#《哥德尓攻锰、艾舍爾、巴赫》EGB 道格拉斯 霍夫斯塔特

開智正典對這本書的導(dǎo)言是：

這是一部天書妓雾，在數(shù)學(xué)娶吞，繪畫，音樂和故事中暢游械姻，卻在探討哲學(xué)中最深刻的問題妒蛇，意識和靈魂如何產(chǎn)生，從哲學(xué)角度探討人工智能和人類智能。當(dāng)你看完書后绣夺，也許你具體記不得太多細節(jié)吏奸，但是不經(jīng)意間你會發(fā)現(xiàn)它已經(jīng)深深地影響了你的世界觀。

作為鎮(zhèn)群書乐导，作為百部之首苦丁，朋友都說它艱深，于是不敢涉獵。在圖書館偶遇（真的是偶遇！）沧侥，拿起來隨意翻了翻野宜，看到一段關(guān)于書本名字的翻譯趣事（集異璧，異集璧倒淫，以及副標題「一條永恒的金帶」由來），突然覺得此作太可愛〕磷溃縱然對數(shù)學(xué)，音樂算吩，繪畫知之甚少留凭，縱然書厚得堪比牛津大辭典，我還是把它背回去了偎巢。

相遇很奇妙以外蔼夜，哼哧哼哧看了35頁，才發(fā)現(xiàn)只看了個導(dǎo)言= =每章前面有希臘神話主角的小故事對話压昼，看似無厘頭求冷，實則滿滿隱喻。由幾條簡單定理法則窍霞，「如果匠题，那么」的嚴密推導(dǎo)，竟然誕生出四則運算法則但金，實在神奇韭山。然后漸漸通過繪畫的對比和循環(huán)，巴赫音樂章節(jié)的循環(huán)冷溃，引申到數(shù)學(xué)上掠哥，以一種你絕對想不到的深入淺出方式（經(jīng)常會心中暗自「哇噢」一聲，原來以前學(xué)的某數(shù)學(xué)概念是這個意思）秃诵，揭示人工智能的奧秘续搀。若是早些年遇到它，不知道我的數(shù)學(xué)會不會逆襲菠净？

##導(dǎo)言

"怪圈"現(xiàn)象禁舷，就是當(dāng)我們向上（或向下）穿過某種層次系統(tǒng)中德一些層次時彪杉，會意外地發(fā)現(xiàn)我們正好回到了我們開始德地方。（纏結(jié)的層次結(jié)構(gòu)）

艾舍爾的畫——《上升與下降》《瀑布》《畫手》

循環(huán)不就是一種以有窮的方式表示無休止過程的方法嗎牵咙？

艾皮曼尼蒂斯悖論（說謊者悖論）——艾皮曼尼蒂斯是一個克里特島人派近，他說過一句不朽的話；"所有克里特島人都是說謊者洁桌。"（＝"我在說謊"或"本句子是假的渴丸。"）

大多數(shù)集合是"普通的"。然而另凌，有些自吞的合集確實包括其自身作為該合集的元素谱轨。（沒懂＝ ＝）

想消除一般悖論的人，就必須有一些類似的"分層法"來禁止語言中的循環(huán)吠谢。每一個句子都明確屬于層次結(jié)構(gòu)中的某一層土童。

我們采取的補救悖論的辦法——把任何形式的 自指 全部驅(qū)除。

非智能行為和智能行為之間的界限在哪里工坊？智能的基本能力：對于情境有很靈活的反應(yīng)献汗；充分利用機遇；弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息王污；認識到一個情境中什么是重要的因素罢吃，什么是次要的；在存在差異的情景之間能發(fā)現(xiàn)他們的相似處昭齐；從那些由相似之處聯(lián)系在一起的事物中找到差別刃麸；用舊的概念綜合出新的概念，把他們用新的方法組合起來司浪；提出全新的觀念。

本書的一個主要目的就是鼓勵每一個讀者把沼，直截了當(dāng)?shù)孛鎸@個表面上看來是矛盾的東西啊易，嘗一嘗它的滋味，擺弄擺弄饮睬，拆開來看看租谈，沉浸其中，以使讀者最終得以重新認識存在于形式化的和非形式化的捆愁，由生命的和無生命的割去，靈活的和不靈活的事物之間的那些表面上看來不可逾越的鴻溝。（這便是人工智能所要研究的全部昼丑。）

