――在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表會上的講演（大衛(wèi)·希爾伯特）
我們當(dāng)中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看在今后的世紀(jì)里我們這門科學(xué)發(fā)展的前景和奧秘呢坷随？我們下一代的主要數(shù)學(xué)思潮將追求什么樣的特殊目標(biāo)狭魂？在廣闊而豐富的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域荆残，新世紀(jì)將會帶來什么樣的新方法和新成果芽唇？
歷 史教導(dǎo)我們弛车，科學(xué)的發(fā)展具有連續(xù)性蛉鹿。我們知道滨砍，每個時代都有它自己的問題，這些問題后來或者得以解決，或者因為無所裨益而被拋到一邊并代之以新的問題惋戏。如 果我們想對最近的將來數(shù)學(xué)知識可能的發(fā)展有一個概念领追，那就必須回顧一下當(dāng)今科學(xué)提出的、期望在將來能夠解決的問題∪沾ǎ現(xiàn)在蔓腐，當(dāng)此世紀(jì)更迭之際，我認為正適于 對問題進行這樣一番檢閱龄句。因為回论，一個偉大時代的結(jié)束，不僅促使我們追溯過去分歇，而且把我們的思想引向那未知的將來傀蓉。
某 類問題對于一般數(shù)學(xué)進展的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的重要作用是不可否認的。只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題职抡，它就充滿著生命力葬燎；而問 題缺乏則預(yù)示著獨立發(fā)展的衰亡或中止。正如人類的每項事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣缚甩，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問題谱净。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵 意志擅威，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點壕探，達到更為廣闊和自由的境界。
想 要預(yù)先正確判斷一個問題的價值是困難的郊丛，并且常常是不可能的李请；因為最終的判斷取決于科學(xué)從該問題得到的獲益。雖說如此厉熟，我們?nèi)匀灰獑柕贾眩欠翊嬖谝话愕臏?zhǔn)則 可借以鑒別出好的數(shù)學(xué)問題。一位法國老數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說過：“要使一種數(shù)學(xué)理論變得這樣清晰揍瑟，以致你能向在大街上遇到的第一個人解釋它白翻。在此以前，這一數(shù)學(xué)理 論不能被認為是完善的绢片∴易郑”這里對數(shù)學(xué)理論所堅持的清晰性和易懂性，我想更應(yīng)以之作為對一個堪稱完善的數(shù)學(xué)問題的要求杉畜；因為纪蜒，清楚的、易于理解的問題吸引著 人們的興趣此叠，而復(fù)雜的問題卻使我們望而卻步纯续。
其次随珠，為著具有吸引力，一個數(shù)學(xué)問題應(yīng)該是困難的猬错，但卻不應(yīng)是完全不可解決而致使我們白費力氣窗看。在通向那隱藏的真理的曲折道路上，它應(yīng)該是指引我們前進的一盞明燈倦炒，最終并以成功的喜悅作為對我們的報償显沈。
