數(shù)學(xué)世界觀（下）
本文包括以下內(nèi)容：
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)框架（第二部分）——第一部分請(qǐng)戳
奧數(shù)到底教了什么
數(shù)學(xué)之“術(shù)”埋心，即數(shù)學(xué)模型指郁。
數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)世界中很重要的一個(gè)部分。
很多人可能認(rèn)為這是非常專業(yè)的概念拷呆，但是大家可能沒想到闲坎，實(shí)際上我們從小學(xué)開始就要接觸到數(shù)學(xué)模型。
例如茬斧，老師上課給我們講了一道題：小明走路去學(xué)校腰懂，距離是多少，速度是多少啥供，問要走多久悯恍？然后作業(yè)變成了火車從廣州開到北京，距離是多少伙狐，速度是多少涮毫，問要開多久？
為什么從走路變成開火車我們也會(huì)做贷屎？
沒錯(cuò)罢防，因?yàn)椤?b>兩道題的數(shù)學(xué)模型是一樣的。
數(shù)學(xué)模型唉侄，就是把問題背后的數(shù)學(xué)關(guān)系抽象出來咒吐，以便于我們用數(shù)學(xué)的方法解答它。
一属划、它可以幫助我們從特殊到普通地解決同一類型的問題恬叹，也就是所謂的“舉一反三”。
很多家長(zhǎng)在輔導(dǎo)孩子學(xué)數(shù)學(xué)的過程同眯，經(jīng)常會(huì)因?yàn)楹⒆硬粫?huì)“舉一反三”急得直跺腳：“稍微變一下就做不出來了绽昼，真笨！”
但是卻想不到什么好的方法去改善這個(gè)問題须蜗，以為要依靠多做題成為“舉三反一”硅确。
實(shí)際上，這是因?yàn)楹⒆記]有掌握背后的數(shù)學(xué)模型明肮。
哪怕是沒有學(xué)習(xí)過模型概念小學(xué)生菱农，在做題的時(shí)候都會(huì)有這種樸素的感覺——從一道題（特殊）總結(jié)背后的關(guān)系（普通），再用于下一道題（回到特殊）柿估。
但是這種從特殊到普通的抽象方法循未，必須隨著年齡增長(zhǎng)才能逐漸掌握（通常在四年級(jí)左右開始產(chǎn)生明確的抽象思維，在初一開始成熟）秫舌，同時(shí)需要被正確地引導(dǎo)和教育只厘、不斷地練習(xí)才能掌握得更好烙丛。
（順便一提，這種能力屬于上一篇文章“數(shù)學(xué)之道”中討論的范疇）羔味。
二、它可以幫助我們將復(fù)雜的問題一步步變形簡(jiǎn)化直到解決钠右，這是數(shù)學(xué)考試（尤其是高考）中解決壓軸題的必備能力赋元。
這里我想講一個(gè)只有學(xué)理科才能get到的冷笑話：
有一個(gè)數(shù)學(xué)家受夠了數(shù)學(xué)，于是前去應(yīng)聘消防員飒房。面試的時(shí)候搁凸，消防隊(duì)長(zhǎng)問：
“假設(shè)貨棧起火了，您怎么辦狠毯？”
“我把消防栓接到軟管上护糖，打開水龍頭，把火澆滅嚼松〉樟迹”
隊(duì)長(zhǎng)很滿意，又問：
“假如您路過貨棧献酗，它沒有起火寝受，該怎么辦？”
數(shù)學(xué)家略一思考罕偎，“那我就把它點(diǎn)著很澄。”
“太可怕了颜及！”隊(duì)長(zhǎng)大吃一驚甩苛，“為什么？”
“那我就把問題化簡(jiǎn)為一個(gè)我已經(jīng)解決了的問題了”
你沒有看錯(cuò)俏站，可能也完全笑不出來讯蒲，
但是這就是數(shù)學(xué)家每天都在努力做的一件事：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或者多個(gè)“已經(jīng)解決過的問題”來解決它。
這里面乾翔，“遇到貨棧起火”就是一個(gè)模型爱葵，它代表一類已經(jīng)有固定的解決方法的問題。
數(shù)學(xué)模型從虛無縹緲的“道”反浓、高屋建瓴的“法”進(jìn)入到了具有實(shí)操性萌丈、實(shí)際指導(dǎo)我們解決問題的“術(shù)”的層面。
它就像層層分岔雷则、連接樹干（數(shù)學(xué)概念）和樹葉（數(shù)學(xué)問題）之間的枝椏辆雾，起著延伸和傳遞的作用；借助數(shù)學(xué)模型月劈，我們才可以將實(shí)際問題和數(shù)學(xué)解答連接起來度迂，變成一道道精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)難題藤乙。
數(shù)學(xué)之“器”，即數(shù)學(xué)問題惭墓。
具體而言坛梁，是指解決數(shù)學(xué)問題的手段和技巧。
對(duì)于應(yīng)試教育而言腊凶，解題就是終極目標(biāo)划咐，在重要考試中交出一張滿分的答卷，不枉寒窗十年钧萍，刷題千遍褐缠。
因此，一直以來风瘦，數(shù)學(xué)被認(rèn)為是最適合用題海戰(zhàn)術(shù)的科目队魏。