智能的靈活性來自大量的不同規(guī)模和規(guī)則的層次呻逆。

「看了35頁，發(fā)現(xiàn)僅僅看了個作者的導(dǎo)言0 0」

－－－－－－－－－－－－－－－－－－

"風(fēng)幡非動菩帝，心自動耳咖城。"

愛麗亞城的希臘哲學(xué)家（那城位于A點與B點中間的地方）

"運動從本質(zhì)上使不可能的茬腿。"＝"二分悖論"

"運動無有"——芝諾定理

－－－－－－－－－－－－－－－－－－

##第一章 WU謎題

形式系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)外宜雀，跳出系統(tǒng)

在系統(tǒng)之內(nèi)進行工作切平，同時思考他正在做什么。

WJU系統(tǒng)——機方式（J方式）辐董，惟方式（W方式）悴品，無方式（U方式）

判定規(guī)則（加長的規(guī)則和縮短的規(guī)則）

二部創(chuàng)意曲

歐幾里德第一命題 中的小小片段

A）同等于一物的彼此亦相等。

B）這個三角形的兩條邊同等于一物简烘。

C）這個三角形的兩條邊彼此相等苔严。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

##第二章 數(shù)學(xué)中的意義與形式

好了，來講一下pq系統(tǒng)夸研。（坐標：第二章 數(shù)學(xué)中的意義與形式）

它是一種形式系統(tǒng)邦蜜，有三個符號：字母p、字母q亥至、和短杠－悼沈。

pq系統(tǒng)有無窮多條公理，列不完姐扮，所以下了個定義：只要x僅由一串短杠組成絮供，那么x-qxp-就是一條公理。

諸如：---q--p-茶敏，----q--p-- ?壤靶，

形式上發(fā)現(xiàn)pq定理很像加法，于是判定變成q前面的短杠是否等于后面兩個相加惊搏。（作者有意選q=equal贮乳，p=plus）

pq系統(tǒng)與加法之間出現(xiàn)了同構(gòu)。于是pq系統(tǒng)有了新的意義恬惯。

若是q是馬向拆，p是幸福，-是蘋果酪耳，于是-q-p--有新的解釋「蘋果馬蘋果幸福蘋果蘋果」浓恳，此類解釋沒「意義」。

第三章在pq系統(tǒng)的公理外又加了一條公理：若x是一個短杠串碗暗，則xqxp-是一個公理颈将。

則—q—p-在新系統(tǒng)中也是一個定理。按原來解釋為「2=2+1」這不符合外部世界言疗。（不合邏輯）

新系統(tǒng)內(nèi)部世界也有問題晴圾，比如--q-p-（舊公理）和-q-p-（新公理），解釋不通噪奄。

作者指出這是故意在正兒八經(jīng)的亂論證疑务，新的pq系統(tǒng)需要新的同構(gòu)意義沾凄，比如q解釋為「小于等于」。于是原來的公理們「2<=1+1」,「1<=1+1」都成立啦知允。

（艾瑪不知道解釋清楚沒有啊撒蟀，大致由公理推定理，符號的形式系統(tǒng)通過同構(gòu)解釋有了實際意義温鸽，但是選擇什么意義很重要）

一個形式系統(tǒng)：pq系統(tǒng)—— p保屯，q，－

把問題"歸約"為去確定幾個新的涤垫、但是較短的符號串是否都是定理姑尺。

當(dāng)一步步地回溯時，就一定會距離一切定理的源泉——公理模式越來越近蝠猬。（自頂而下）

###同構(gòu)產(chǎn)生意義

同構(gòu)定義：保存信息的變換

適應(yīng)情景：兩個復(fù)雜結(jié)構(gòu)可以相互映射切蟋，并且每一個結(jié)構(gòu)的每一部分在另一個結(jié)構(gòu)中都有一個相應(yīng)的部分。

對于一個一無所知的形式系統(tǒng)榆芦，隱秘的含義在于如何給它的符號賦予一種有意義的解釋——也就是柄粹，通過某種方式，使得在真陳述和定理之間出現(xiàn)一個高層次的對應(yīng)匆绣。

定理和真理時相對應(yīng)的——同構(gòu)存在于定理與現(xiàn)實的某一部分中驻右。

現(xiàn)實和形式系統(tǒng)是相互獨立的。

pq系統(tǒng)呈現(xiàn)了加法作為一種操作的性質(zhì)崎淳。

現(xiàn)實世界的一切都可以變?yōu)?形式系統(tǒng) 堪夭。（所以偉大的計算機誕生了！）

當(dāng)規(guī)則支配的符號與真實世界中的事務(wù)之間有個同構(gòu)時拣凹，意義——至少在形式系統(tǒng)這種相對簡單的語境里——時如何實現(xiàn)的森爽。一般來說，這個同構(gòu)越復(fù)雜嚣镜，為從符號中抽取意義所需的‘設(shè)備’——硬的和軟的——就越多爬迟。

