第一吵护，希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世紀(jì)）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號(hào)2）永遠(yuǎn)無(wú)法用最簡(jiǎn)整數(shù)比（不可公度比）來(lái)表示馅而，從而發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)無(wú)理數(shù)祥诽，推翻了畢達(dá)哥拉斯的著名理論。相傳當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯派的人正在海上瓮恭，但就因?yàn)檫@一發(fā)現(xiàn)而把希伯斯拋入大海雄坪。
第二，微積分的合理性遭到嚴(yán)重質(zhì)疑屯蹦，險(xiǎn)些要把整個(gè)微積分理論推翻维哈。
第三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成登澜，那S包含S嗎阔挠？用通俗一點(diǎn)的話來(lái)說(shuō)，小明有一天說(shuō)：“我正在撒謊脑蠕！”問(wèn)小明到底撒謊還是說(shuō)實(shí)話购撼。羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數(shù)悖論或最大基數(shù)悖論那樣涉及集合高深知識(shí)谴仙，它很簡(jiǎn)單迂求，卻可以輕松摧毀集合理論！
中文名
數(shù)學(xué)三大危機(jī)
外文名
Three crises in Mathematics
第一次
發(fā)現(xiàn)了根號(hào)2狞甚，推翻“萬(wàn)物皆數(shù)”
第二次
微積分概念的合理性遭到嚴(yán)重質(zhì)疑
第三次
集合論中的羅素悖論
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家锁摔。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治廓旬、學(xué)術(shù)哼审、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬(wàn)物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石孕豹。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說(shuō)的數(shù)僅指整數(shù)涩盾。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而励背，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”春霍。
古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯
畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢叶眉？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)址儒，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示衅疙。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù) 的誕生莲趣。小小? 的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴饱溢。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰喧伞，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊潘鲫，對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊翁逞。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)溉仑。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰挖函，就是在今天，測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)彼念，這個(gè)斷言也毫無(wú)例外是正確的挪圾！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的? 的存在而推翻了逐沙！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)哲思，多么荒謬的事！它簡(jiǎn)直把以前所知道的事情根本推翻了吩案。更糟糕的是棚赔，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無(wú)辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)徘郭，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波靠益，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
出現(xiàn)
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)源于微積分工具的使用残揉。伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高胧后，十七世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期，微積分這一銳利無(wú)比的數(shù)學(xué)工具為牛頓抱环、萊布尼茲共同發(fā)現(xiàn)壳快。這一工具一問(wèn)世，就顯示出它的非凡威力镇草。許許多多疑難問(wèn)題運(yùn)用這一工具后變得易如反掌眶痰。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的梯啤。兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析之上竖伯，但他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因而因宇，從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊七婴。其中攻擊最猛烈的是英國(guó)大主教貝克萊。
解決
經(jīng)過(guò)柯西（微積分收官人）用極限的方法定義了無(wú)窮小量察滑，微積分理論得以發(fā)展和完善打厘，從而使數(shù)學(xué)大廈變得更加輝煌美麗！
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
出現(xiàn)
十九世紀(jì)下半葉杭棵，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論婚惫，在集合論剛產(chǎn)生時(shí)氛赐，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開(kāi)創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了先舷，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)艰管。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈蒋川。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石牲芋。“一切數(shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?900年捺球，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上缸浦，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“……借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈……今天氮兵，我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了……”
可是裂逐，好景不長(zhǎng)。1903年泣栈，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的卜高！這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成南片。然后羅素問(wèn)：S是否屬于S呢掺涛？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合疼进，或者不屬于某個(gè)集合薪缆。因此，對(duì)于一個(gè)給定的集合伞广，問(wèn)是否屬于它自己是有意義的拣帽。但對(duì)這個(gè)看似合理的問(wèn)題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果S屬于S赔癌，根據(jù)S的定義诞外，S就不屬于S澜沟；反之灾票，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義茫虽，S就屬于S刊苍。無(wú)論如何都是矛盾的。
其實(shí)濒析，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論正什。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論号杏。1899年婴氮，康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論斯棒。但是，由于這兩個(gè)悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論主经，所以只是在數(shù)學(xué)界揭起了一點(diǎn)小漣漪荣暮，未能引起大的注意。羅素悖論則不同罩驻。它非常淺顯易懂穗酥，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以惠遏，羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng)砾跃。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說(shuō)：“一個(gè)科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過(guò)于是在他的工作即將結(jié)束時(shí)，其基礎(chǔ)崩潰了节吮。羅素先生的一封信正好把我置于這個(gè)境地抽高。”戴德金也因此推遲了他的《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一文的再版透绩〕冢可以說(shuō)，這一悖論就像在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石渺贤，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)雏胃。
解決
排除悖論
危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案志鞍。人們希望能夠通過(guò)對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造瞭亮，通過(guò)對(duì)集合定義加以限制來(lái)排除悖論，這就需要建立新的原則固棚⊥臭妫“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾此洲；另一方面又必須充分廣闊厂汗，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來(lái)∥厥Γ”1908年娶桦，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，后來(lái)經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)汁汗，稱為ZF系統(tǒng)衷畦。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外知牌，集合論的公理系統(tǒng)還有多種祈争，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。
公理化集合系統(tǒng)
成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論角寸，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)菩混。但在另一方面忿墅，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前沮峡，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究球匕。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭(zhēng)帖烘，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派亮曹，而各派的工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。
