題目：（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3
來源：該題目由?Vanessa同學(xué)? ?發(fā)表于:2016-06-11 16:09 樂問樂答
說明：咋一看要求缺失，不過根據(jù)老師的經(jīng)驗(yàn)睡雇，此題應(yīng)該是要因式分解而不是多項(xiàng)式展開偿枕。
摘要：這類形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3因式分解的題型看上去很難凭峡，當(dāng)年剛開始遇到這類題的時候也不會。好在，當(dāng)時通過教輔看過類似的例題霞掺，看懂之后就明白了這類題的思路以及要考察的知識點(diǎn)和技能點(diǎn)砸紊。接下來传于，程老師將盡量還原當(dāng)初學(xué)生的思維，一點(diǎn)一點(diǎn)引導(dǎo)出解題方法醉顽。最后再做個小小的總結(jié)和拓展沼溜，希望你能掌握此類方法，舉一反三游添。（這是培優(yōu)的題目系草，并不要求每個同學(xué)都會通熄。但是很多教輔、練習(xí)冊或考試附加題當(dāng)中有可能會遇到找都，會了總比不會好唇辨，對吧。）
觀察是思維的起點(diǎn)能耻，先觀察題型
我們先來觀察這個式子有什么特征赏枚？
（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3
從“外貌”上看，這個式子前半部分長得不錯晓猛，如果把最后的-3去掉饿幅，那就是“帥哥”了，有了-3就是“屌絲”一枚戒职。相信不只是我栗恩，你也能看到以下三點(diǎn)：
1.類似四個連續(xù)的自然數(shù)相乘的形式；
2.最后再減去了一個數(shù)
3.看上去原式差一點(diǎn)就因式分解完了洪燥，但是還要讓我因式分解/苦惱
然后磕秤，就看不出然后了。這三點(diǎn)相信大家都能看到捧韵，不過也正是這三點(diǎn)讓我們苦惱市咆，該如何下手。
不會做纫版，能不能先試試床绪？
我們做過這樣的題目，設(shè)最小的一個自然數(shù)是a其弊，那么連續(xù)的四個自然數(shù)就可以表示成a癞己，a+1，a+2梭伐，a+3痹雅。
假設(shè)a=0，那么（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=1*2*3*4-3=24-3=3（8-1）=3*7
假設(shè)a=1糊识，那么（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=2*3*4*5-3=120-3=3（40-1）=3*39
假設(shè)a=2绩社，那么（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=3*4*5*6-3=360-3=3（120-1）=3*119
......
好像有什么規(guī)律？
為了更好的發(fā)現(xiàn)規(guī)律赂苗，通常我們會寫成列表的形式：
a=0→3*7
a=1→3*39=9*13
a=2→3*119=17*21
根據(jù)前三個愉耙，你預(yù)測一下
a=3→ 不知道/囧
我只知道，分解之后的兩個因數(shù)之間差4（7-3=4拌滋，13-9=4朴沿，21-17=4）
我還知道，此題是可以因式分解的，只是我不知道怎么用含字母a的式子表示出來赌渣。
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學(xué)霸請繼續(xù)：
a=0→3*7=（0+3）（0+7）
a=1→3*39=9*13=（6+3）（6+7）=（1+5+3）（1+5+7）=（12+5*1+3）（12+5*1+7）
a=2→3*119=17*21=（14+3）（14+7）=（4+10+3）（4+10+7）=（22+5*2+3）（22+5*2+7）
（關(guān)于如何快速的找規(guī)律坚芜，以后會專題解析）
根據(jù)前三個览芳，你預(yù)測一下
a=3→（32+5*3+3）（32+5*3+7）
根據(jù)這個，可以猜想出因式分解的結(jié)果
（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=（a2+5a+3）（a2+5a+7）
根據(jù)十字相乘法的規(guī)則鸿竖，每個因式不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解了沧竟，分解完畢。
寫過程千贯，常規(guī)方法怎么做屯仗？
（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3
我們嘗試了代入數(shù)值找規(guī)律猜想的思路搞坝。接下來我們決定從代數(shù)式的特征上思考搔谴。
回顧一下這個代數(shù)式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，有印象吧（是很熟悉）桩撮，這是十字相乘法的基本公式敦第。接下來我們就是要用這個式子展開這個多項(xiàng)式。
第一步：先分組展開
（a+1）（a+4）=a2+5a+4
（a+2）（a+3）=a2+5a+6
為什么這么分組呢店量？因?yàn)檎归_之后都有a2+5a芜果，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)都相同。
第二步：換元法+十字相乘法
接下來我們?yōu)榱藭鴮懛奖闳谑ΓO(shè)a2+5a=x（換元）
原式=（a2+5a+4）（a2+5a+6）-3
=（x+4）（x+6）-3 …設(shè)a2+5a=x
=x2+10x+24-3 ? ? ? ? …繼續(xù)展開
=x2+10x+21 ? ? ? ? ? ?…合并常數(shù)項(xiàng)
=（x+3）（x+7） ? ?…十字相乘法因式分解
=（a2+5a+3）（a2+5a+7）…換回來x=a2+5a
結(jié)果都是因式乘積的形式，每個因式不能再因式分解，分解完畢诸蚕。
我們能總結(jié)哪些經(jīng)驗(yàn)冲泥？
1. 對形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3的多項(xiàng)式因式分解是可以的；（認(rèn)為不可以怀伦，那是因?yàn)槟悴粫?br>2. 對形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3的多項(xiàng)式因式分解是有方法的脆烟；（完全展開再分解，難度很大房待，所以要找方法）
3. 對形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3的多項(xiàng)式因式分解至少有兩種方法邢羔；（還有其它方法，再探索）
4. 基本思路是先展開桑孩，再合并拜鹤，中間用到了換元法和十字相乘法。
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不要光看了，動手試試轻猖，你真能做出來嗎帆吻？
哪題不會，下面留言咙边，有機(jī)會老師專題解析猜煮。
因式分解題型，你都掌握了败许？系統(tǒng)化學(xué)習(xí)根深葉茂
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