以 往的數(shù)學(xué)家慣于以巨大的熱情去致力解決那些特殊的難題。他們懂得困難問題的價值逢唤。我只提醒大家注意伯努利提出的“最速降落線”問題拉讯，在公開宣布這一問題 時，伯努利說：經(jīng)驗告訴我們鳖藕，正是擺在面前的那些困難而同時也是有用的問題魔慷，引導(dǎo)著有才智的人們?yōu)樨S富人類的知識而奮斗。以默森著恩、帕斯卡院尔、費馬、維維安尼 等人為榜樣喉誊，伯努利在當(dāng)時杰出的分析學(xué)家面前提出了一個問題邀摆，這個問題好比一塊試金石，通過它伍茄，分析學(xué)家們可以檢驗其方法的價值栋盹，衡量他們的能力。伯努利 因此而博得數(shù)學(xué)界的感謝幻林。變分學(xué)的起源應(yīng)歸功于這個伯努利問題和相類似的一些問題。
如所周知音念，費馬曾斷言丟番圖方程x^n+y^n=z^n(x,y,z為整數(shù))沪饺。
除去某些自明的情形外是不可解的。證明這種不可解性的嘗試闷愤，提供了一個明顯的例子整葡，說明這樣一個非常特殊，似乎不十分重要的問題會對科學(xué)產(chǎn)生怎樣令人鼓舞的影響讥脐。受費馬問題的啟發(fā)遭居，庫麥爾（Kummer）引進了理想數(shù)，并發(fā)現(xiàn)了把一個循環(huán)域的數(shù)分解為理想素因子的唯一分解定理旬渠，這一定理今天已被戴德金和克羅內(nèi)克推廣到任意代數(shù)域俱萍，在近代數(shù)論中占有中心地位，而且其意義已遠遠超出數(shù)論的范圍而深入到代數(shù)和函數(shù)論的領(lǐng)域告丢。
說到另一很不相同的研究領(lǐng)域枪蘑，請大家注意三體問題。由龐加萊引進到天體力學(xué)中來的那些卓有成效的方法和影響深遠的原則，今天也被實用天文學(xué)家所確認和應(yīng)用岳颇，而它們正是起因于龐加萊對三體問題的研究照捡，他重新研究了這個困難問題并使它更接近于解決。
上述兩個問題――費馬問題和三體問題――對我們來說似乎是兩個相反的極端话侧。前者是純推理的發(fā)現(xiàn)栗精，屬于抽象數(shù)論的領(lǐng)域，后者則是天文學(xué)向我們提出的問題瞻鹏，是理解最簡單的基本自然現(xiàn)象的需要悲立。
然 而，常常也會發(fā)生這樣的情形乙漓，即同一特殊的問題會在極不相同的數(shù)學(xué)分支中獲得應(yīng)用级历。例如，在幾何基礎(chǔ)叭披、曲線曲面論寥殖、力學(xué)以及變分學(xué)中，短程線問題都起著根 本的涩蜘、在歷史上十分重要的作用嚼贡。克萊因在一本關(guān)于二十面體的書中對正多面體問題在初等幾何同诫、群論粤策、方程論以及線性微分方程理論中的重要意義的描述，是何等 令人信服拔蠼选叮盘！
為說明某些問題的重要性，我還要提出維爾斯特拉斯霹俺。維爾斯特拉斯認為他的極大的幸運是在其科學(xué)事業(yè)之初柔吼，就找到了像雅可比逆問題這樣一個重要的、可供研究的問題丙唧。
在 回顧了問題在數(shù)學(xué)中的一般重要性之后愈魏，我們現(xiàn)在要轉(zhuǎn)向這樣一個問題：數(shù)學(xué)這門科學(xué)究竟以什么作為其問題的源泉呢？在每個數(shù)學(xué)分支中想际，那些最初培漏、最老的問題 肯定是起源于經(jīng)驗，是由外部的現(xiàn)象世界所提出胡本。整數(shù)運算法則就是以這種方式在人類文明的早期被發(fā)現(xiàn)的牌柄，正如今天的兒童通過經(jīng)驗的方法來學(xué)習(xí)運用這些規(guī)則一 樣。對于最初的幾何問題侧甫，諸如自古相傳的二倍立方問題友鼻、化圓為方問題等等傻昙，情形也是如此。同樣的還有數(shù)值方程的解彩扔、曲線論妆档、微積分、傅里葉級數(shù)和位勢理論 中那些最初的問題虫碉，更不用說更大量的贾惦、屬于力學(xué)、天文和物理學(xué)方面的問題了敦捧。
