如何通俗地解釋歐拉公式（e^πi+1=0）练般？

歐拉公式，被譽(yù)為上帝公式锈候， e薄料、 i 、 pi 泵琳、乘法單位元1摄职、加法單位元0誊役，這五個(gè)重要的數(shù)學(xué)元素全部被包含在內(nèi)，在數(shù)學(xué)愛好者眼里谷市，仿佛一行詩道盡了數(shù)學(xué)的美好蛔垢。

歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)域，建立和三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系迫悠，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”鹏漆。形式簡單，結(jié)果驚人及皂，歐拉本人都把這個(gè)公式刻在皇家科學(xué)院的大門上甫男，看來必須好好推敲一番。

1 復(fù)數(shù)

在進(jìn)入歐拉公式之前验烧，我們先看一些重要的復(fù)數(shù)概念板驳。

1.1 $i$ 的由來

$i=\sqrt{-1}$ ，這個(gè)就是 $i$ 的定義碍拆。虛數(shù)的出現(xiàn)若治，把實(shí)數(shù)數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)張，擴(kuò)張到了復(fù)平面感混。實(shí)數(shù)軸已經(jīng)被自然數(shù)端幼、整數(shù)、有理數(shù)弧满、無理數(shù)塞滿了婆跑，虛數(shù)只好向二維要空間了。

可是庭呜，這是最不能讓人接受的一次數(shù)系擴(kuò)張滑进，聽它的名字就感覺它是“虛”的：

從自然數(shù)擴(kuò)張到整數(shù)：增加的負(fù)數(shù)可以對應(yīng)“欠債、減少”

從整數(shù)擴(kuò)張到有理數(shù)：增加的分?jǐn)?shù)可以對應(yīng)“分割募谎、部分”

從有理數(shù)擴(kuò)張到實(shí)數(shù)：增加的無理數(shù)可以對應(yīng)“單位正方形的對角線的長度 $\sqrt{2}$ ”

從實(shí)數(shù)擴(kuò)張到復(fù)數(shù)：增加的虛數(shù)對應(yīng)什么扶关？

虛數(shù)似乎只是讓開方運(yùn)算在整個(gè)復(fù)數(shù)域封閉了（即復(fù)數(shù)開方運(yùn)算之后得到的仍然是復(fù)數(shù)）。

看起來我們沒有必要去理會(huì) $\sqrt{1}$ ? ?到底等于多少数冬，我們規(guī)定? $\sqrt{1}$ 沒有意義就可以了嘛节槐，就好像? $\frac{1}{0}$ 一樣。

我們來看一下拐纱，一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$ 的萬能公式：其根可以表示為： $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 铜异，其判別式? $\Delta =b^2-4ac$

$\Delta >0$ :有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

$\Delta =0$ :?有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

$\Delta <0$ ?:?有兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)根，其實(shí)規(guī)定為無意義就好了秸架，干嘛理會(huì)這種情況揍庄？

再看一下，一元三次方程? $ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)$ ?一元三次方程的解太復(fù)雜了咕宿，這里寫不下币绩，大家可以參考?維基百科?，但愿大家能夠打開府阀。

討論一下 $b=0$ ?缆镣，此時(shí)一元三次方程可以化為? $x^3+px+q=0$ ??，其根可表示為：

? ?? $\begin{cases} x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_3=\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} \end{cases}$

其中： $\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

判別式為： $\Delta =(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3$ 试浙，注意觀察解的形式董瞻， $\Delta$ 是被包含在根式里面的。

$\Delta>0$ ：有一個(gè)實(shí)數(shù)根和兩個(gè)復(fù)數(shù)根

$\Delta=0$ :? 有三個(gè)實(shí)數(shù)根田巴，當(dāng) $p=q=0$ ?時(shí)根為0钠糊，當(dāng) $p,q\neq 0$ ，三個(gè)根里面有兩個(gè)相等

$\Delta<0$ :?有三個(gè)不等的實(shí)根壹哺！懵了抄伍，要通過復(fù)數(shù)才能求得實(shí)根？

要想求解三次方程的根管宵，就繞不開復(fù)數(shù)了嗎截珍？后來雖然發(fā)現(xiàn)可以在判別式為負(fù)的時(shí)候通過三角函數(shù)計(jì)算得到實(shí)根，但是在當(dāng)時(shí)并不知道箩朴，所以開始思考復(fù)數(shù)到底是什么岗喉？

我們認(rèn)為虛數(shù)可有可無，虛數(shù)卻實(shí)力刷了存在感炸庞。虛數(shù)確實(shí)沒有現(xiàn)實(shí)的對應(yīng)物钱床，只在形式上被定義，但又必不可少埠居。數(shù)學(xué)界慢慢接受了復(fù)數(shù)的存在查牌，并且成為重要的分支。

1.2 復(fù)平面上的單位圓

在復(fù)平面上畫一個(gè)單位圓拐格，單位圓上的點(diǎn)可以用三角函數(shù)來表示：

可以動(dòng)手試試僧免，訪問??馬同學(xué)高等數(shù)學(xué)

Geogebra動(dòng)畫

1.3 復(fù)平面上乘法的幾何意義

這里也可以感受下互動(dòng)操作?如何通俗解釋歐拉公式?

