選自有錢兔?
英國(guó)“取經(jīng)”中國(guó)數(shù)學(xué)課，這位斯坦福教授卻倡導(dǎo)要“向西走”
看點(diǎn)
以中國(guó)寞蚌、韓國(guó)為代表的亞洲國(guó)家田巴，在數(shù)學(xué)教育上偏重解題和練習(xí)，而英美國(guó)家的數(shù)學(xué)教育挟秤，更側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維壹哺。東西方不同的數(shù)學(xué)教育，哪一方更有優(yōu)勢(shì)艘刚？當(dāng)英國(guó)開(kāi)始引入中國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材時(shí)管宵，斯坦福數(shù)學(xué)教育家Jo Boaler卻倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教育還是該“向西走”。這位在英國(guó)擁有眾多家長(zhǎng)擁躉的名師接受外灘君專訪時(shí)說(shuō)昔脯，“數(shù)感”才是更重要的數(shù)學(xué)能力啄糙。強(qiáng)化練習(xí)和考試訓(xùn)練難以發(fā)展孩子的數(shù)感。
文 | 吳妍嬌 ?? 編輯 | 馬用雷
在數(shù)學(xué)教育方法上云稚，中國(guó)和英美國(guó)家呈現(xiàn)出兩種完全不同的路徑：中國(guó)孩子學(xué)數(shù)學(xué)重練習(xí)隧饼，更擅于計(jì)算、解題静陈；西方從小提倡培養(yǎng)孩子數(shù)感燕雁，但在課堂和解題的戰(zhàn)場(chǎng)上，往往遜色中國(guó)孩子鲸拥。
英國(guó)去年引入中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教材拐格，似乎正是對(duì)此差距的反思，也讓很多人感覺(jué)刑赶，這是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的勝利捏浊。但一位從事數(shù)學(xué)教育研究多年的斯坦福大學(xué)教授卻并不做如是想。
Jo Boaler目前是斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)教授撞叨，她先后出版過(guò)5本關(guān)于數(shù)學(xué)教育的書金踪，其中《教室里的大象》被許多數(shù)學(xué)教師奉為經(jīng)典之作。她在斯坦福大學(xué)開(kāi)設(shè)了MOOC（開(kāi)放式網(wǎng)絡(luò)課程）牵敷，教給教師和父母如何幫助孩子成為高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者胡岔。
此外，她還和她的團(tuán)隊(duì)一起創(chuàng)辦了一個(gè)數(shù)學(xué)教育網(wǎng)站Youcubed枷餐，為教師和父母免費(fèi)提供很多數(shù)學(xué)啟蒙教學(xué)的資源靶瘸，包括各種教學(xué)方法的探討、數(shù)學(xué)游戲和數(shù)學(xué)App等。目前Youcubed已擁有超過(guò)300萬(wàn)粉絲怨咪。有意思的是屋剑，這個(gè)網(wǎng)站訪問(wèn)量第二大的地區(qū)就是英國(guó)。英國(guó)的許多教師和父母仍是Jo Boaler教授的擁躉惊暴。
在她看來(lái)饼丘，如果說(shuō)英國(guó)此番引入中國(guó)教材是“向東走”的話，她則更倡導(dǎo)激發(fā)興趣和建立數(shù)學(xué)信心的“向西走”的學(xué)習(xí)方法辽话。
? 斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)教授Jo Boaler
Boaler教授本人最反對(duì)死記硬背式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法肄鸽，而且她長(zhǎng)期深耕于腦科學(xué)研究與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系，她一直堅(jiān)信油啤，根本沒(méi)有所謂“天生數(shù)學(xué)頭腦”這回事典徘。