但是须板，隨著一門數(shù)學(xué)分支的進一步發(fā)展，人類的智力兢卵，受著成功的鼓舞习瑰，開始意識到自己的獨立性。它自身獨立地發(fā)展著秽荤，通常并不受來自外部的明顯影響甜奄，而只是借 助于邏輯組合、一般化窃款、特殊化课兄，巧妙地對概念進行分析和綜合，提出新的富有成果的問題晨继，因而它自己就以一個真正提問者的身份出現(xiàn)烟阐。這樣就產(chǎn)生出素數(shù)問題和 其他算術(shù)問題以及伽羅瓦的方程式理論、代數(shù)不變量理論紊扬、阿貝爾函數(shù)和自守函數(shù)論等方面的一系列問題蜒茄；確實，近代數(shù)論和函數(shù)論中幾乎所有較深入的問題都是以 這樣的方式提出的餐屎。
其間檀葛，當(dāng)純思維的創(chuàng)造力進行工作時，外部世界又重新開始起作用啤挎，通過實際現(xiàn)象向我們提出新問題驻谆，開辟新的數(shù)學(xué)分支卵凑。而當(dāng)我們試圖征服這些新的庆聘、屬于純思維王 國的知識領(lǐng)域時，常常會發(fā)現(xiàn)過去未曾解決的問題的答案勺卢，這同時就極有成效地推進著老的理論伙判。據(jù)我看來，數(shù)學(xué)家們在他們這門科學(xué)各分支的問題提法黑忱、方法和概 念中所經(jīng)常感覺到的那種令人驚訝的相似性和仿佛事先有所安排的協(xié)調(diào)性宴抚，其根源就在于思維與經(jīng)驗之間這種反復(fù)出現(xiàn)的相互作用勒魔。
還 要簡單地討論一下：對于一個數(shù)學(xué)問題的解答，應(yīng)該提出怎樣的一般要求菇曲。我認為這首先是要有可能通過以有限個前提為基礎(chǔ)的有限步驟推理來證明解的正確性冠绢，而 這些前提包含在問題的陳述中并且必須對每個問題都有確切定義。這種借助有限推理進行邏輯演繹的要求常潮，簡單地說就是對于證明過程的嚴(yán)格性的要求弟胀。這種嚴(yán)格性 要求在數(shù)學(xué)中已經(jīng)像座右銘一樣變得眾所周知，它實際上是與我們悟性的普遍的哲學(xué)需要相應(yīng)的喊式；另一方面孵户，只有滿足這樣的要求，問題的思想內(nèi)容和它的豐富涵義 才能充分體現(xiàn)岔留。一個新的問題夏哭，特別是當(dāng)它來源于外部經(jīng)驗世界時，很像一株幼嫩的新枝献联，只要我們小心地竖配、按照嚴(yán)格的園藝學(xué)規(guī)則將它移植到已有數(shù)學(xué)成就粗實的 老干上去，就會茁壯成長開花結(jié)果酱固。
把 證明的嚴(yán)格化與簡單化絕然對立起來是錯誤的械念。相反，我們可以通過大量例子來證實：嚴(yán)格的方法同時也是比較簡單运悲、比較容易理解的方法龄减。正是追求嚴(yán)格化的努力 驅(qū)使我們?nèi)で蟊容^簡單的推理方法。這還常常會引導(dǎo)出比嚴(yán)格性較差的老方法更有發(fā)展前途的方法班眯。這樣希停，借助于更為嚴(yán)格的函數(shù)論方法和協(xié)調(diào)地引進超越手段， 代數(shù)曲線的理論經(jīng)歷了很大的簡化署隘，并達到了更高的統(tǒng)一宠能。還有，對冪級數(shù)可以應(yīng)用四則算術(shù)運算磁餐，并進行逐項微分和與積分违崇，這一事實的證明以及通過這種證明而 獲得的對冪級數(shù)用處的認識，大大促進了整個分析的簡化诊霹，特別是消去法和微分方程論羞延，還有這些理論所需要的存在性證明的簡化。但是脾还，我要提出的最突出的例子 是變分法伴箩。處理定積分的一階和二階變分，有時需要復(fù)雜的計算鄙漏，而以往數(shù)學(xué)家所采用的算法缺乏必要的嚴(yán)格性嗤谚。維爾斯特拉斯給我們指出了通向嶄新而牢靠的變分 學(xué)基礎(chǔ)的道路棺蛛。在本演講的末尾，我將以單積分為例巩步，簡要地指出旁赊，遵循這條道路如何同時導(dǎo)致變分學(xué)的驚人簡化，即在證明極小和極大值出現(xiàn)的充分和必要條件 時椅野，二階變分的計算彤恶，實際上還包括某些與一階變分有關(guān)的令人厭倦的推導(dǎo)，都可以完全省去――更不用說這樣的進步鳄橘，即可以去掉對于變分要求其中的函數(shù)微商變 化很小的限制了声离。