2 歐拉公式

對于? $\theta \in \mathbb {R}$ ，有? $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$ ?

????????????????????????????????????????????????????????????——維基百科

歐拉公式在形式上很簡單捏浊，是怎么發(fā)現(xiàn)的呢懂衩？

2.1 歐拉公式與泰勒公式

關(guān)于泰勒公式可以參看這篇詳盡的科普文章：

如何通俗地解釋泰勒公式？?

歐拉最早是通過泰勒公式觀察出歐拉公式的：

$e^ x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$

將? $x=i\theta$ ?代入? $e$ ?可得： $\begin{align} e^{i\theta } & = 1 + i\theta + \frac{(i\theta )^2}{2!} + \frac{(i\theta )^3}{3!} + \frac{(i\theta )^4}{4!} + \frac{(i\theta )^5}{5!} + \frac{(i\theta )^6}{6!} + \frac{(i\theta )^7}{7!} + \frac{(i\theta )^8}{8!} + \cdots \\ & = 1 + i\theta - \frac{\theta ^2}{2!} - \frac{i\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^4}{4!} + \frac{i\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^6}{6!} - \frac{i\theta ^7}{7!} + \frac{\theta ^8}{8!} + \cdots \\ & = \left( 1 - \frac{\theta ^2}{2!} + \frac{\theta ^4}{4!} - \frac{\theta ^6}{6!} + \frac{\theta ^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta -\frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^7}{7!} + \cdots \right) \\ & = \cos \theta + i\sin \theta \end{align}$

那歐拉公式怎么可以有一個(gè)直觀的理解呢金踪？

2.2 對同一個(gè)點(diǎn)不同的描述方式

我們可以把 $e^{i\theta }$ 看作通過單位圓的圓周運(yùn)動(dòng)來描述單位圓上的點(diǎn)浊洞， $cos\theta +isin\theta$ ?通過復(fù)平面的坐標(biāo)來描述單位圓上的點(diǎn)，是同一個(gè)點(diǎn)不同的描述方式胡岔，所以有? $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$ 法希。

2.3 為什么 $e^{i\theta }$ 是圓周運(yùn)動(dòng)？

定義 $e$ 為： $\displaystyle e=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n$ ?——維基百科

這是實(shí)數(shù)域上的定義靶瘸，可以推廣到復(fù)數(shù)域? $\displaystyle e^ i=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{i}{n})^ n$ ?根據(jù)之前對復(fù)數(shù)乘法的描述苫亦，乘上 $(1+\frac{i}{n})$ 是進(jìn)行伸縮和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)毛肋，? $n$ ?取值不同，伸縮和旋轉(zhuǎn)的幅度不同屋剑。

我們來看看 $e^ i=e^{i\times 1}$ ?如何在圓周上完成1弧度的圓周運(yùn)動(dòng)的：

從圖上可以退出? $n\to \infty$ ?時(shí)： $e^ i$ 在單位圓上轉(zhuǎn)動(dòng)了1弧度润匙。

再來看看? $e^{i\pi }$ ?這個(gè)應(yīng)該是在單位圓上轉(zhuǎn)動(dòng)? $\pi$ 弧度。

看來? $e^{i\theta }$ ?確實(shí)是單位圓周上的圓周運(yùn)動(dòng)唉匾。

動(dòng)手來看看? $e^{i\theta }$ 是如何運(yùn)動(dòng)的吧：互動(dòng)操作訪問馬同學(xué)

2.4? $2^i$ 的幾何含義是什么孕讳？

$2^i$ 看不出來有什么幾何含義，不過我們稍微做個(gè)變換 $e^{iln2}$ ,幾何含義還是挺明顯的巍膘，沿圓周運(yùn)動(dòng)? $ln2$ ?弧度厂财。

2.5 歐拉公式與三角函數(shù)

根據(jù)歐拉公式? $e^{i\theta } = \cos \theta +i\sin \theta$ ?，可以輕易推出：

$\sin \theta ={\frac{e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}{2i}}$ ?和? $\cos \theta ={\frac{e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }}}{2}}$ ?峡懈。三角函數(shù)定義域被擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)域璃饱。

把復(fù)數(shù)當(dāng)作向量來看待，復(fù)數(shù)的實(shí)部是 $x$ ?方向肪康，虛部是 $y$ 方向帜平，很容易觀察出其幾何意義。

2.6 歐拉恒等式

當(dāng) $\theta =\pi$ ,的時(shí)候梅鹦，代入歐拉公式：

$e^{i\pi }=cos\pi +isin\pi =-1\implies e^{i\pi }+1=0$

$e^{i\pi }+1=0$ 就是歐拉恒等式裆甩，被譽(yù)為上帝公式， $e齐唆、\pi嗤栓、i$ ?乘法單位元1、加法單位元0箍邮，這五個(gè)重要的數(shù)學(xué)元素全部被包含在內(nèi)茉帅，在數(shù)學(xué)愛好者眼里，仿佛一行詩道盡了數(shù)學(xué)的美好锭弊。

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@馬同學(xué)高等數(shù)學(xué)

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