###歐幾里德

古老的："有無窮多個素數(shù)。"沒有一個計數(shù)過程能過證實或推翻祈惶。只能數(shù)一會兒，承認確實"有不少"素數(shù)扮匠。但結(jié)果都無法確定素數(shù)的個數(shù)是有窮的還是無窮的捧请。總是數(shù)不完棒搜≌铗龋——這個陳述被稱作"**歐幾里德定理**"——看上去合理的和令人信服的，但不是顯然的力麸。

歐幾里德的證明——由1,2,3**推廣**到N可款。（真正的數(shù)學(xué)：簡潔育韩、優(yōu)美且令人信服）

證明——每一個陳述都以一種不可抗拒的方式與前一個陳述有聯(lián)系。

正確的繞過無窮："所有的N"

#W0103《哥德尓闺鲸、艾舍爾筋讨、巴赫》第三章 圖形與襯底

第三章講圖形與襯底，圖案中的正空間與負空間摸恍，可以形成倍流暢的圖悉罕，即不論是圖形還是襯底，都是完備流暢的圖形立镶，這點在埃舍爾的畫中十分明顯壁袄。

與此同時，音樂中的圖形與襯底——即旋律與伴奏媚媒，很難區(qū)分嗜逻，這種情況也稱之為倍流暢，比如巴赫的音樂缭召。

對應(yīng)到數(shù)學(xué)領(lǐng)域栈顷，遞歸可枚舉，成為了數(shù)學(xué)中「流暢可畫出」的表現(xiàn)形式恼琼。

至此妨蛹，書名的《哥德尓、艾舍爾晴竞、巴赫》中的兩位都現(xiàn)身了蛙卤。（哥德爾定理雖然也出現(xiàn)了，我還不知道是什么鬼= =作者說后幾章會講噩死。）也隱約感受出作者的博大精深颤难，三位看似沒有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)家，畫家已维，和音樂家行嗤，在作者的解說下具有了共同性，建構(gòu)了一種新的認識世界的方式垛耳。掌握在不同領(lǐng)域間意義轉(zhuǎn)換的方式栅屏，大概也就逐步靠近計算機理解和表現(xiàn)人類思維的方式，于是人工智能初顯堂鲜。

第三章摘錄部分：

圖形和襯底——正空間與負空間

倍流暢——前景與背景都是流暢畫出的栈雳。 ?e.g.埃舍爾的圖

音樂中的圖形與襯底——旋律和伴奏。 ?e.g. 巴赫的音樂 （也是倍流暢的缔莲。）

形式系統(tǒng)

遞歸可枚舉（縮寫 r.e.）——數(shù)學(xué)中的流暢可畫出

#W0104《哥德尓哥纫、艾舍爾、巴赫》

第四章 一致性痴奏、完全性與幾何學(xué)

依舊開始于烏龜和阿基里斯的對話蛀骇，一個關(guān)于一臺優(yōu)秀的唱機能不能播放所有唱片的爭論厌秒，長達10頁的對話。一臺唱機不能播放所有的唱片擅憔，總有一種唱片的聲音震動會引起唱機的共振鸵闪，進而摧毀它自身。唱片紋路與空氣震顫之間的同構(gòu)雕欺；以及任意的空氣震顫與唱機震顫之間的同構(gòu)岛马。唱機劃過唱片意味著紋路帶來空氣震動，產(chǎn)生聲音屠列，聲音產(chǎn)生震動啦逆，反作用于唱機，最后摧毀笛洛。

看完了夏志？還沒完，再看一遍苛让，每個對話的開頭第一個字是加粗的沟蔑，連起來是：赫赫有名的德國作曲家給了我侯世達靈感……在此刻我借用他的對位技巧寫下一個對話并嵌進他的名字以表示對他卓越才能由衷的景仰，大家也許都記得他曾把他的名字寫進一首賦格曲的尾巴狱杰。

