0x00 前言

在統(tǒng)計學(xué)中炕置，隨機(jī)變量就是指一個隨機(jī)的事件結(jié)果的取值X，比如一次拋硬幣隨機(jī)事件會出現(xiàn)兩種情況男韧，一個正面一個反面讹俊，或隨機(jī)拔下一根頭發(fā)的長度都是隨機(jī)變量。

概率呢煌抒，就是指一個隨機(jī)事件，在發(fā)生前都不能確定它的結(jié)果是什么厕倍，但是我們可以判斷每一種結(jié)果發(fā)生的可能性大小寡壮，這個數(shù)值就是概率。概率分類就是通過結(jié)果的概率確定方法不同來分類的讹弯，可以分為古典概率和條件概率况既。

古典概率的定義就是一次隨機(jī)事件它的結(jié)果種類可知，且它每種結(jié)果的概率都相等组民，所以古典事件每種結(jié)果出現(xiàn)的概率可以表示為：棒仍。條件概率即是事件A在事件B發(fā)生的前提下發(fā)生的概率，表示為：臭胜。

而概率分布就是隨機(jī)變量與其概率對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)莫其，根據(jù)數(shù)據(jù)（隨機(jī)變量）連續(xù)性的不同癞尚，可以分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，因此事件發(fā)生的結(jié)果對應(yīng)的概率分布也就分為離散型概率分布和連續(xù)型概率分布乱陡。

0x01 離散型概率分布

離散型概率分布的種類有很多浇揩，比較常見的有拋硬幣的結(jié)果與對應(yīng)概率形成的分布——伯努利分布（零一分布）、n重伯努利試驗形成的二項分布憨颠、二項分布的極限分布（n->∞和p->0）泊松分布胳徽、二項分布不放回抽樣版超幾何分布、二項分布第一次成功版幾何分布等爽彤。

1.伯努利分布（零一分布）

只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗對應(yīng)的概率分布养盗，如拋硬幣試驗。

它的概率質(zhì)量函數(shù)是：

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2.二項分布

重復(fù)n次相同的伯努利試驗形成的結(jié)果與對應(yīng)概率的分布适篙，像n次拋硬幣往核。

特點如下：

①每次試驗只有兩種結(jié)果，且兩個結(jié)果只會出現(xiàn)一次匙瘪。

②每次試驗都是獨立試驗铆铆，每次的試驗結(jié)果不受其他次試驗結(jié)果的影響。

③每次試驗前丹喻，如果成功的概率是p薄货，那么失敗的概率就是1-p。

那么進(jìn)行n次伯努利試驗碍论，成功x次的概率（二項分布的概率質(zhì)量函數(shù)）為：

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由公式可以看出二項分布的概率質(zhì)量函數(shù)是由試驗次數(shù)n和單次試驗成功的概率p決定的谅猾。

二項分布的均值為：

二項分布的方差為：

3.泊松分布

泊松分布考慮的是在連續(xù)時間或空間上發(fā)生隨機(jī)事件次數(shù)的概率。簡單點理解就是鳍悠，基于過去某個連續(xù)的時間或者空間內(nèi)發(fā)生的平均次數(shù)税娜，預(yù)測該隨機(jī)事件在未來同樣長的時間或空間內(nèi)發(fā)生n次的概率。

其概率質(zhì)量函數(shù)由二項分布推導(dǎo)藏研，假設(shè)某個時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)為敬矩，將這段時間n等分，那么隨機(jī)事件發(fā)生的概率就是蠢挡。如果n趨于無窮弧岳，那么概率就無限趨近于0，也就是說业踏，在每個等分中隨機(jī)事件想發(fā)生兩次或兩次以上是不可能的禽炬。根據(jù)以上假定條件，在這段時間內(nèi)勤家，該隨機(jī)事件發(fā)生k次的概率服從二項分布腹尖，則