另 一方面，在堅持把證明的嚴(yán)格性作為完善地解決問題的一種要求的同時瘫怜，我要反對這樣一種意見术徊，即認為只有分析的概念，甚至只有算術(shù)的概念才能嚴(yán)格地加以處 理鲸湃。這種意見赠涮，有時為一些頗有名望的人所提倡，我認為是完全錯誤的暗挑。對于嚴(yán)格性要求的這種片面理解笋除，會立即導(dǎo)致對一切從幾何、力學(xué)和物理中提出的概念的排 斥炸裆，從而堵塞來自外部世界的新的材料源泉垃它，最終實際上必然會拒絕接受連續(xù)統(tǒng)和無理數(shù)的思想。這樣一來烹看，由于排斥幾何學(xué)和數(shù)學(xué)物理国拇，一條多么重要的、關(guān)系到 數(shù)學(xué)生命的神經(jīng)被切斷了惯殊！與這種意見相反酱吝，我認為：無論數(shù)學(xué)概念從何處提出，無論是來自認識論或幾何學(xué)方面土思，還是來自自然科學(xué)理論方面务热，都會對數(shù)學(xué)提出這 樣的任務(wù)：研究構(gòu)成這些概念的基礎(chǔ)的原則，從而把這些概念建立在一種簡單而完備的公理系統(tǒng)之上己儒，使新概念的精確性及其對于演繹之適用程度無論在哪一方面都 不會比以往的算術(shù)概念差崎岂。
新符號必須服從于新概念。我們用這樣的方式來選擇這些符號址愿，使得它們會令人想到曾經(jīng)是形成新概念的緣由的那種現(xiàn)象该镣。這樣冻璃，幾何圖形就是直觀空間的幫助記憶的符號响谓，所有的數(shù)學(xué)家正是如此來使用它們的损合。誰不會用同一直線上的三點配上不等式來作為“之間”這個概念的幾何圖形呢？當(dāng)需要證明一條關(guān)于函數(shù)連續(xù)性或聚 點存在的困難定理時娘纷，誰不會使用一個套一個的線段或矩形圖像呢？誰能夠完全不使用三角形、帶中心的圓或由三根互相垂直的軸組成的坐標(biāo)架這樣一些圖形呢甘有？誰 又會放棄在微分幾何腔长、微分方程論、變分學(xué)基礎(chǔ)以及其他的純數(shù)學(xué)分支中起著如此重要作用的向量場圖示法或曲線遏插、曲面族及其包絡(luò)的圖形呢捂贿？
算術(shù)符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖像化的公式胳嘲；沒有一個數(shù)學(xué)家能夠缺少這些圖像化的公式厂僧，正如在數(shù)學(xué)演算中他們不能不使用加、脫括號的操作或其他的分析符號一樣了牛。
采用幾何符號作為嚴(yán)格證明的一種手段颜屠，是以對于構(gòu)成這些圖形基礎(chǔ)的公 理的確切理解和完全掌握為前提的；為了使這些幾何圖像可以融入數(shù)學(xué)符號的總寶庫鹰祸，就必須對它們的直觀內(nèi)容進行嚴(yán)格的公理化研究甫窟。正如在兩數(shù)相加時，人們必 須把相應(yīng)的數(shù)字按位數(shù)上下對齊蛙婴，使得這些數(shù)字的正確演算只受運算規(guī)則即算術(shù)公理的支配粗井，幾何圖形的使用也是由幾何概念的公理及其組合所決定。
幾何與算術(shù)思維之間的這種一致性還表現(xiàn)在：在算術(shù)中街图，也像在幾何學(xué)中一樣背传，我們通常都不會循著推理的鏈條去追溯最初的公理。相反地台夺，特別是在開始解決一個 問題時径玖，我們往往任何對算術(shù)符號的性質(zhì)的某種算術(shù)直覺，迅速地颤介、不自覺地去應(yīng)用并不是絕對可靠的公理組合梳星。這種算術(shù)直覺在算術(shù)中是不可缺少的，就像在幾何 學(xué)中不能沒有幾何想象一樣滚朵。作為用幾何概念與幾何符號來嚴(yán)格處理算術(shù)理論的一個例子冤灾，我要提出閔可夫斯基的著作：《數(shù)的幾何》。
下面辕近，我想對在數(shù)學(xué)問題中常會遇到的困難和克服這些困難的辦法作一些分析韵吨。
