球諧函數(shù)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論

球諧函數(shù)在圖形學(xué)光照計(jì)算等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用溜腐，因?yàn)槟壳霸趯?shí)際工作中接觸較少窄刘，所以對(duì)其的理解僅僅停留在表面，本著越是基礎(chǔ)的東西恨统，其重要性越高的想法，特此開篇文章對(duì)其背后的數(shù)學(xué)理論進(jìn)行拆解三妈，拆解過程參考了大量其他同學(xué)的工作畜埋，相應(yīng)鏈接在文末的參考文獻(xiàn)中有列出，引用過程中如有表述不清晰的內(nèi)容畴蒲，可以通過原文輔助閱讀悠鞍。

1. 調(diào)和函數(shù)（harmonic function）

調(diào)和函數(shù)指的是一種特殊的二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)（簡稱C2，在某個(gè)定義域存在二階導(dǎo)數(shù)模燥，且二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）咖祭，數(shù)學(xué)符號(hào)用 $f:U\rightarrow R$ 表達(dá)掩宜，其中 $U$ 是 $R^n$ （表示n維實(shí)數(shù)域）的一個(gè)開子集（相當(dāng)于一維數(shù)據(jù)空間中的開區(qū)間），其特殊在于需要滿足拉普拉斯方程（下面有介紹）么翰，用（笛卡爾坐標(biāo)系下）數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述的話牺汤，就是對(duì)于任意 $(x_1, x_2, ..., x_n) \in U$ ，需要滿足如下的二階偏微分方程：
$\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + ... + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0$

這里來回顧一下微分方程的相關(guān)知識(shí)浩嫌，單個(gè)變量下慧瘤，也就是一元變量情況下，函數(shù)與函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)組成的微分方程叫做常微分方程：
$F(x, y, y^{'}, y^{''}, ... ,y^{(n)}) = 0$

多元函數(shù)而言固该，函數(shù)以及函數(shù)對(duì)各個(gè)自變量的各階偏導(dǎo)數(shù)組成的微分方程叫做偏微分方程：
$F(x, y, u_x^{'}, u_y^{'}, u_x^{''}, u_y^{''}, u_{xy}^{''}, ... ) = 0$

這個(gè)公式也經(jīng)常以如下的形式出現(xiàn)（ $\Delta$ 稱為拉普拉斯算子锅减， $\nabla$ 稱為向量微分算子，也就是nabla算子）：
$\Delta f = \nabla^2f =div \cdot grad ~ u = 0$

其中 $\Delta$ 叫做拉普拉斯算子伐坏，光看定義太抽象怔匣，我們來舉個(gè)例子吧，下面兩個(gè)函數(shù)都是二元的調(diào)和函數(shù)：
$f(x,y) = ln(x^2+y^2), ~ f(x, y) = e^xsin(y)$

2. 拉普拉斯方程（Laplace's equation）

拉普拉斯方程也被稱為調(diào)和方程桦沉、位勢方程每瞒，這是一種偏微分方程，因?yàn)槠淇梢杂脛莺瘮?shù)的形式來描述電磁場纯露、引力場剿骨、流場（統(tǒng)稱為保守場或者有勢場）的性質(zhì)而被廣泛應(yīng)用。

笛卡爾坐標(biāo)系下的表述形式前面已經(jīng)寫過了埠褪，下面給出球面坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程表述形式：
$\Delta f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2\frac{\partial f}{\partial r})}{\partial r}+\frac{1}{r^2 sin\theta}\frac{\partial (sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta})}{\partial \theta}+\frac{1}{r^2 sin^2\theta}\frac{\partial ^2f}{\partial\phi^2} = 0$
這個(gè)方程也常用如下的簡化形式來代替：
$\triangledown^2 \phi = 0$
或者
$div ~ grad ~ \phi = 0$
其中div指的是向量場（指的是空間中的每一點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的帶長度的向量）的散度（divergence），grad表示的是標(biāo)量場的梯度（gradient）贷掖。