究其原因，可能有二：
一万搔、解題是部分學(xué)生認(rèn)為通向數(shù)學(xué)的唯一途徑胡桨。
相比起歷史、政治等可以靠背書蟹略；語文登失、英語可以靠閱讀；解題是大部分學(xué)生用來靠近那遙不可及的數(shù)學(xué)知識(shí)的救命稻草挖炬。
于是無數(shù)學(xué)子就掉進(jìn)了“做題——不會(huì)——聽講解——似懂非懂——再做題——還不會(huì)”的夢(mèng)魘循環(huán)之中去揽浙。
二、解題也確實(shí)是數(shù)學(xué)通向部分人的唯一橋梁意敛。
有人說生活中唯一用到數(shù)學(xué)的時(shí)候馅巷，就是在市場(chǎng)買菜算價(jià)格。像立體幾何草姻、微積分這些知識(shí)钓猬，除了出現(xiàn)在試卷上，與大部分人是一生無緣的撩独。
所以很多人回想起數(shù)學(xué)敞曹，腦海里只剩下在題海中奮力撲騰，終于在高考完畢那一刻被海浪沖刷上岸综膀，只留下口中海水苦澀的味道澳迫。
這也是很多人提倡“數(shù)學(xué)無用論”，認(rèn)為通過分科可以讓學(xué)生選擇盡早逃離數(shù)學(xué)“苦壕缛埃”橄登。
數(shù)學(xué)是否真的在生活中百無一用，我會(huì)有專門的篇幅進(jìn)行探討，這里只想分析刷題對(duì)提升數(shù)學(xué)的作用到底有多大拢锹。
題海戰(zhàn)術(shù)谣妻，練的乃數(shù)學(xué)之器
天天打球可以練球感，天天做題也能練出“題感”卒稳，對(duì)于常規(guī)題目的解法蹋半、計(jì)算形成條件反射。因此在0-70分范圍內(nèi)充坑，題海戰(zhàn)術(shù)的效果非常顯著湃窍。
但道家云，以道御器匪傍，勿以器害道。有水平觉痛、有層次的數(shù)學(xué)試卷役衡，一定是要求學(xué)生道、法薪棒、術(shù)手蝎、器融會(huì)貫通，信手拈來的俐芯。熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)之“術(shù)”棵介，占15分；透徹理解數(shù)學(xué)之“法”吧史，占10分邮辽；最后5分，必須全面掌握數(shù)學(xué)之“道”贸营，加上天時(shí)地利人和三才合一吨述，可遇不可求。
解題方法是數(shù)學(xué)的表象钞脂，有如樹葉之于大樹揣云。樹之茂盛繁華，見之葉也冰啃，實(shí)則根也邓夕。解題能力是末，思考方法是本阎毅，學(xué)數(shù)學(xué)如果舍本逐末焚刚，最后唯一的結(jié)果只能是本末皆失了。
奧數(shù)課程和課內(nèi)數(shù)學(xué)區(qū)別在哪里呢净薛？
讓我再舉一道低年級(jí)的奧數(shù)題為例：
圖中有多少根線段汪榔？
這道題目的答案與解法都很簡(jiǎn)單：
解法一（打槍法）：
根據(jù)線段左端點(diǎn)（箭頭起點(diǎn)）來分，從左到右三個(gè)起點(diǎn)分別可以連出3、2痴腌、1條線段雌团，一共是3+2+1=6條線段。
解法二（基本線段法）：
根據(jù)每個(gè)線段由多少個(gè)基本線段（最短的線段）組成士聪，可以分為三類锦援，分別有3、2剥悟、1條灵寺，一共是3+2+1=6條線段。
那么区岗，我們一起來看看略板，奧數(shù)課本編排這么一講，目的是什么呢慈缔？
首先叮称，是領(lǐng)悟“道”，教數(shù)學(xué)思維藐鹤。
上面兩種方法都用到了分類枚舉的思維瓤檐，這是邏輯思維的一個(gè)體現(xiàn)。
分類講究不重不漏娱节，在每個(gè)類別中枚舉又需要確定明確次序挠蛉，兩個(gè)環(huán)節(jié)任何一個(gè)出了錯(cuò)誤，都很可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果肄满。
在講解這道題時(shí)谴古，如果學(xué)生不是用上面兩個(gè)方法之一，或者數(shù)的次序不對(duì)（從藍(lán)色到紅色再到黃色悄窃，每個(gè)顏色從左到右）讥电，我都會(huì)尖銳的指出來——答案本身無足輕重，但背后的數(shù)學(xué)思想?yún)s是題目的精髓轧抗。
其次恩敌，是強(qiáng)調(diào)“法”，復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)概念横媚。
初次接觸這道題的學(xué)生纠炮，常常直觀地認(rèn)為只有3條線段——根據(jù)線段的定義（兩個(gè)端點(diǎn)與之間的直線），線段之上是否有其他端點(diǎn)并不影響灯蝴。
題目擴(kuò)寬了對(duì)線段的直觀認(rèn)識(shí)恢口，同樣的情形還會(huì)用在數(shù)三角形、正方形以及其他題目穷躁。
因此耕肩，從定義出發(fā)，是檢驗(yàn)結(jié)果的唯一標(biāo)準(zhǔn)。