數(shù)感很重要
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Jo Boaler教授是英國(guó)人，在她長(zhǎng)大的那個(gè)年代益咬，學(xué)校從未要求背加減法的得數(shù)逮诲，甚至連乘法口訣表都沒(méi)背過(guò)，但這并沒(méi)有妨礙她成為數(shù)學(xué)教育學(xué)教授幽告。
“看到8+4梅鹦，我會(huì)不假思索得出答案，但我是通過(guò)在各種情況下使用它冗锁，而不是通過(guò)強(qiáng)化練習(xí)和考試才記住的齐唆。”
雖然Boaler教授從來(lái)不刻意去記憶這些數(shù)學(xué)結(jié)論冻河，但這并不代表她對(duì)此毫不熟悉箍邮，事實(shí)上她真正的秘密武器是：數(shù)感。在她看來(lái)叨叙，這才是對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更為重要的數(shù)學(xué)能力锭弊。
那么什么是數(shù)感（number sense）？
它指的是能夠靈活地處理數(shù)字擂错，拆解問(wèn)題味滞，從不同角度看問(wèn)題。它“包括對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的掌握钮呀，和對(duì)數(shù)字及其相互關(guān)系的深層次理解”桃犬。
舉個(gè)例子，如計(jì)算17*9是多少行楞，沒(méi)有數(shù)感的人可能只會(huì)排個(gè)豎式單純地做算術(shù)，但是有數(shù)感的人則可能先計(jì)算出17*10再減去17土匀。雖然這是一個(gè)再簡(jiǎn)單不過(guò)的例子子房，但是卻足以顯示出數(shù)感的重要性。
“數(shù)感是所有更高階段數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。越強(qiáng)調(diào)死記硬背证杭，孩子就越不愿去思考數(shù)字和數(shù)字間的關(guān)系田度，因而難以發(fā)展出數(shù)感〗夥撸”一項(xiàng)1994年的研究表明镇饺，低能力學(xué)生從幼年起就開(kāi)始死記硬背數(shù)式得數(shù)，由此偏離了方向——他們失去了靈活運(yùn)用數(shù)字的能力送讲。這意味著奸笤，他們?cè)酵髮W(xué)數(shù)學(xué)，就越是困難哼鬓，而且可能終生都有數(shù)學(xué)障礙监右。
? 《數(shù)學(xué)思維定勢(shì)》
在Boaler教授的新書《數(shù)學(xué)思維定勢(shì)》（Mathematical Mindsets）一書中，她講到异希，社會(huì)傳統(tǒng)上看重這樣的一種學(xué)生健盒，他們的記性很好、算得很快称簿；而那些潛力相似扣癣，想得更深、但是計(jì)算得更慢憨降、更有創(chuàng)造力的學(xué)生則不太受重視父虑。在這樣的現(xiàn)實(shí)背景下，那些思考速度比較慢的學(xué)生會(huì)被數(shù)學(xué)嚇倒券册，因?yàn)樗麄儠?huì)把數(shù)學(xué)看成一個(gè)簡(jiǎn)單的频轿、只強(qiáng)調(diào)記憶事實(shí)與規(guī)則的學(xué)科，數(shù)學(xué)創(chuàng)傷與焦慮也隨之而來(lái)烁焙。
“數(shù)學(xué)創(chuàng)傷”的根源
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與大多數(shù)數(shù)學(xué)教育者不同的是航邢，Boaler教授長(zhǎng)期關(guān)注針對(duì)數(shù)學(xué)能力的腦科學(xué)研究。她曾寫過(guò)一篇論文骄蝇，題目是“沒(méi)有恐懼的嫻熟：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)結(jié)論最佳方式的研究證據(jù)”膳殷。里面提到，她曾經(jīng)接觸過(guò)許多有“數(shù)學(xué)創(chuàng)傷”的本科生九火，他們中很多是高能力學(xué)生赚窃。