在解決一個數(shù)學(xué)問題時，如果我們沒有獲得成功移宅，原因常常在于我們沒有認識到更一般的觀點归粉，即眼下要解決的問題不過是一連串有關(guān)問題中的一個環(huán)節(jié)椿疗。采取這樣 的觀點之后，不僅我們所研究的問題會容易得到解決糠悼，同時還會獲得一種能應(yīng)用于有關(guān)問題的普遍方法届榄。柯西在定積分理論中引進復(fù)積分路徑倔喂，庫麥爾在數(shù)論中引進 “理想”的概念铝条，就是這樣的例子。這種尋求一般方法的途徑肯定是最行得通也是最可靠的席噩，因為手中沒有明確的問題而去尋求一般方法的人班缰，他們的工作多半是徒 勞無益的。
在討論數(shù)學(xué)問題時悼枢，我們相信特殊化比起著比一般化更為重要的作用鲁捏。可能在大多數(shù)場合萧芙，我們尋找一個問題的答案而未能成功的原因给梅，是在于這樣的事實，即有一 些比手頭的問題更簡單双揪、更容易的問題沒有完全解決或是完全沒有解決动羽。這時，一切都有賴于找出這些比較容易的問題并使用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來 解決它們渔期。這種方法是克服數(shù)學(xué)困難的最重要的杠桿之一运吓，我認為人們是經(jīng)常使用它的，雖然也許并不自覺疯趟。
有時會碰到這樣的情況：我們是在不充分的前提下或不正確的意義上尋求問題的解答拘哨，因此不能獲得成功。于是就會產(chǎn)生這樣的任務(wù)：證明在所給的前提和所考慮的 意義下原來的問題是不可能解決的信峻。這樣一種不可能性的證明古人就已實現(xiàn)倦青，例如他們證明了一等腰直角三角形的斜邊與直角邊的比是無理量。在以后的數(shù)學(xué)中盹舞，關(guān) 于某些解的不可能性的問題起著重要作用产镐；這樣，我們領(lǐng)悟到：一些古老而困難的問題踢步，諸如平行公理的證明癣亚，化圓為方、或用根式求解五次方程等获印，業(yè)已獲得充分 滿意和嚴(yán)格的解決述雾，盡管是在與原先的企圖不同的另一種意義上。
也許正是這一值得注意的事實，加上其他哲學(xué)上的因素玻孟，給人們以這樣的信念（這信念為所有數(shù)學(xué)家所共有唆缴，但至少迄今還沒有一個人能給以證明），即每個確定的 數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該能得到明確的解決取募，或者是成功地對所給問題作出回答，或者是證明該問題解的不可能性蟆技，從而指明解答原問題的一切努力都肯定要歸于失敗玩敏。拿任 一確定的、尚未解決的問題來說质礼，例如關(guān)于歐拉－馬許羅尼(Euler-Masheroni)常數(shù)c的無理性問題或是否存在無限多個形如＋1的素數(shù)問題旺聚。無論這些問題在我們看來多么難以解決，無論在這些問題面前我們顯得多么無能為力眶蕉，我們?nèi)匀粓远ǖ叵嘈排榇猓鼈兊慕獯鹨欢芡ㄟ^有限步純邏輯推理而得到。
這條認為所有的問題都能解決的公理造挽，僅僅是數(shù)學(xué)思想所獨有的特征嗎碱璃？抑或是我們的悟性所固有的一般規(guī)律，即它所提出的一切問題必能被它自身所回答饭入？因為嵌器， 在其他科學(xué)中，人們也常遇到一些老的問題谐丢，通過不可能性的證明爽航，這些問題被一種對科學(xué)來說是最滿意、最有用的方式解決了乾忱。我想援引永動機的問題讥珍。在構(gòu)造永 動機的努力失敗以后，科學(xué)家們研究了在這種機器不可能存在的情況下窄瘟，自然力之間必須存在的關(guān)系衷佃；而這個反問題引導(dǎo)到能量守恒定律的發(fā)現(xiàn)，它反過來又解釋了 原來希望制造的永動機的不可能性蹄葱。
