我想大家都有這樣的體會(huì)：小學(xué)的時(shí)候你根本不知道初中數(shù)學(xué)是什么樣廓八，高中的時(shí)候你也根本想不到大學(xué)數(shù)學(xué)是什么樣锅很。而大學(xué)生，如果你不專注于數(shù)學(xué)多望，恐怕也不知道現(xiàn)代數(shù)學(xué)是什么模樣嫩舟。下面將分別從學(xué)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)、數(shù)學(xué)不同學(xué)科的分類以及如何切實(shí)可行培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力等幾個(gè)方面闡述如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)怀偷。
進(jìn)入正題:
一家厌、認(rèn)清你的需要
為什么需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這是你首先需要想清楚的問題椎工。數(shù)學(xué)學(xué)科子分類多饭于、每一本數(shù)學(xué)書中都有許多定理和結(jié)論蜀踏，需要花大量時(shí)間研究。而人的時(shí)間是寶貴的镰绎、有限的脓斩，需不需要學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)到什么程度你需要大體有一個(gè)目標(biāo)和計(jì)劃畴栖，合理安排時(shí)間随静。
1.1 你的目標(biāo)是精通數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)吗讶，以數(shù)學(xué)謀生燎猛，你可能立志掌握代數(shù)幾何，或者想精通前沿物理照皆。那么你需要打下堅(jiān)實(shí)的現(xiàn)代代數(shù)重绷、幾何以及分析基礎(chǔ)，你需要準(zhǔn)備大量時(shí)間和精力膜毁，擁有堅(jiān)定不移的決心昭卓。（要求：精通全部三級(jí)高等數(shù)學(xué)）
1.2 你的目標(biāo)是能夠熟練運(yùn)用高等數(shù)學(xué)，解決問題瘟滨，掌握探索新應(yīng)用領(lǐng)域的武器候醒，你可能立志進(jìn)入計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域、經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域或數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域杂瘸。那么倒淫，你需要打下堅(jiān)實(shí)的矩陣論、微積分以及概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)败玉。（要求：精通第一級(jí)高等數(shù)學(xué)）
1.3 你的目標(biāo)是想了解數(shù)學(xué)的樂趣敌土，把學(xué)數(shù)學(xué)作為人生一大業(yè)余愛好。那么运翼，你需要打下堅(jiān)實(shí)的線性代數(shù)返干、數(shù)學(xué)分析、拓?fù)鋵W(xué)以及概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)血淌，對(duì)你來(lái)說(shuō)犬金，體會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣是一個(gè)更重要的目標(biāo)。（精通第一級(jí)高等數(shù)學(xué)六剥，在第二級(jí)高等數(shù)學(xué)中暢游晚顷，嘗試接觸第三級(jí)高等數(shù)學(xué)）
二、給自己足夠的動(dòng)力
學(xué)數(shù)學(xué)需要智力疗疟，更需要時(shí)間和精力该默。下面的幾個(gè)事實(shí)相大家都深有體會(huì)：
1. 凡是沒有用的東西，或者雖然有用策彤，但是你用不到的東西栓袖，學(xué)得快忘得也快匣摘。不信你回憶一下你大一或者初一的基礎(chǔ)課，你還記的清楚嗎裹刮？
2. 凡是你不感興趣（或者感覺不到樂趣）的東西音榜，你很難堅(jiān)持完成它。很多人都有這樣的經(jīng)歷捧弃，一本書赠叼，前三章看的很仔細(xì)，后面就囫圇吞棗违霞，越看越快嘴办，反正既沒意思也沒用。