散度是向量分析中常用的向量算子渴语，用于實(shí)現(xiàn)向量場到標(biāo)量場的轉(zhuǎn)換映射苹威，也就是說，經(jīng)過散度算子處理后驾凶，得到的是一個(gè)標(biāo)量場（每一點(diǎn)有一個(gè)不帶方向的數(shù)值）。以靜電場為例调违，空間中的電場強(qiáng)度是一個(gè)向量場，電場線正出負(fù)歸翰萨，在正電荷附近脏答，對(duì)應(yīng)的散度為正值，且電荷帶電量越大亩鬼，散度越大，負(fù)電荷附近則反之雳锋，其散度為負(fù)值，且電荷帶電量越大玷过，散度絕對(duì)值越大。更為通用的概括是粤蝎，散度可以看成是向量場在某一點(diǎn)的通量密度袋马，當(dāng)散度大于0的時(shí)候初澎，就表示該點(diǎn)有流量留出虑凛，此時(shí)這一點(diǎn)可以被稱為源點(diǎn)，當(dāng)散度小于0的時(shí)候桑谍，表示此點(diǎn)有流量流入，此時(shí)此點(diǎn)被稱為匯點(diǎn)贞间，散度為0，表示該點(diǎn)無流入也無流出榜跌，如果整個(gè)向量場的散度都是0盅粪，那么這個(gè)向量場可以稱為無源場。

對(duì)于某個(gè)向量場 $F = P(x,y,z) \cdot i + Q(x,y,z) \cdot j + R(x,y,z) \cdot k$ 而言票顾，其散度可以通過如下公式求得：
$div ~ F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

梯度是對(duì)多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一種描述，單元函數(shù)（只有一個(gè)自變量）的導(dǎo)數(shù)是標(biāo)量值函數(shù)豆同，而多元（多個(gè)自變量）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)則是一個(gè)向量值函數(shù)，這里多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)影锈，我們也稱為多元函數(shù)的梯度，多元函數(shù)f在點(diǎn)P處的梯度指的是以f在P處的偏微分作為分量的向量鸭廷，如一個(gè)三維空間函數(shù) $f(x,y,z)$ ，其梯度函數(shù)可以用如下的形式來表述：
$\triangledown f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$

單元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的是函數(shù)在某一點(diǎn)切線的斜率佳晶，對(duì)應(yīng)到梯度上讼载，如果多元函數(shù)在某點(diǎn)P的梯度不為0的話轿秧，那么計(jì)算出來的梯度方向指的是這個(gè)函數(shù)在P點(diǎn)處增長最快的方向（超平面的切線）咨堤，而梯度的長度則是函數(shù)在此點(diǎn)處的增長率（超平面的斜率）。

舉個(gè)例子驱还，如果某個(gè)房間內(nèi)的溫度用一個(gè)函數(shù)來表示，那么這個(gè)函數(shù)在三維空間中的梯度就對(duì)應(yīng)于房間中某點(diǎn)處溫度上升最快的方向铝侵，而其長度則對(duì)應(yīng)于溫度增長率触徐。

可以看到咪鲜，一個(gè)多元函數(shù)的標(biāo)量場撞鹉，經(jīng)過梯度轉(zhuǎn)化后，得到的是一個(gè)向量場享郊。

3. 球諧函數(shù)(Spherical Harmonics Function)

從調(diào)和函數(shù)的定義我們可以看到孝鹊，所謂的調(diào)和函數(shù)炊琉，實(shí)際上就是拉普拉斯方程的解又活，而我們?nèi)粘Ｋf的球諧函數(shù)（Spherical Harmonics Function）實(shí)際上就是拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系空間下的解。

拉普拉斯方程是一個(gè)偏微分方程柳骄，而解偏微分方程常用的策略是分離變量法，即將偏微分方程分解成幾個(gè)常微分方程進(jìn)行求解舔清，下面我們通過將半徑跟角度進(jìn)行分離來進(jìn)行求解。

設(shè) $f(r, \theta, \phi) = R(r)Y(\theta, \phi)$ 体谒，將之代入前面的拉普拉斯方程，可以得到：
$\frac{Y}{r^2} \fraclww3std{\text8dc7n22r}(r^2 \frac{\textbmqqqd2R}{\textpxmhwrxr}) + \frac{R}{r^2 sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta})+\frac{R}{r^2 sin^2 \theta}\frac{\partial ^2 Y}{\partial ^2 \phi} = 0$

上面公式乘上 $\frac{r^2}{YR}$ 之后可以得到：
$\frac{1}{R} \fractt87vmd{\textjodrgphr}(r^2 \frac{\textxxxqbojR}{\textwxwllrxr}) = - \frac{1}{Y sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}) - \frac{1}{Y sin^2 \theta}\frac{\partial ^2 Y}{\partial ^2 \phi} = \lambda$

