使得它們互不相交氓侧，且并為全空間，且每個(gè)Hi都沒有比它更小的可測(cè)集导狡。
這時(shí)约巷，HH上的可測(cè)函數(shù)都可以寫為a1*1_H1+...+an*1_Hn。首先HH上的所有簡(jiǎn)單函數(shù)都有這樣的形式旱捧，變化的就是這些系數(shù)ai独郎，于是它們組成了一個(gè)有限維空間，而可測(cè)函數(shù)可以由簡(jiǎn)單函數(shù)點(diǎn)態(tài)逼近枚赡，而有限維空間的閉還是它自己氓癌，故證畢。在由條件二贫橙，分別令H=Hi贪婉，可以得到ai為X在Hi上的積分除以Hi的概率，即ai=(\int_Hi X dP)/P(Hi)卢肃，與我們一般所熟知的離散情況具有類似的形式疲迂。
當(dāng)然上面所討論的HH都具有某種“有限”性，對(duì)于一般的HH莫湘，表達(dá)形式更為復(fù)雜尤蒿，甚至寫不出來(lái)，但是希望上面的討論可以幫助你有一定的感覺幅垮，更好地理解它腰池。