3. 小學(xué)數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)买鸽，中學(xué)數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)涧郊，高中數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)（你可以以此類推）。因此眼五，無(wú)論你的目標(biāo)是什么妆艘，搞數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)看幼、還是體會(huì)數(shù)學(xué)的樂趣批旺、滿足自己從少年時(shí)就有的夢(mèng)想。學(xué)有所樂桌吃、學(xué)有所用，永遠(yuǎn)是維持你動(dòng)力不衰退的兩個(gè)最主要的因素苞轿。
三茅诱、如何學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)
首先我們要知道什么是數(shù)學(xué)，要對(duì)數(shù)學(xué)下個(gè)定義是很難的搬卒。本文的處理途徑是瑟俭，不去回答它，我不打算給出數(shù)學(xué)的定義而是通過(guò)描述它的許多最重要的概念契邀，定理摆寄，和應(yīng)用使對(duì)于什么是數(shù)學(xué)有一個(gè)好的看法，而要使這些有意義對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行分類是很有必要的
1現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以大致被分為兩個(gè)領(lǐng)域：純粹數(shù)學(xué)（研究數(shù)學(xué)本身）和應(yīng)用數(shù)學(xué)（用以解決更實(shí)際的問題）坯门。但我們要記住的是微饥，它們之間其實(shí)有著緊密的關(guān)聯(lián)。如果能的話古戴，應(yīng)該畫張圖更好一點(diǎn)欠橘，地圖更應(yīng)該是一張網(wǎng)絡(luò)，連接著每個(gè)相關(guān)的分支现恼。
事實(shí)上肃续，從歷史中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)黍檩，有許多數(shù)學(xué)家一開始只是出于好奇以及對(duì)美的追求去研究數(shù)學(xué)，然后發(fā)展了一系列美麗而又有趣的數(shù)學(xué)分支始锚，但對(duì)于真實(shí)世界卻一點(diǎn)用處都沒有刽酱。令人驚喜的是，比如在100年后瞧捌，當(dāng)有些科學(xué)家正在試圖解決物理學(xué)或計(jì)算機(jī)科學(xué)最前沿的問題時(shí)發(fā)現(xiàn)棵里，他們所需要的數(shù)學(xué)其實(shí)早就在純粹數(shù)學(xué)里被發(fā)展出來(lái)了。這樣的例子不勝枚舉察郁，比如廣義相對(duì)論的發(fā)展依賴于黎曼度規(guī)衍慎；弦理論則需要卡-丘空間等等徐勃。這些抽象的概念最終被應(yīng)用在其它的科學(xué)領(lǐng)域中是非常令人欣喜的一件事集嵌。先拋開純粹數(shù)學(xué)是否有一天能被應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)中去骆莹，其實(shí)研究純粹數(shù)學(xué)本身也是非常有價(jià)值的事览徒。如果你問一位數(shù)學(xué)家為什么要研究純粹數(shù)學(xué)镰踏，我想很多人的答案會(huì)簡(jiǎn)潔到只有一個(gè)字坦报，那就是：美当犯！
2.純粹數(shù)學(xué)
純粹數(shù)學(xué)主要包括四個(gè)部分：數(shù)字系統(tǒng)征椒、結(jié)構(gòu)款侵、空間和變化末荐。
2.1【數(shù)字系統(tǒng)】
數(shù)字系統(tǒng)的研究起源于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)（1新锈、2甲脏、3...）及整數(shù)（…-2、-1妹笆、0块请、1、2...）與被描述在算術(shù)內(nèi)的自然數(shù)及整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算（＋－× ÷ ）拳缠。當(dāng)數(shù)系進(jìn)一步發(fā)展時(shí)墩新，整數(shù)被視為有理數(shù)（-7、1/2窟坐、2.32...）的子集海渊，而有理數(shù)則包含于實(shí)數(shù)（-4π、e哲鸳、√2...）中臣疑。實(shí)數(shù)則可以進(jìn)一步被廣義化為復(fù)數(shù)（4+3i、-4i...）徙菠。除此外朝捆，還有其它一系列的數(shù)（比如四元數(shù)、八元數(shù)和基數(shù)等）懒豹。還有一些數(shù)深受數(shù)學(xué)家的喜愛芙盘，比如π驯用、e和質(zhì)數(shù)（1，3儒老，11...）蝴乔。