這種相信每個數(shù)學(xué)問題都可以解決的信念纲酗，對于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。在我們中間新蟆，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個數(shù)學(xué)問題觅赊，去找出它的答案！你能通過純思維找到它琼稻，因為在數(shù)學(xué)中沒有ignorabimus（不可知）吮螺。
數(shù)學(xué)問題的寶藏是無窮無盡的，一個問題一旦解決，無數(shù)新的問題就會代之而起鸠补。下面請允許我嘗試著提出一些特定的問題萝风，它們來源于數(shù)學(xué)的各個分支。通過對這些問題的討論紫岩，我們可以期待科學(xué)的進步规惰。
讓我們來看一看分析和幾何學(xué)的原理。在這個領(lǐng)域里泉蝌，上世紀(jì)最有啟發(fā)性和最值得重視的成就歇万，我認為是：柯西、波爾察諾和康托著作中連續(xù)統(tǒng)概念的算術(shù)表達勋陪，以及高斯贪磺、鮑耶和羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)的非歐幾何學(xué)。所以诅愚，我首先把諸位的注意力引向這些領(lǐng)域中的若干問題寒锚。
（著名的23個問題略）
以 上提出的問題，只不過是一些例子违孝；但它們已經(jīng)充分顯示出今日的數(shù)學(xué)科學(xué)是何等豐富多彩刹前，何等范圍廣闊！我們面臨著這樣的問題：數(shù)學(xué)會不會遭到像其他有些科 學(xué)那樣的厄運雌桑，被分割成許多孤立的分支腮郊，它們的代表人物很難互相理解，它們的關(guān)系變得更松懈了筹燕？我不相信會有這樣的情況轧飞，也不希望有這樣的情況。我認為撒踪， 數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機整體过咬，它的生命力正是在于各個部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學(xué)知識千差萬別制妄，我們?nèi)匀磺宄匾庾R到：在作為整體的數(shù)學(xué)中掸绞，使用著相 同的邏輯工具，存在著概念的親緣關(guān)系耕捞，同時衔掸，在它的不同部分之間，也有大量相似之處俺抽。我們還注意到敞映，數(shù)學(xué)理論越是向前發(fā)展，它的結(jié)構(gòu)就變得越加調(diào)和一致磷斧， 并且振愿，這門科學(xué)一向相互隔絕的分支之間也會顯露出原先意想不到的關(guān)系捷犹。因此，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展冕末，它的有機的特性不會喪失萍歉，只會更清楚地呈現(xiàn)出來。
然 而档桃，我們不禁要問：隨著數(shù)學(xué)知識的不斷擴展枪孩，單個的研究者想要了解這些知識的所有部門豈不是變得不可能了嗎？為了回答這個問題藻肄，我想指出蔑舞，數(shù)學(xué)中每一步真 正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的仅炊、復(fù)雜的東西拋到一邊斗幼。數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這 種特點是根深蒂固的澎蛛。因此抚垄，對于個別的數(shù)學(xué)工作者來說，只要掌握了這些有力的工具和簡單的方法谋逻，他就有可能在數(shù)學(xué)的各個分支中比其他科學(xué)更容易地找到前進 的道路呆馁。
數(shù)學(xué)的有機的統(tǒng)一，是這門科學(xué)固有的特點毁兆，因為它是一切精確自然科學(xué)知識的基礎(chǔ)浙滤。為了圓滿實現(xiàn)這個崇高的目標(biāo)，讓新世紀(jì)給這門科學(xué)帶來天才的大師和無數(shù)熱誠的信徒吧气堕！
數(shù)學(xué)問題