是什么導(dǎo)致了他們對(duì)數(shù)學(xué)的厭惡？很多學(xué)生都說(shuō)起在小學(xué)二三年級(jí)時(shí)的限時(shí)數(shù)學(xué)考試岔激。這些考試讓他們感到自己不是學(xué)數(shù)學(xué)的料勒极，從此對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度發(fā)生重要轉(zhuǎn)折。
“學(xué)生從小就知道數(shù)學(xué)和其他學(xué)科不同虑鼎，數(shù)學(xué)有許多考試辱匿，而且考試?yán)镉性S多沒(méi)意思的問(wèn)題键痛。”她認(rèn)為匾七，高頻的測(cè)試絮短、程序化的教學(xué)和與日常生活脫鉤的、沒(méi)意思的問(wèn)題讓許多學(xué)生把數(shù)學(xué)看作一門“冷冰冰的昨忆、沒(méi)有生機(jī)的”丁频、與人無(wú)關(guān)的學(xué)科。
當(dāng)老師在課堂上熱衷于死記硬背得到的數(shù)學(xué)考試成績(jī)邑贴，會(huì)產(chǎn)生這樣的負(fù)面作用：至少1/3的學(xué)生在考試一開(kāi)始就感到焦慮席里。
2011年的一個(gè)大腦研究項(xiàng)目發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在緊張情況下（比如限時(shí)考試）痢缎，大腦記憶區(qū)域就會(huì)受阻胁勺，原本儲(chǔ)存在這個(gè)區(qū)域中的數(shù)學(xué)結(jié)論也就無(wú)法調(diào)出。
? 針對(duì)人心算能力的腦科學(xué)研究
當(dāng)他們?cè)跀?shù)學(xué)考試中表現(xiàn)不佳時(shí)独旷，他們的數(shù)學(xué)信心就降低了署穗。對(duì)于高能力學(xué)生和女生來(lái)說(shuō)，焦慮和大腦記憶區(qū)域受阻的情況更易發(fā)生嵌洼。而有時(shí)間限制的考試案疲，正是引發(fā)這種焦慮的最主要原因÷檠“我們真的不應(yīng)該把數(shù)學(xué)和速度聯(lián)系在一起褐啡，速度對(duì)所有孩子來(lái)說(shuō)，尤其是小孩子鳖昌，是非常有害的备畦。”
另外一方面许昨，限時(shí)數(shù)學(xué)考試會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生一種強(qiáng)烈的感覺(jué)懂盐，即快速得到答案才是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。但顯然這是個(gè)誤解糕档，數(shù)學(xué)的真正意義在于推理——找到解決問(wèn)題的合理方法莉恼，并討論各種不同的解決方法。Jo Boaler教授認(rèn)為速那，“數(shù)學(xué)結(jié)論只是數(shù)學(xué)中的一個(gè)很小的部分俐银，也是最無(wú)趣的一個(gè)部分《搜觯”
除了限時(shí)考試捶惜，學(xué)好數(shù)學(xué)需要天賦的觀點(diǎn)是造成這么多“數(shù)學(xué)虛無(wú)主義”、“數(shù)學(xué)不及格”和“數(shù)學(xué)創(chuàng)傷”的主要原因荔烧。一旦孩子形成“自己不是學(xué)數(shù)學(xué)的料”的想法售躁，他們的人生就步入下行軌跡坞淮，他們的職業(yè)選擇立刻大幅縮減。
我們是否一生下來(lái)就有所謂的數(shù)學(xué)天賦呢陪捷？可能答案是否定的。研究表明诺擅，雖然我們每個(gè)人生下來(lái)都不盡相同市袖，但是我們的大腦有數(shù)不清的機(jī)會(huì)去成長(zhǎng)和發(fā)展，即使是從0-3歲烁涌，每個(gè)人都會(huì)經(jīng)歷大量的大腦成長(zhǎng)過(guò)程苍碟。因此，根本沒(méi)有所謂“天生數(shù)學(xué)頭腦”這回事撮执。數(shù)學(xué)并不偏愛(ài)某一種人微峰，數(shù)學(xué)能力的高低，不因性別抒钱、人種等不同而存在天生的差異蜓肆。