泊松分布是關(guān)于歷史平均次數(shù)的函數(shù)，隨著歷史平均次數(shù)的不同伐脖，泊松分布的形態(tài)也將改變热幔。

泊松分布的均值和方差也可以通過二項分布的均值和方差進(jìn)行推導(dǎo)乐设，

均值：

方差：

4.超幾何分布

超幾何分布是指在有限總體中進(jìn)行無放回抽樣（總體數(shù)量不斷減少），每次試驗開始前概率都會發(fā)生變化断凶。

超幾何分布的概率質(zhì)量函數(shù)即為：

以上公式表示在有限總體N中伤提，符合要求的數(shù)值有m個，如果從總體中抽取n個认烁，有k個是符合要求個案的概率肿男。

表示從剩余N-m個個案中抽取n-k個個案的方法數(shù)目。

實際應(yīng)用中却嗡，只要數(shù)據(jù)總體的個案數(shù)目是樣本容量的10倍以上舶沛，即N>10n，就可以用二項分布近似描述超幾何分布

0x02 連續(xù)型隨機(jī)變量

1.指數(shù)分布

指數(shù)分布描述的是兩次隨機(jī)事件發(fā)生的時間間隔的概率分布情況窗价，這里的時間間隔指的是一次隨機(jī)事件發(fā)生到下一次隨機(jī)事件再發(fā)生的時間間隔如庭。放在二維坐標(biāo)內(nèi)理解，縱軸表示概率密度撼港，橫軸代表時間間隔長度坪它，因為時間間隔長度可以取任意連續(xù)的數(shù)值，所以指數(shù)分布是一種連續(xù)型的概率分布帝牡。常見應(yīng)用如往毡，某醫(yī)院平均每10分鐘出生一個嬰兒，求接下來5分鐘內(nèi)有嬰兒出生的概率靶溜。

指數(shù)分布與泊松分布互補(bǔ)开瞭。泊松分布能夠根據(jù)過去單位時間內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生次數(shù)，推斷未來相同的單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生不同次數(shù)的概率罩息。而指數(shù)分布的作用是根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生一次的平均等待時間來推斷某個時間內(nèi)嗤详，隨機(jī)事件發(fā)生的概率。

指數(shù)概率分布是連續(xù)型概率分布瓷炮，所以概率函數(shù)應(yīng)該是概率密度函數(shù)葱色，公式定義為：

x表示給定時間的長度，表示隨機(jī)事件發(fā)生一次的平均等待時間娘香，是的倒數(shù)冬筒，可解釋為單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。

2.均勻分布

均勻概率分布是古典概率分布的連續(xù)形式茅主，是指隨機(jī)事件的可能結(jié)果是連續(xù)型數(shù)據(jù)變量，所有的連續(xù)型數(shù)據(jù)結(jié)果所對應(yīng)的概率相等土榴。

如果將離散數(shù)據(jù)結(jié)果換成連續(xù)型數(shù)據(jù)結(jié)果的取值區(qū)域诀姚，并且所有的連續(xù)型數(shù)據(jù)結(jié)果發(fā)生的概率相等，則離散型的古典概率分布就轉(zhuǎn)換成為連續(xù)型的均勻概率分布玷禽。

3.正態(tài)分布

如果某個隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布赫段，它的均值（算術(shù)平均值）和標(biāo)準(zhǔn)差是決定正態(tài)分布的兩個參數(shù)呀打。均值表示數(shù)據(jù)集合的集中趨勢，而方差則表示數(shù)據(jù)集合的離散程度糯笙，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)就由均值和方差兩個自變量構(gòu)成:

表示均值贬丛；表示標(biāo)準(zhǔn)差。

正太分布的概率密度函數(shù)曲線呈鐘型给涕，因此也被稱為鐘形曲線（類似于寺廟里面的大鐘豺憔，因此而得名）。通常所說的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線就是指,標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布够庙。

概率密度函數(shù)

如上圖所示恭应，紅色曲線即為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。

正態(tài)分布中一些值得注意的地方：

1.概率密度函數(shù)關(guān)于平均值對稱

2.平均值與它的眾數(shù)以及中位數(shù)同一數(shù)值

3.函數(shù)曲線下68.3%的面積在平均數(shù)左右一個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)

4.95.4%的數(shù)據(jù)會落在平均數(shù)左右兩個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)

5.99.7%的數(shù)據(jù)會落在平均數(shù)左右三個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)耘眨，所以以上三條經(jīng)驗法則被形象地稱為六西格瑪法則

6.99.9%的數(shù)據(jù)會落在平均數(shù)左右四個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)

7.函數(shù)曲線的拐點為離平均數(shù)一個標(biāo)準(zhǔn)差的位置