用二維幾何說明克萊因的思想：在射影平面內(nèi)選取一個二次曲線為絕對形撇贺，要推導羅氏幾何，二次曲線必須是實的冰抢，即其平面齊次坐標方程為松嘶，對正的常曲率曲面上的黎曼幾何來說，二次曲線是虛的挎扰，如
翠订，對歐氏幾何巢音，二次曲線退化為兩個重合直線，齊次坐標用x3=0表示尽超，在此軌跡上選取兩個虛點官撼，其方程為
，即無窮遠點似谁，它的齊次坐標為(1,i,0)和(1,-i,0)傲绣。在各種情況下的二次曲線都是實方程。
設(shè)二次曲線如下圖巩踏，P1,P2是一直線的兩點秃诵，此直線與絕對形交于兩點Q1,Q2（實或虛），則距離取為d=clog(P1P2,Q1Q2)塞琼，括號中的量表示四個點的交比菠净，c是一個常量，此交比可用點的坐標表示彪杉，若點P3在此直線上毅往，可證明(P1P2,Q1Q2)·(P2P3,Q1Q2)=(P1P3,Q1Q2)，即P1P2+P2P3=P1P3
例1
同樣在讶，若u,v是兩直線煞抬，考慮過此兩直線交點到絕對形的切線t,w（可為虛線），則u,v夾角定義為Φ=c'log(uv,tw)构哺，括號中量表示四直線的交比革答，c'是常量。
例2
點坐標方程為
克萊因用上述表達式證明如何從射影幾何導出度量幾何雀瓢，從射影幾何開始選取絕對形枢析，應(yīng)用以上距離和角的表達式就能得到歐氏幾何、雙曲幾何和橢圓幾何這幾個特例刃麸。此外可證明克萊因的表達式等價于凱萊的表達式醒叁。
若做射影平面到它本身的射影變換（即線性變換），它把絕對形變到本身（雖然絕對形的點變到其它點），因為線性變換下交比不變把沼，距離和角度不改變啊易。使絕對形不變的那些線性變換就是由絕對形所確定的特殊度量幾何的剛體運動或全等變換。一般的射影變換不能使絕對形不變饮睬，于是射影幾何本身在它所允許的變換中是更一般的租谈。
克萊因?qū)Ψ菤W幾何的另一項貢獻是他觀察到有兩種橢圓幾何，發(fā)現(xiàn)于1871年续捂，發(fā)表于1874年垦垂，在二重橢圓幾何中，兩個點并不總確定唯一直線牙瓢，比如球面模型中兩個點在直徑相對兩端時劫拗。第二種橢圓幾何稱為單重橢圓幾何，兩點永遠確定唯一直線矾克。二重橢圓幾何測地線是有限長度2π/a的曲線页慷，若半徑為R，則有限長度為2πR胁附，且是封閉的（回到它們本身）酒繁，單重橢圓幾何的測地線長度為π/a或πR，也是封閉的控妻。
克萊因提出了一個具有單重橢圓幾何性質(zhì)的曲面模型州袒，這是個包括邊界的半球面，然而邊界上直徑相對兩端的任兩點必須看作一個點弓候，在半球面上的大圓弧是“直線”或是這個幾何的測地線郎哭，曲面上的普通角是這種幾何的角，于是單重橢圓幾何也可在正的常曲率空間實現(xiàn)菇存。在這個模型中夸研，至少在三維空間中，我們不能把視為等同的兩個點實際連成一個點依鸥，這種曲面將自交亥至，且曲面上重合于自交交點處的點將視為不同點。
因此克萊因把羅氏幾何稱為雙曲的贱迟，而把正的常曲率曲面上的黎曼幾何稱為橢圓的姐扮，把歐氏幾何稱為拋物的：普通雙曲線與無窮遠直線交于兩點，相應(yīng)地在雙曲幾何中每條直線交絕對形于兩實點衣吠。普通橢圓與無窮遠直線沒有實的公共點溶握，在橢圓幾何中每條直線與絕對形沒有實的公共點，普通拋物線與無窮遠直線只有一個實的公共點蒸播，在歐氏幾何（作為射影幾何的一種幾何）中每條直線與絕對形只有一個實的公共點。
克萊因研究的意義在于，射影幾何的邏輯獨立于歐氏幾何袍榆，非歐幾何和歐氏幾何可看作射影幾何的特例或子幾何胀屿，為之后射影幾何公理化基礎(chǔ)的純邏輯或嚴密研究以及它與子幾何的關(guān)系打下了基礎(chǔ)。