“我并不是說(shuō)每個(gè)人的數(shù)學(xué)天賦上是一樣的，我想強(qiáng)調(diào)的是每個(gè)人的大腦都是處在不斷的成長(zhǎng)和變化中谋币，比如每個(gè)人都能在高中階段學(xué)類似微積分這樣的高等數(shù)學(xué)仗扬。”
Boaler教授也表示蕾额，在如今的英美國(guó)家早芭，很多老師和學(xué)生都普遍認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)需要所謂的天賦，學(xué)生從老師那里得到的都是負(fù)面的诅蝶、傷自尊的信息退个，而正是這種觀念讓他們?cè)赑ISA測(cè)試中很難取得高分。與之相反的是调炬，Boaler教授觀察到语盈，在中國(guó)，很少有老師會(huì)跟學(xué)生說(shuō)筐眷，你不是學(xué)數(shù)學(xué)的料黎烈，或是把學(xué)生分成三六九等區(qū)別對(duì)待。在她看來(lái)匀谣，中國(guó)的數(shù)學(xué)教育傳達(dá)了這樣一種信息：每個(gè)人都可以通過(guò)努力學(xué)好數(shù)學(xué)照棋。她認(rèn)為這種價(jià)值觀是非常必要的。
成長(zhǎng)性思維vs固定性思維
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和許多數(shù)學(xué)教育者一樣武翎，Boaler教授也認(rèn)為烈炭，犯錯(cuò)對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)無(wú)比重要”Χ瘢“腦科學(xué)告訴我們符隙，當(dāng)你犯錯(cuò)的時(shí)候趴捅，大腦成長(zhǎng)得最多∨撸”人的前腦有一部分稱為丘腦拱绑，在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的認(rèn)知刺激后，這部分可以明顯地增長(zhǎng)丽蝎。然而想要提高丘腦的活躍度猎拨，人要受到挑戰(zhàn)。人們?cè)诜稿e(cuò)的時(shí)候就會(huì)受到挑戰(zhàn)屠阻，而當(dāng)人們掙扎的時(shí)候红省，這就是大腦成長(zhǎng)的好時(shí)機(jī)。
“我們通常都希望孩子能夠嘗試超出他們舒適區(qū)一點(diǎn)點(diǎn)的數(shù)學(xué)題国觉，也許對(duì)他們來(lái)說(shuō)是比較難的題目吧恃，這樣在他們卡住的時(shí)候就會(huì)很努力地思考。但是麻诀，你必須告訴孩子被卡住其實(shí)是一件好事痕寓。”
Boaler教授說(shuō)针饥，在英美國(guó)家厂抽，當(dāng)孩子做數(shù)學(xué)題時(shí)感受到掙扎時(shí)，他們會(huì)很自然地認(rèn)為自己不是學(xué)數(shù)學(xué)的料丁眼，然后他們就放棄了筷凤。老師也是如此，當(dāng)他們看到孩子掙扎的時(shí)候苞七，也會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為這些孩子不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)藐守，然后也就不特別關(guān)注他們了。但實(shí)際上嘗試有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)題對(duì)大腦是極好的蹂风，最重要的是要讓孩子明白掙扎其實(shí)是好事卢厂。
那么為什么遇到難題時(shí)，有些孩子會(huì)選擇堅(jiān)持嘗試惠啄，而有些孩子會(huì)放棄呢慎恒？
