(3)數(shù)兀
? ? 在一個單位園上材蛛，我們作內(nèi)接正n邊形，記pn為邊長怎抛，作外切正n邊形卑吭，記邊長為qn，那么pn＜2兀＜qn马绝，當n增加時豆赏，序列pn、qn都單調(diào)趨近2兀
? 關于數(shù)兀的近似值求法有很多方法富稻，有阿基米德方法(幾何方法)（公元前3世紀)掷邦、有中國古代數(shù)學家劉徽在注釋《九章算術》(公元前263年)時，只用圓內(nèi)接正多邊形就求得兀的近似值椭赋，也得精確到兩位小數(shù)的兀值抚岗，他的方法被后人稱為割圓術，他用割圓術一直算到圓內(nèi)接192邊形哪怔。南北朝時代數(shù)學家祖沖之進一步得出精確到小數(shù)點后7位的兀值宣蔚。
? 圓周率兀的計算方法是一個饒有趣味、值得探討的問題．首先要對正多邊形進行了解认境，我們從正十邊形開始．假設在單位圓內(nèi)有一內(nèi)接正十邊形(圖略)．設邊長AB＝x胚委，AB所對的圓心角??AOB＝36度，則??OAB＝??OBA＝72度元暴，作??OAB的平分線交OB于C點篷扩，則??CAB＝36度，??OAC＝36度茉盏，所以OC＝AC＝AB＝x鉴未，易證三角形AOB與三角形ACB相似，所以1/x＝x/(1－x)鸠姨，即x??2＋x－1＝0铜秆，它的解是x＝1/2(根5－1)（x＞0）約等于0．618（0．618稱單位線段的黃金分割點)．希臘數(shù)學家認為矩形的兩個邊的比值a：b＝0．618，從審美角度來看是最好的讶迁。長度x我們通過作一個直角邊分別為1和2的三角形连茧，其斜邊等于根5，把這個斜邊減去一個單位長再二等分，即可得到正十邊形的邊長啸驯，很簡單我們就能作出正十邊形丶正五邊形客扎。而正六邊形是最簡單得到的，因為它的邊長正好是單位圓的半徑罚斗，因此可以作出正：4徙鱼、8、16针姿、?袱吆、2??n邊形；正：12距淫、24绞绒、48邊形等，還有正：20榕暇、40邊形等．下面我們用單位圓內(nèi)接正n邊形的幾何性質(zhì)來求出兀的計算方法蓬衡。如圖(圖略)：在單位圓中DE表示內(nèi)接于單位圓中的正n邊形邊長Sn，由簡單的幾何知識可知AB是單位圓的直徑等于2拐揭，B是DE弧的中點撤蟆，所以DB就是內(nèi)接單位圓中正2n邊形的邊長S2n．在直角三角形ABD中，AD·DB＝AB·DC堂污，那么AD＝2DC/DB＝DE/DB＝Sn/S2n家肯，又AD??2＝AB??2－DB??2＝4－S2n??2，所以(S2n??2)??2－4S2n??2＋Sn??2＝0盟猖，令x＝S2n??2(0＜x＜2)讨衣，解上述二次方程得S2n＝根下(2－根下(4－Sn??2)），所以我們得出了正2n邊形邊長的遞推公式式镐，現(xiàn)在由正四邊形的等于根2可得S8＝根下(2－根2)反镇；S16＝根下(2－根下(2＋根2)）；S32＝根下(2－根下(2＋根下(2＋根2)）．對于n＞2娘汞，我們得到一般公式：
? ? ? ? S2??n＝根下(2－根下(2＋根下(2＋?＋根2)）歹茶，它有(n－1)個平方根號．圓中正2??n邊形的周長是2??n·S2??n，當n趨于無窮大時你弦，2??n·S2??n趨近于圓的周長．按單位圓周長定義為2兀惊豺，我們用m代替(n－1)，則：
? 兀＝lim(2??m·根下(2－根下(2＋根下(2＋?＋根2)）禽作，(共有m個根號)
數(shù)兀是什么尸昧？由不等式pn＜2兀＜qn作出的一個退縮于點2兀的區(qū)間套序列，對此給出了完整的回答：兀是一個無理數(shù)旷偿，與e的無理性證明相比烹俗，兀的無理性證明是比較困難的爆侣。