這個人就是巴赫啦瘦材，在賦格曲的最后將B－A－C－H化作對應(yīng)音符完美融入。具體描述有點長仿畸，在此掠過食棕。

烏龜說沒有一個足夠強有力的唱機會在下述意義上時完備的：它能重現(xiàn)唱片上所有可能的聲音。哥德爾說沒有一個足夠強有力的形式系統(tǒng)會在下述意義上是完備的：能夠把每一個真陳述都作為定理而重現(xiàn)在該系統(tǒng)中错沽。

同構(gòu)性造成了意義的顯現(xiàn)簿晓。第一章的pq系統(tǒng)。公理模式：若x是一個短杠串千埃，則xqxp－是一個公理憔儿。則--q--p-在新系統(tǒng)中也是一個定理。解釋為「2=2+1」放可，這和外部系統(tǒng)我們的常識不一致谒臼。q若是替換成別的，比如「小于等于」耀里，此時又實現(xiàn)了「2<=2+1」,符合外部系統(tǒng)蜈缤。

這種用語言來解釋符號，成為了十九世紀最深刻的教訓(xùn)之一备韧，來自歐幾里得的《幾何原理》劫樟，由五條公設(shè)推出整個幾何大廈痪枫。

然后討論非歐幾里得幾何和研究未定義項织堂。通過一致性把符號替換成各種現(xiàn)實意義叠艳，探究合理與否。

之后是視知覺的穩(wěn)定性層次易阳「浇希看似合理結(jié)構(gòu)的畫（如下面這幅埃舍爾的作品），現(xiàn)實中卻是不合理的潦俺。引申到數(shù)學(xué)中形式化得數(shù)論是不完全的拒课。

總之，這書信息量太大事示，讀起來累早像，寫感想更加累，實在做不到面面俱到肖爵，細節(jié)真的只能跟著作者思路慢慢推導(dǎo)才行嚶嚶嚶卢鹦。

第四章摘錄部分：

隱含意義與顯明意義

對人類語言進行理解的符號操作過程，比典型的形式系統(tǒng)中的符號操作要復(fù)雜得多劝堪。

哥德爾定理背后的原理形象化表現(xiàn)：兩個映射背靠背具有了出乎意料的飛來去器效果冀自。第一個映射時從紋道模式到聲音，由一個唱機實現(xiàn)秒啦。第二個——很平常熬粗，但卻常常被忽視——是從聲音到唱機的震顫。注意第二個映射獨立于第一個映射而存在余境，因為附近的任何聲音——不僅時唱機自己產(chǎn)生的聲音——都會引起這種震顫驻呐。哥德爾定理專屬在這里就是，對任何一個唱機葛超，都有它不能播放的唱片暴氏，因為后者會導(dǎo)致前者的間接自摧毀。

形式系統(tǒng)中绣张，意義由同構(gòu)來傳遞答渔。

《對位藏頭詩》與 哥德爾定理之間的映射

倒戈的高腳杯與唱片

歐幾里德《幾何原理》歷史：用5條公設(shè)作為幾何學(xué)大廈的「地基」。

非歐幾何學(xué)侥涵。

我們可以用術(shù)語「一致性」來概括到目前為止我們的觀察沼撕。我們的討論開始于虛構(gòu)一個顯得不一致的形式系統(tǒng)——內(nèi)部不一致，同樣與外部世界也不一致芜飘。但過了一會我們就撤回了這種說法务豺，我們意識到了我們的錯誤，我們?yōu)榉栠x擇了不幸的解釋嗦明。改換了解釋后笼沥，我們重新獲得了一致性！

邏輯一致性，物理一致性奔浅，數(shù)學(xué)一致性馆纳，生物一致性等等。

但是在那樣的世界里生物學(xué)汹桦、物理學(xué)鲁驶、數(shù)學(xué)甚至邏輯的法則會喜愛一個層次上被無誒被而同時在另一個層次上被遵循，使之成為一個及其古怪的世界舞骆。e.g.埃舍爾《瀑布》

#W0105《哥德尓钥弯、艾舍爾、巴赫》

和聲小迷宮依舊是一段烏龜和阿基里斯的對話故事督禽，飽含嵌套脆霎，一層又一層，如盜夢空間狈惫。想實現(xiàn)一個「我的愿望是有100個愿望」的元愿望（小時候都這么想過Ｐ髂隆！Ｊ瘛）進入埃舍爾的畫中玖院，讀故事里的故事書，主角是讀書人第岖。在和聲小迷宮里（其實是巴赫的唱片里）找到終結(jié)點难菌。似乎終于逃脫了險境，然而其實他們的真身在飛機上等待被宰蔑滓。（作者貼心的將對話進行縮進郊酒，提示讀者又進入下一層嵌套了。）