對(duì)于上面公式中后面的等式械媒，我們繼續(xù)使用分離變量法评汰，令（這里是假設(shè)Y具有可以分離的形式痢虹，當(dāng)然這個(gè)假設(shè)不是必然成立的，只是為了簡化計(jì)算而給出的奖唯，只有一些特殊的函數(shù)才具有這種假設(shè)的可分離的形式） $Y(\theta, \phi) = \Theta(\theta) \cdot \Phi(\phi)$ ，代入前面公式可以得到：
$-\frac{\Theta}{\Phi \Theta}\frac{\partial ^2 \Phi}{\partial ^2 \phi} = \lambda \cdot sin^2 \theta + \frac{sin \theta \cdot \Phi}{\Phi \Theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin \theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta})$

簡化后坯墨，令左右兩邊均等于 $m^2$ ，可以得到：
$\frac{1}{\Phi}\frac{\partial ^2 \Phi}{\partial ^2 \phi} = -m^2$
$\lambda \cdot sin^2 \theta + \frac{sin \theta}{\Theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin \theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta}) = m^2$

一個(gè)先驗(yàn)知識(shí)是m是一個(gè)復(fù)數(shù)常量（怎么得到的捣染？）停巷，且由于 $\Phi$ 是一個(gè)周期函數(shù)，其周期可以整除 $2\pi$ 畔勤，因此m就會(huì)是一個(gè)整數(shù)，而 $\Phi$ 則是復(fù)數(shù)指數(shù) $e^{\pm im \phi}$ 的線性組合式曲，Y的常規(guī)解出現(xiàn)在極點(diǎn)，也就是 $\theta = 0, \pi$ 的時(shí)候吝羞，而在上面的第二個(gè)方程中求解 $\Theta$ 時(shí)的常規(guī)狀態(tài)出現(xiàn)在Sturm-Liouville problem的邊界點(diǎn)上仔掸，在這個(gè)邊界點(diǎn)中會(huì)將 $\lambda = l(l+1)$ ，其中l(wèi)是非負(fù)整數(shù)起暮，且 $l \geq |m|$ 会烙，此外筒捺，將上面公式中的 $cos \theta$ 用t來替代，就能夠得到勒讓德公式（Legendre equation）系吭，而勒讓德公式的解就是伴隨勒讓德多項(xiàng)式 $P_l^m(cos \theta )$ 的倍數(shù)。

對(duì)于滿足前面假設(shè)的Y肯尺，對(duì)于給定的 $l$ ，我們總共有 $2l+1$ 個(gè)獨(dú)立解槐臀，這些角度上的解可以表示為三角函數(shù)的乘積，這里可以用復(fù)數(shù)指數(shù)與伴隨勒讓德多項(xiàng)式來表示：
$Y_l^m(\theta, \phi) = N e^{im \phi}P_l^m(cos \theta)$
其中這個(gè)解需要滿足：
$r^2 \nabla^2Y_l^m(\theta, \phi) = -l(l+1)Y_l^m(\theta, \phi)$
上述公式中的 $Y_l^m$ 就被稱為一個(gè)m階（order）l度（degree）的球諧函數(shù)水慨， $P_l^m$ 就是一個(gè)伴隨勒讓德多項(xiàng)式敬扛，N是一個(gè)歸一化的常量， $\theta, \phi$ 則代表著球上的經(jīng)緯度

所有的球諧函數(shù)組成了一組正交基啥箭，所謂的正交基指的是，兩兩基函數(shù)相乘的積分只有當(dāng)兩個(gè)基函數(shù)是同一個(gè)基函數(shù)的情況下結(jié)果為1捉蚤，否則為0。

上圖給出了不同的SH基函數(shù)的幾何形狀展示布持，這個(gè)圖是通過以方向?yàn)樽宰兞可滦角蛐牡木嚯x作為因變量繪制的栅干。

而其他函數(shù)都可以通過使用不同系數(shù)來對(duì)SH基函數(shù)進(jìn)行線性組合來實(shí)現(xiàn)近似模擬灸异，這個(gè)過程有點(diǎn)像是周期函數(shù)的傅里葉展開绍昂。

未完待續(xù)……

參考文獻(xiàn)

[1] Rendering-球諧光照推導(dǎo)及應(yīng)用
 [2] 調(diào)和函數(shù)
[3] 拉普拉斯方程
 [4] 散度
 [5] 梯度
 [6] Spherical harmonics
[7]. Laplace's equation

最后編輯于：2022.04.07 15:23:00

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球諧函數(shù)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論

1. 調(diào)和函數(shù)（harmonic function）

2. 拉普拉斯方程（Laplace's equation）

3. 球諧函數(shù)(Spherical Harmonics Function)

參考文獻(xiàn)

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