什么是線性變換抗碰？
假設(shè)有一數(shù)學(xué)函數(shù)
狮斗，使得三維向量)
,有%20%3D%20f(x%2C%20y%2C%20z)%20%3D%20(x'%2Cy'%2Cz'))
。那么弧蝇，如果滿足：
%20%3D%20f(%5Cvec%20u)%20%2B%20f(%5Cvec%20v))
%20%3D%20kf(%5Cvec%20v))
那么碳褒，稱為線性變換。
線性變換的矩陣表示
![\begin{align*} f(\vec v) &= f(x \vec i + y \vec j + z \vec k) \\ &= f(x \vec i) + f(y \vec j) + f(z \vec k) \\ &= xf(\vec i) + yf(\vec j) + zf(\vec k) \\ &= [x, y, z] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) \\ f(\vec j) \\ f(\vec k) \end{bmatrix} \end{align*}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Balign*%7D%20f(%5Cvec%20v)%20%26%3D%20f(x%20%5Cvec%20i%20%2B%20y%20%5Cvec%20j%20%2B%20z%20%5Cvec%20k)%20%5C%5C%20%26%3D%20f(x%20%5Cvec%20i)%20%2B%20f(y%20%5Cvec%20j)%20%2B%20f(z%20%5Cvec%20k)%20%5C%5C%20%26%3D%20xf(%5Cvec%20i)%20%2B%20yf(%5Cvec%20j)%20%2B%20zf(%5Cvec%20k)%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Bx%2C%20y%2C%20z%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20f(%5Cvec%20i)%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20j)%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20k)%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cend%7Balign*%7D)
縮放變換
易知看疗，縮放變換%20%3D%20S(x%2C%20y%2C%20z)%20%3D%20(s_x%20x%2C%20s_y%20y%2C%20s_z%20z))
沙峻。那么，我們嘗試證明一下它是線性變換：
%20%26%3D%20S(u_x%2Bv_x%2C%20u_y%2Bv_y%2C%20u_z%2Bv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20(s_x(u_x%2Bv_x)%2C%20s_y(u_y%2Bv_y)%2C%20s_z(u_z%2Bv_z))%20%5C%5C%20%26%3D%20(s_xu_x%20%2B%20s_xv_x%2C%20s_yu_y%20%2B%20s_yv_y%2C%20s_zu_z%20%2B%20s_zv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20(s_xu_x%2C%20s_yu_y%2C%20s_zu_z)%20%2B%20(s_xv_x%2C%20s_yv_y%2C%20s_zv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20S(%5Cvec%20u)%20%2B%20S(%5Cvec%20v)%20%5Cend%7Balign*%7D)
%20%26%3D%20S(kv_x%2C%20kv_y%2C%20kv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20(ks_xv_x%2C%20ks_yv_y%2C%20ks_zv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20k(s_xv_x%2C%20s_yv_y%2C%20s_zv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20kS(%5Cvec%20v)%20%5Cend%7Balign*%7D)
綜上两芳，我們證明了縮放變換是線性變換摔寨。由之前線性變換的矩陣表示，我們可以推導(dǎo)縮放變換的矩陣表示為
%20%5C%5C%20S(%5Cvec%20j)%20%5C%5C%20S(%5Cvec%20k)%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20s_x%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20s_y%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20s_z%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
旋轉(zhuǎn)變換
我們定義旋轉(zhuǎn)變換為將一個向量
繞任意軸
順時針旋轉(zhuǎn)
角度怖辆，如圖所示：
由圖可知是复，我們要求的就是將向量繞向量旋轉(zhuǎn)角度后得到的
删顶。首先，我們注意到在旋轉(zhuǎn)過程中淑廊，與旋轉(zhuǎn)軸平行的向量是不參與旋轉(zhuǎn)過程的逗余，只有與旋轉(zhuǎn)軸垂直的向量在真正旋轉(zhuǎn)。因此可以將向量分解為與平行的向量
和垂直的向量
季惩。即：
那么
其中录粱，平行向量是向量在旋轉(zhuǎn)軸上的投影。這里假定画拾，旋轉(zhuǎn)軸向量是歸一化過的关摇，即單位向量。由向量投影的定義碾阁，可得到
%20%5Cvec%20n)
進(jìn)而可得
%20%5Cvec%20n)
接下來，我們只要求得旋轉(zhuǎn)后的
即可些楣。注意到已知的脂凶，且這兩個向量都位于同一個圓的旋轉(zhuǎn)平面上，因此只要再得到一個垂直于的向量
愁茁，且向量與這兩個向量共面蚕钦，就可以通過旋轉(zhuǎn)角度算出向量了：
那么，怎樣的是滿足以上條件的呢鹅很？注意到向量的叉積的幾何意義：兩向量的叉積后得到的向量與這兩個向量是垂直的嘶居。所以，我們令
)
向量前面的系數(shù)是為了讓向量的模與相等促煮。這樣就求出了滿足條件的邮屁。特別地，由向量叉積的定義菠齿，可以將上式簡化為
)
由圖可知佑吝，
，而向量是單位向量绳匀，所以得到：
綜合以上若干等式芋忿，求出最終的為
%20%5Cvec%20n%20%2B%20(%5Cvec%20v%20-%20(%5Cvec%20v%20%5Ccdot%20%5Cvec%20n)%20%5Cvec%20n)cos%5Ctheta%20%2B%20(%5Cvec%20n%20%5Ctimes%20%5Cvec%20v)sin%5Ctheta)
回到線性變換的定義來，旋轉(zhuǎn)變換%20%3D%20R(x%2C%20y%2C%20z))
疾棵。將其代入上式戈钢，可以得到
%20%3D%20(r_%7B11%7Dx%20%2B%20r_%7B21%7Dy%20%2B%20r_%7B31%7Dz%2C%20r_%7B12%7Dx%20%2B%20r_%7B22%7Dy%20%2B%20r_%7B32%7Dz%2C%20r_%7B13%7Dx%20%2B%20r_%7B23%7Dy%20%2B%20r_%7B33%7Dz))
根據(jù)線性變換的定義，容易證明旋轉(zhuǎn)變換是一種線性變換是尔。那么殉了，旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示為：
%20%5C%5C%20R(%5Cvec%20j)%20%5C%5C%20R(%5Cvec%20k)%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20r_%7B11%7D%20%26%20r_%7B12%7D%20%26%20r_%7B13%7D%20%5C%5C%20r_%7B21%7D%20%26%20r_%7B22%7D%20%26%20r_%7B23%7D%20%5C%5C%20r_%7B31%7D%20%26%20r_%7B32%7D%20%26%20r_%7B33%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20c%20%2B%20(1%20-%20c)x%5E2%20%26%20(1-c)xy%20%2B%20sz%20%26%20(1-c)xz%20-%20sy%20%5C%5C%20(1-c)xy%20-%20sz%20%26%20c%2B(1-c)y%5E2%20%26%20(1-c)yz%20%2B%20sx%20%5C%5C%20(1-c)xz%20%2B%20sy%20%26%20(1-c)yz%20-%20sx%20%26%20c%2B(1-c)z%5E2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
其中，
分別為向量的三個分量拟枚。