Boaler教授曾追蹤過(guò)英美兩國(guó)幾千名學(xué)生的成長(zhǎng)歷程，觀察他們?cè)趯W(xué)校里如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)撵渡，直至成年后在工作中如何運(yùn)用數(shù)學(xué)融柬。在翔實(shí)可信的實(shí)證數(shù)據(jù)支撐下，2009年趋距，她完成了《教室里的大象》一書粒氧，她鼓勵(lì)一種成長(zhǎng)性思維，也就是說(shuō)讓孩子認(rèn)識(shí)到节腐，能力和智力是可以通過(guò)努力與日俱增的外盯。有了這種認(rèn)識(shí)論做武器摘盆，孩子們就能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)得更好，在遭遇挫折時(shí)饱苟，也更容易恢復(fù)元?dú)狻?/p>
? 《教室里的大象》
所謂“成長(zhǎng)性思維”（growth mindset）是指孩擂，相信頭腦是可塑的，智力或聰明是可以通過(guò)后天努力獲得的掷空，他們認(rèn)為自己可以學(xué)習(xí)任何東西肋殴。而與此相對(duì)的是，那些具有“固定思維”（fixed mindset）的學(xué)生則認(rèn)為自己智力有限坦弟，能學(xué)的東西也自然有限。他們傾向于在失敗或犯錯(cuò)時(shí)主動(dòng)放棄官地，認(rèn)為“我天生不是這塊料”酿傍。
針對(duì)犯錯(cuò)這件事，研究發(fā)現(xiàn)驱入，擁有成長(zhǎng)性思維的人認(rèn)為犯錯(cuò)是一件好事赤炒，這就解釋了為什么擁有這些人在生活和工作中表現(xiàn)更好，因?yàn)樗麄兿嘈抛约嚎鹘希@同時(shí)也改變了他們大腦運(yùn)作的方式莺褒。
“你對(duì)自己潛能的認(rèn)識(shí)實(shí)際上會(huì)影響你大腦的工作。在數(shù)學(xué)的語(yǔ)境里雪情，那些努力嘗試掙扎的學(xué)生遵岩，他們的大腦比那些遇到困難就覺(jué)得自己不行的學(xué)生，得到更多的成長(zhǎng)巡通〕局矗”
大腦需要“看到”數(shù)學(xué)
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基于這樣的研究，Boaler教授再三強(qiáng)調(diào)宴凉，老師給學(xué)生出數(shù)學(xué)題要具有開(kāi)放性誊锭，其中需有學(xué)習(xí)的空間∶殖“在我眼中丧靡，那些形成固化思維的封閉性問(wèn)題就是，只要求正確答案的題目籽暇。長(zhǎng)此以往温治，孩子就會(huì)覺(jué)得上數(shù)學(xué)課是一種表演，就是答對(duì)問(wèn)題图仓。而我們真正想要的是那些能讓孩子學(xué)到東西的題目罐盔。”
舉個(gè)例子救崔，求3*4長(zhǎng)方形的面積惶看，就是一道典型的封閉性數(shù)學(xué)題捏顺。然后學(xué)生會(huì)做個(gè)計(jì)算，然后給出答案纬黎》荆或者也可以這樣問(wèn)：面積為12的長(zhǎng)方形你能找到幾個(gè)？這樣一來(lái)本今，孩子需要去發(fā)現(xiàn)答案拆座，他們需要去找出長(zhǎng)度與寬度的各種可能性，會(huì)更有創(chuàng)造性冠息，這樣一來(lái)就很大程度地改變了原來(lái)的這個(gè)枯燥乏味的問(wèn)題挪凑。
? 不同學(xué)生解讀答案為90的計(jì)算組合的方法
這只是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，Boaler教授還會(huì)給孩子許多需要他們一起討論不同解法的問(wèn)題逛艰，甚至還需要涂涂畫畫躏碳，她尤其強(qiáng)調(diào)以視覺(jué)化的方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，包括使用手指散怖。這看似很小兒科菇绵，似乎是小孩子做算術(shù)的把戲，但事實(shí)上腦科學(xué)研究表明镇眷，手指對(duì)大腦的運(yùn)作有重要的影響咬最，如果你在處理數(shù)字的時(shí)候不能使用你的手指的話，那么數(shù)字則永遠(yuǎn)無(wú)法以正常的形式呈現(xiàn)給大腦欠动。這也解釋了為什么中國(guó)使用算盤來(lái)用于計(jì)算是非常有益的嘗試永乌，因?yàn)樗彩腔谑种傅臄?shù)學(xué)。