一邊讀一邊記下了些關(guān)鍵名詞键袱，文字復(fù)述一遍工作量太大燎窘，倒是就著這份故事詞表，是見面蹄咖，我能把故事再講一遍給你聽褐健。（后附故事結(jié)構(gòu)示意圖）

##和聲小迷宮 關(guān)鍵詞表

游樂場，大風(fēng)車澜汤，飛機蚜迅，《神怪與煮調(diào)飲》

推入露，埃舍爾的畫《凹與凸》俊抵，神燈谁不，三個愿望

100個愿望，無類型愿望徽诲，元愿望刹帕，元元愿望

元燈吵血，元怪物

元元燈，元元怪物

……

造物神

……

元怪物,批準

怪物偷溺，批準

造物神——造物神物色 的神怪 （遞歸的詞首組合）位于他or她之上的一組神怪践瓷，有無窮多個

我希望我的愿望不被實現(xiàn)，系統(tǒng)坍塌

下一層亡蓉，《烏龜和阿基里斯在全球各地轉(zhuǎn)悠時的歷險》

可怕大雕占據(jù)的和聲小迷宮

手杖蹭墻，發(fā)出音樂聲

中心大吃彈出鍋酥喷舀，逃出到上一層

蜥蜴砍濒，沿著畫的直角出逃

第五章 遞歸結(jié)構(gòu)和遞歸過程

遞歸就是嵌套。

日常生活中的打電話硫麻，占線爸邢，轉(zhuǎn)接，新電話接入拿愧，暫停當(dāng)下電話杠河，接入新電話，就是一種遞歸浇辜。

推入券敌、彈出和堆棧（人工智能早期IPL語言的一部分）

堆棧用于記錄在某一層的那里暫停，下次再接上柳洋。

接下來講了音樂中的堆棧和語言中的遞歸待诅。（我選擇性略過了，恩= =）

程序設(shè)計與遞歸：模塊性熊镣、循環(huán)卑雁、過程。

看到這里終于親切了起來绪囱，感謝之前Python班的一點點底子测蹲。

編寫計算機程序，將任務(wù)分解成子任務(wù)——模塊性概念鬼吵。

依次執(zhí)行某些操作需要都列出來嗎扣甲？不用，寫一個循環(huán)齿椅，滿足某種條件時跳出文捶。

弈棋程序——最好的一步棋，意味著對一方最好媒咳，一方最壞粹排。

所以最佳程序運轉(zhuǎn)方式是：走一步，然后從對手的角度調(diào)用自己涩澡。這樣做的同時它走了一步顽耳，再從它對手——也就是自己的角度調(diào)用自己。

文中說道在國際象棋早期，人和機器對弈射富，還是人高明的多膝迎，有人推測十年后計算機能打敗人，然而現(xiàn)在看來估計還要十年胰耗。例證了一個遞歸化定律——侯世達定律：做事所花費的時間總是比你語氣的要長限次，即使你的預(yù)期中考慮了侯世達定律。

然而柴灯，剛剛結(jié)束的“阿爾法圍棋”（AlphaGo）萬眾矚目卖漫。查到最早一版GEB是1979年的，距今已經(jīng)三十多年過去了赠群。人類歷史上羊始，圍棋AI第一次在公平比賽中戰(zhàn)勝職業(yè)選手。

#W0302? 《哥德尓查描、艾舍爾突委、巴赫》

第六章 意義位于何處

信息攜帶者與信息揭示者

遺傳型與表現(xiàn)型

人把意義賦予了材料，還是意義本來就在那里冬三。后者匀油。

意義多大程度上以可以預(yù)測的方式作用于智能，它就在此程度上是對象的一部分勾笆。

任何消息都分為三層：1）框架消息——確認一種解碼機制钧唐；2)外在消息——建造或知道如何建造能正確解釋內(nèi)在消息的解碼機制；3）內(nèi)在消息——預(yù)定要傳達的信息匠襟，遺傳學(xué)中的表現(xiàn)型

『遺傳信息一定是存儲「非晶體性晶體結(jié)構(gòu)」中钝侠。』歐文·薛定諤《生命是什么酸舍？》帅韧，書籍本身就是規(guī)整的幾何形狀中非周期性晶體結(jié)構(gòu)。

