本章涉及知識點(diǎn)

1量窘、微分方程的定義

2、一階線性微分方程的定義

3氢拥、求齊次線性方程通解的算法

4蚌铜、求非齊次線性方程通解的算法

5、伯努利方程的變化算法

6嫩海、案例微分方程的分析

7厘线、純數(shù)學(xué)算法推導(dǎo)案例的微分方程

8、Euler算法的推導(dǎo)

9出革、編程實(shí)戰(zhàn)案例微分方程在不同算法下的計(jì)算結(jié)果和誤差

一、微分方程的定義

在許多實(shí)際問題渡讼，尤其是金融問題骂束，往往不能直接列出所需要研究的函數(shù)的具體表達(dá)式，但是根據(jù)使用場景成箫，卻可以列出待研究的函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式展箱，而關(guān)于函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)的方程就稱之為微分方程，那么從這個(gè)方程中找出未知函數(shù)蹬昌，就是求解微分方程的解

一般的混驰，在滿足初始條件下，微分方程包含未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)

一階微分方程

上述微分方程就叫做一階微分方程

二皂贩、一階線性微分方程的定義

一階線性微分方程

上述方程是關(guān)于未知函數(shù)y及其一階導(dǎo)數(shù)的一次方程栖榨，我們稱之為一階線性微分方程

方程是齊次的定義為

齊次

而方程是非齊次的定義為

非齊次

求解非齊次微分方程的解，我們需要

(1)明刷、寫出對應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性方程婴栽，求出齊次線性方程的通解

(2)、通過常數(shù)易變法辈末，求出非齊次線性方程的通解

三愚争、求齊次線性方程通解的算法

對于齊次方程映皆，我們用分離變量法，得到

求解齊次方程

提出常數(shù)C1化簡得

齊次方程的通解

四轰枝、求非齊次線性方程通解的算法

得到齊次方程的通解后捅彻，我們使用常數(shù)易變法，將齊次方程通解中的常數(shù)C換做未知函數(shù)u(x)鞍陨，變化得

常數(shù)易變法

我們對y進(jìn)行求導(dǎo)步淹，得到

y的導(dǎo)數(shù)

將導(dǎo)數(shù)帶入非齊次線性方程中，得

非齊次線性方程解法-1

兩端積分得

非齊次線性方程解法-2

將求解到的u帶入y湾戳，就得到了非齊次方程的通解

非齊次方程的通解

我們將通解寫成兩項(xiàng)之和贤旷，得到

非齊次方程的通解意義

觀察分析上式可以看到，一階非齊次線性微分方程的通解 = 齊次方程的通解 + 非齊次方程的一個(gè)特解

五砾脑、伯努利方程的變化算法

從一階線性微分方程中可以看到幼驶，P(x)和Q(x)當(dāng)只有P(x)是關(guān)聯(lián)未知函數(shù)y，我們可以用上述算法求解該方程韧衣。但是當(dāng)Q(x)也關(guān)聯(lián)未知函數(shù)y盅藻，此時(shí)應(yīng)該如何求解方程呢？

伯努利方程

上述方程叫做伯努利方程畅铭，顯然當(dāng)n=0或n=1時(shí)氏淑，就是非齊次線性方程，而當(dāng)n不等于0和1時(shí)硕噩，這個(gè)方程就不是線性的假残，為此，我們需要利用上述算法求解該方程炉擅，就需要通過變量的代換辉懒，將它轉(zhuǎn)化為線性的即可

我們將伯努利方程兩端同時(shí)除以y^n得

伯努利方程變化-1

因?yàn)?/p>

伯努利方程變化-2

為此我們引入新的因變量z

引入新的因變量z

則z的導(dǎo)數(shù)寫為

z的導(dǎo)數(shù)

將伯努利方程兩端同時(shí)乘以(1-n)得

伯努利方程變化-2

可以看到上式的P(x)與z有關(guān)聯(lián)，而Q(x)已經(jīng)和z沒有了關(guān)聯(lián)谍失，即原方程已經(jīng)變成了線性方程眶俩，我們就可以按照之前的算法求出方程的通解，在用z帶回y就可以得到伯努利方程的通解