再次猿诸，是掌握“術(shù)”婚被，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型。
學(xué)會(huì)了這道題的方法梳虽，可以如何“舉一反三”呢址芯？
首先是增加線段的端點(diǎn)數(shù)：
圖中有多少根線段？
然后窜觉，是變換對(duì)象：
圖中有多少個(gè)三角形谷炸？
圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？
還可以徹底改頭換面：
圖中的點(diǎn)可以連多少條線禀挫？
甚至變成這樣：
4個(gè)小朋友每?jī)蓚€(gè)人之間握一次手旬陡，一共握了多少次手？
以上的題目语婴，都可以套用同樣的數(shù)學(xué)模型季惩，這才是舉一反三。
最后腻格，才是訓(xùn)練“器”，記住解題方法啥繁。
再次遇到同類型的問題菜职，可以列出算式，正確算出答案的能力旗闽，對(duì)于奧數(shù)課來說酬核，只是無心之得，順便使然适室。
那我們課內(nèi)的數(shù)學(xué)老師嫡意，是怎樣教這道題的呢？
一捣辆、根據(jù)教案蔬螟，選擇兩種解法的一種，在課上進(jìn)行講解（目前采用打槍法的居多汽畴，因?yàn)橐子谟洃浘山恚菑臄?shù)學(xué)思維的層面，基本線段法的思想泛用性更強(qiáng)）忍些；
二鲁猩、讓同學(xué)們記住1+2+3+……的式子，并掌握端點(diǎn)和式子的關(guān)系罢坝；
三廓握、讓同學(xué)們了解數(shù)三角形、數(shù)長(zhǎng)方形也是同樣的方法，以便應(yīng)付題型變化隙券；
四男应、布置數(shù)線段、數(shù)三角形是尔、數(shù)長(zhǎng)方形各一道殉了，數(shù)字變化一下，作為練習(xí)鞏固拟枚。
簡(jiǎn)而言之薪铜，奧數(shù)教學(xué)和課內(nèi)數(shù)學(xué)的方法和目標(biāo)區(qū)別在于：
奧數(shù)是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)之“道”，扎根數(shù)學(xué)之“法”恩溅，活用數(shù)學(xué)之“術(shù)”隔箍，落腳數(shù)學(xué)之“器”，目標(biāo)是培養(yǎng)具有良好數(shù)學(xué)素質(zhì)的人才脚乡，并將數(shù)學(xué)的思維和方法滲透到各個(gè)方面蜒滩；
課內(nèi)數(shù)學(xué)是避而不談“道”，死記硬背“法”奶稠，狹隘理解“術(shù)”俯艰，反復(fù)練習(xí)“器”，目標(biāo)是完成既定的教學(xué)內(nèi)容，做對(duì)教學(xué)大綱內(nèi)的所有題目。
結(jié)論
奧數(shù)教育的設(shè)計(jì)峦阁，是為了培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維，訓(xùn)練扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底啦辐，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)之妙蜈项，絕非簡(jiǎn)單的超前搶跑芹关，也不是追求刁鉆偏門。
從之前的一些小例子紧卒，希望讀者也能感覺到數(shù)學(xué)的一題多解侥衬、舉一反三、融會(huì)貫通跑芳、深入淺出浇冰。
雖然現(xiàn)在不少的教育機(jī)構(gòu)熱衷于用老套的課內(nèi)數(shù)學(xué)教育方法來教奧數(shù)題，旨在機(jī)械式地打造出一批會(huì)解數(shù)學(xué)題的“尖子生”聋亡，其方式和結(jié)果都慘不忍睹肘习。
但瑕不掩瑜，奧數(shù)教育依然保留了它一部分的本質(zhì)——如果不是將“道法術(shù)器”一套基本功練下來坡倔，很快會(huì)后繼乏力漂佩，絕不可能進(jìn)入到高層次的奧數(shù)學(xué)習(xí)之中脖含。
所以，學(xué)習(xí)奧數(shù)——當(dāng)然投蝉，不是等同于上奧數(shù)課养葵、做奧數(shù)題、躋身追求奧賽升學(xué)的隊(duì)伍——對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)和整體素質(zhì)的培養(yǎng)是相當(dāng)有益的瘩缆，無論是泛泛而學(xué)還是深入鉆研关拒，都會(huì)有所收獲。
但是庸娱，如果目標(biāo)錯(cuò)了着绊，繼而方法也錯(cuò)了，最終南轅北轍熟尉，恐怕就會(huì)變成“奧數(shù)吃人論”的又一名受害者了归露。
文 / 珊爸@不嚴(yán)肅育兒（ID：T-reading）
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