回到本章開始的問題啃勉，意義位于何處忽舟？在烏龜和阿基里斯的對話中，他們對餅干中的字條產(chǎn)生了不同的理解——不同的解碼淮阐。但即便一開始沒吃到叮阅，之后打開字條還是會解讀出同樣的信息，于是我們認為意義本來就在那里泣特，而非人賦予浩姥。

在海灘邊撿到一個帶紙條的瓶子，首先框架信息會確認這是一種人造的信息攜帶者状您，打開紙條發(fā)現(xiàn)上面的字型寫的是日文勒叠，這是一種外在信息兜挨。然而卻不具有日文閱讀能力，對于紙條的內(nèi)部消息眯分，本來想要傳遞的內(nèi)容還是未解之謎拌汇。

人類往太空發(fā)射了一枚金屬唱片，相信外星人會捕獲弊决，規(guī)則的幾何形狀暗示它攜帶信息噪舀，至于外星人能不能正確解碼，只是一個時間問題飘诗。因為与倡，意義本來就在那里。

#W0403《GEB》第七章 命題演算

一種新的形式系統(tǒng)——命題演算疚察。規(guī)則：如果x和y都是系統(tǒng)的定理，那么串也是系統(tǒng)的定理仇奶。定義所有串的一個子集——「良構(gòu)串」的集合貌嫡。（采用遞歸方式定義）

特別的在于，這個系統(tǒng)沒有公理——只有規(guī)則该溯。所以作者稱他為「幻想規(guī)則」岛抄，假如x是一個定理，那么y就會是一個定理狈茉。而真正的定理在于夫椭。

在已知語句后推斷一個「→ 」串的「子句」，前提是串本身和子句都是定理氯庆〔淝铮——這叫做 「演繹定理」（Modus Ponens）

之后用符號的預(yù)期解釋（包括特別多規(guī)則），可以講有意義的句子代入堤撵，如「心是佛」仁讨。經(jīng)過符號化后論證，形成新的定理——或者心是佛实昨，或者心不是佛洞豁。也可以用來解釋《巖頭之斧》這類故事的最終結(jié)局「道得也一下斧，道不得也一下斧荒给≌尚」通過24步推出Q：兩顆腦袋都要被砍掉。

證明之于推導(dǎo)：一個證明是某種非形式的東西志电，或者換句話說曙咽，是日常思維的產(chǎn)物，用人的語言寫的挑辆，說給人聽的桐绒。思維的各種各樣復(fù)雜的特點都肯呢個用在證明里夺脾，雖然「感覺是對的」，但不知道是否在邏輯上能有保證茉继。這正是形式化真正的目的所在咧叭。

矛盾是生活的各個領(lǐng)域中取得澄清和進步的一個主要源泉——數(shù)學(xué)也不例外。一個更有關(guān)聯(lián)性的例子烁竭，是在我們真正進行思考的方式與命題演算模仿我們的方式二者之間的矛盾菲茬。然而，命題演算還是很有價值的派撕，它提供有效的命題推理——所有那些能夠被造出來的命題推理婉弹。因此，如果任何時候不完全性或不一致性被暴露出來终吼，人們就能確信镀赌，著一定是哪個較大的系統(tǒng)的毛病，而不是他的子系統(tǒng)命題演算的過錯际跪。

這章看起來非常吃力商佛，翻來覆去很多次，作者下了非常多定義來推導(dǎo)和解釋姆打，過于啰嗦和繁復(fù)良姆。我來嘗試以自己的理解概括，將命題的邏輯「或與非」通過符號運算幔戏。揭示用邏輯和推理來維護他們自身是很困難的玛追。（e.g.卡羅爾對話）你無法永遠維護你的推理模式。到了一定的地步闲延，就只能靠信仰了痊剖。「幻想規(guī)則」（個人感覺更像是假設(shè)）垒玲，在一個幻想額定理上進行推導(dǎo)邢笙。推導(dǎo)無比嚴謹，證明是人之思維侍匙。兩者之間有矛盾在氮惯，但仍有重要意義。命題演算是符號系統(tǒng)想暗，是觀點是詩句妇汗，是邏輯，是人與計算機溝通的橋梁说莫。

第八章 印符數(shù)論

螃蟹卡農(nóng)——基因片段里的「回文」——間接自指

想要看出自指杨箭，必須既看到這個對話的內(nèi)容，也看到它的形式储狭。

定義一個形式系統(tǒng)——印符數(shù)論：把數(shù)論表示在印刷符號里互婿，簡稱TNT（Typographical Number Theory）

（未完待續(xù)）