六快鱼、案例微分方程的分析

介紹了非齊次線性方程和伯努利方程求解通解的算法后颠印，我們來求下面方程的通解

案例方程

分析可知，該方程數(shù)非線性方程抹竹，屬于n=-1的伯努利方程线罕，直接的數(shù)學(xué)解法需要做伯努利變化為線性方程，再利用非齊次線性方程的解法來求解通解窃判，下面我們先用數(shù)學(xué)方法來求解

七闻坚、純數(shù)學(xué)算法推導(dǎo)案例的微分方程

將案例方程兩端同時(shí)乘以y得

案例方程求解-1

令

案例方程求解-2

帶入y得

案例方程求解-3

我們從上式中寫出P(x)、Q(x)以及P(x)的積分

案例方程求解-4

帶入非齊次線性方程的通解得

案例方程求解-5

下面我們需要單獨(dú)來求解上式中的積分兢孝，使用分部積分法得

案例方程求解-6

將積分的結(jié)果帶入非齊次線性方程的通解得

案例方程求解-7

將z帶回y得

案例方程求解-8

為此我們求出了案例方程的通解窿凤，下面帶入初始條件y(0)=1得

案例方程求解-9

最終我們得到了案例方程的精確解為

案例方程的精確解

八仅偎、Euler算法的推導(dǎo)

上面我們用純數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)出了案例方程的精確解，但是計(jì)算機(jī)顯然不會分部積分法雳殊，我們?nèi)稳恍枰獜奈⒎址匠痰脑沓霭l(fā)

我們回到微分方程的定義

微分方程的定義

我們將微分方程在區(qū)間[ti橘沥，ti+1]上積分得

同時(shí)積分

在區(qū)間[ti，ti+1]上將f(t夯秃，u)近似的看做常數(shù)f(ti座咆，ui)，則有

Euler算法

上式稱為Euler算法仓洼，可以看到這是一個(gè)遞推式算法介陶，可以由已知初值u0推導(dǎo)至un

而Euler算法的幾何意義為：

過點(diǎn)(t0，u0)色建，以f(t0哺呜，u0)作為斜率作直線L0，得

Euler算法的幾何意義-1

求出直線L0在t1=t0+h的值u1箕戳，得

Euler算法的幾何意義-2

得到u1后，再過點(diǎn)(t1玻墅，u1)，以f(t1澳厢，u1)作為斜率作直線L1囚似，得

Euler算法的幾何意義-3

求出直線L1在t2=t1+h的值u2，得

Euler算法的幾何意義-4

如此繼續(xù)迭代下去，可以求出經(jīng)過

Euler算法的幾何意義-5

節(jié)點(diǎn)列表的一條直線框都，所以Euler算法也叫做折線法，用n段直線繪制成一條折線魏保，來擬合函數(shù)曲線

九熬尺、編程實(shí)戰(zhàn)案例微分方程在不同算法下的計(jì)算結(jié)果和誤差

下面我們通過伯純數(shù)學(xué)的努利算法和Euler迭代算法來編程比較案例方程的結(jié)果值

伯努利算法

Euler算法

定義區(qū)間和步長為

實(shí)驗(yàn)區(qū)間和步長

作圖畫出兩種算法的計(jì)算結(jié)果來直觀比較

h=0.05時(shí)兩種算法的計(jì)算結(jié)果比較

可以看到當(dāng)步長h=0.05時(shí)，Euler算法的精確度在下降谓罗，證明了誤差在迭代傳播

我們用伯努利理論值減去Euler值粱哼，畫出Euler算法的誤差曲線

h=0.05時(shí)Euler算法的誤差曲線

當(dāng)我們縮小步長h=0.01時(shí)，兩種算法的計(jì)算結(jié)果和Euler算法的誤差為

h=0.01時(shí)兩種算法的計(jì)算結(jié)果比較??

h=0.01時(shí)Euler算法的誤差曲線

可以看到步長的縮小檩咱，擬合效果更加出色揭措，誤差也在減小

案例代碼見：一階非齊次微分方程的算法