四元數(shù)是比較復(fù)雜的，它是一個復(fù)數(shù)，由實部和虛部組成回还。
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復(fù)數(shù)的定義：
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如果我們將平面上的x軸作為實軸抛人，y軸作為虛軸。這樣復(fù)數(shù)P就定義了一個p點糜芳，同時也定義了一個向量飒货。
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如果我們將兩個復(fù)數(shù)相乘。就可以把原來的向量旋轉(zhuǎn)一定的角度得到一個新的向量 復(fù)數(shù)的乘法就是四元數(shù)旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)峭竣。
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- 旋轉(zhuǎn)以后：p'（2D）
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3D中的旋轉(zhuǎn)如何用四元數(shù)表示呢塘辅？
這時我們的四元數(shù)就需要三個虛部和一個實部。這就是真正的四元數(shù)皆撩。
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3D空間中繞任意方向的旋轉(zhuǎn)軸（n）扣墩，旋轉(zhuǎn)的角度為θ進行旋轉(zhuǎn)就可以用以下四元數(shù)表示：
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旋轉(zhuǎn)公式：
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四元數(shù)的計算法則。
四元數(shù)作為復(fù)數(shù)扛吞，就會遵循復(fù)數(shù)的計算法則：
??負四元數(shù)：
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- 單位四元數(shù)（代表沒有旋轉(zhuǎn)呻惕，沒有角位移）
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- 四元數(shù)的模（同向量差不多）：
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四元數(shù)的模的幾何意義：將旋轉(zhuǎn)公式代入其中n代表旋轉(zhuǎn)軸用一個單位向量表示即可，單位向量的模就是1滥比，化簡之后四元數(shù)的模為1亚脆，這種模為1的四元數(shù)是3D數(shù)學(xué)中使用最多的（規(guī)范化四元數(shù)）
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- 復(fù)數(shù)的共軛（將虛部值取反）
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- 四元數(shù)的共軛（也將虛部值取反）：
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- 四元數(shù)的逆公式（由于我們3D中旋轉(zhuǎn)都使用的是規(guī)范化四元數(shù)，所以它的模為1盲泛，這樣四元數(shù)的逆就等于四元數(shù)的共軛）：
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四元數(shù)的共軛幾何意義就代表繞著與之前相反的方向進行旋轉(zhuǎn)濒持。
Paste_Image.png 四元數(shù)的叉乘，叉乘之后得到一個新的四元數(shù)：
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- 編程時使用變換過的叉乘公式查乒。
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- 四元數(shù)的叉乘不遵循交換律弥喉。
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四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)：
3D中的一個點p（x，y玛迄，z）以四元數(shù)的方式表示出來由境，并將它使用四元數(shù)進行旋轉(zhuǎn)。
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四元數(shù)繞n軸旋轉(zhuǎn)一個點p，θ度虏杰，旋轉(zhuǎn)的公式：
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- 四元數(shù)的“差”（實際上為四元數(shù)的除法）
一個四元數(shù)a表示一個方位讥蟆，另外一個四元數(shù)b表示另一個方位，從方位a旋轉(zhuǎn)一定的角度d到了方位b纺阔。（可以通過四元素的除法獲得兩個方向旋轉(zhuǎn)的角位移）
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- 四元數(shù)的點乘（相當(dāng)于向量的點乘）：
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- 四元數(shù)的對數(shù)：
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- 四元數(shù)的指數(shù)：
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- 四元數(shù)的標(biāo)量乘：
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