“當(dāng)學(xué)生能夠用眼睛看到數(shù)學(xué)翁垂，他們學(xué)習(xí)得更好铆遭。當(dāng)數(shù)學(xué)概念可視化后，他們能夠更好地理解沿猜。大腦需要‘看到’數(shù)學(xué)枚荣。”
數(shù)學(xué)是一門講究策略的學(xué)科啼肩，它鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法來(lái)解決問(wèn)題橄妆。但Boaler教授也表示，這并不代表老師一股腦地把所有解法都告訴學(xué)生就是一件好事祈坠『δ耄“我們希望看到的是學(xué)生想出自己的解題方法，而不是一上來(lái)就被告知有幾種不同的方法赦拘，然后去死記硬背慌随。” 因此在數(shù)學(xué)課上，給學(xué)生開(kāi)放性的問(wèn)題阁猜，讓他們想出自己獨(dú)特的解法丸逸，并且尊重每一種不同的解法，這才是真正學(xué)好數(shù)學(xué)的秘訣剃袍。
Jo Boaler給家長(zhǎng)們的建議：家長(zhǎng)可以這樣幫助孩子打敗“數(shù)學(xué)焦慮”
? 鼓勵(lì)孩子在家多玩數(shù)字游戲黄刚。因?yàn)閿?shù)學(xué)能力和對(duì)數(shù)學(xué)的熱情更有可能從游戲中激發(fā)出來(lái)，而不是在數(shù)學(xué)課堂上民效。數(shù)字迷宮或任何用到骰子的游戲都能幫助孩子享受數(shù)學(xué)憔维，發(fā)展其數(shù)字技能和邏輯思維。
? 當(dāng)孩子在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)畏邢，多鼓勵(lì)他們业扒。永遠(yuǎn)不要對(duì)孩子說(shuō)“你錯(cuò)了”，而是盡量從他們的答案中找到思維邏輯舒萎。比如蛔钙，當(dāng)孩子告訴你3×4=7時(shí)枝嘶，你要說(shuō)的是袁铐，我知道你是把它們相加了磺浙，但乘法的意思是我們有4組3莉给。
? 在數(shù)學(xué)中不要求快昆稿，速度和數(shù)學(xué)能力無(wú)關(guān)括堤。解題速度沒(méi)那么重要砖第，尤其是在低年級(jí)階段斟或。要知道逼迫孩子快速求解很容易增強(qiáng)孩子素征，特別是女孩數(shù)學(xué)焦慮感。
? 永遠(yuǎn)不要對(duì)孩子說(shuō)萝挤，你當(dāng)年在校時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)很差御毅，你討厭數(shù)學(xué)。如果你是一位母親怜珍，這一點(diǎn)更應(yīng)謹(jǐn)記端蛆。曾有研究發(fā)現(xiàn)，只要媽媽如此這般告訴女兒了酥泛，女兒的數(shù)學(xué)成績(jī)很快會(huì)下降今豆。
? 培養(yǎng)孩子的數(shù)感。在小學(xué)階段把孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)拉開(kāi)差距的就是數(shù)感柔袁，也就是對(duì)數(shù)字的大小有個(gè)概念呆躲，并能靈活地將其拆分組合。比如捶索，在做到29+56這道題時(shí)插掂，從56里拿出1來(lái)加到29上，會(huì)讓運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。靈活操縱數(shù)字即所謂的數(shù)感辅甥，這是可以培養(yǎng)的酝润。
? 最后，也可能是最最重要的肆氓，鼓勵(lì)一種成長(zhǎng)性思維袍祖，也就是說(shuō)讓孩子認(rèn)識(shí)到，能力和智力是可以通過(guò)努力與日俱增的.有了這種認(rèn)識(shí)論做武器谢揪，孩子們就能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)得更好蕉陋，在遭遇挫折時(shí)，也更容易恢復(fù)元?dú)狻?/p>