剛才提到的這些數(shù)字都有一些有意思的性質(zhì)，例如驮樊，盡管實(shí)數(shù)和整數(shù)都有無(wú)限多薇正，但實(shí)數(shù)要比整數(shù)多。所以有一些無(wú)限實(shí)際要比另一些大囚衔。
2.2【結(jié)構(gòu)】
對(duì)結(jié)構(gòu)的研究起始于將數(shù)字以變量的形式代入方程（y=mx+c）挖腰。如何解這些方程的規(guī)則包含在代數(shù)之中。在這個(gè)分支中练湿，還有矢量和矩陣猴仑，它們都是多維數(shù)，而它們之間的聯(lián)系于線性代數(shù)中被研究肥哎。
在這個(gè)分支內(nèi)辽俗，有一個(gè)被譽(yù)為“最純”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，那就是數(shù)論篡诽。數(shù)論專注于研究在“數(shù)字系統(tǒng)”中提到的所有數(shù)的特征崖飘，比如質(zhì)數(shù)的性質(zhì)（質(zhì)數(shù)產(chǎn)生了很多非專業(yè)人士也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想杈女，孿生質(zhì)數(shù)猜想等）朱浴。
另一方面，組合數(shù)學(xué)是一門研究可數(shù)或離散對(duì)象的數(shù)學(xué)分支达椰，比如樹翰蠢、圖論等，一些著名的問題包括地圖著色問題砰碴、船夫過(guò)河問題等等躏筏。群論則是研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)板丽，一個(gè)熟悉的例子就是魔方呈枉，是一個(gè)置換群。序理論是研究捕獲數(shù)學(xué)排序的直覺概念的各種二元關(guān)系的數(shù)學(xué)分支埃碱，比如哈斯圖猖辫，是用來(lái)表示有限偏序集的一種數(shù)學(xué)圖標(biāo)。
2.3【空間】
純粹數(shù)學(xué)的另一個(gè)部分是研究形狀和它們?cè)诳臻g中的行為砚殿】性鳎空間的研究源自于幾何——尤其是歐幾里得幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)似炎，且包含有著名的勾股定理辛萍。還有一些比較有趣的領(lǐng)域悯姊，比如分形，它是一種具有尺度不變性的數(shù)學(xué)模式贩毕，意思是說(shuō)你無(wú)論你怎么放大它們看起來(lái)都是一樣的悯许。
在其許多分支中，拓?fù)鋵W(xué)可能是20世紀(jì)數(shù)學(xué)中有著最大進(jìn)展的領(lǐng)域辉阶。拓?fù)鋵W(xué)研究的是空間的不同性質(zhì)先壕，你可以連續(xù)不斷地將它們變形，但不能將它們撕裂或粘合谆甜。例如垃僚，無(wú)論你對(duì)莫比烏斯帶做什么，它永遠(yuǎn)只有一個(gè)面和一個(gè)邊界规辱。在拓?fù)鋵W(xué)里谆棺，咖啡杯和甜甜圈是一樣的東西。拓?fù)鋵W(xué)包含了存在已久的龐加萊猜想（2006年由數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼證明）以及頗有爭(zhēng)議的四色定理（1976年由計(jì)算機(jī)證明）按摘。
測(cè)度論是一種給空間或集分配數(shù)值的數(shù)學(xué)分支包券，它將數(shù)和空間聯(lián)系起來(lái)。最后炫贤，微分幾何是非常重要的一個(gè)數(shù)學(xué)分支溅固，它研究在彎曲表面上的形狀的性質(zhì)，比如三角形在彎曲的表面中內(nèi)角和跟在歐式空間中的不一樣兰珍。
2.4【變化】
了解及描述變化在自然科學(xué)里是一個(gè)普遍的議題侍郭，而微積分更加使研究變化的有力工具。函數(shù)誕生于此掠河，作為描述一變化的量的核心概念亮元。微積分是研究極限、微分學(xué)（函數(shù)的梯度的行為）唠摹、積分學(xué)（函數(shù)下的面積）和無(wú)窮級(jí)數(shù)的一個(gè)分支爆捞。而向量分析關(guān)注的則是向量場(chǎng)的微分和積分。除此外勾拉，還有一系列其它的研究方向煮甥。動(dòng)力系統(tǒng)描述的是系統(tǒng)如何隨著時(shí)間流逝從一個(gè)狀態(tài)演化到另一個(gè)狀態(tài)，比如流體流動(dòng)或任何有反饋環(huán)路的東西（如生態(tài)系統(tǒng)）藕赞〕芍猓混沌理論則是對(duì)系統(tǒng)的既不可預(yù)測(cè)而又是決定的行為作明確的描述，它對(duì)于初始條件非常敏感斧蜕，比如著名的蝴蝶效應(yīng)双霍。最后是復(fù)分析，對(duì)于實(shí)數(shù)及實(shí)變函數(shù)的嚴(yán)格研究為實(shí)分析，而復(fù)分析則為復(fù)數(shù)的等價(jià)領(lǐng)域洒闸。數(shù)學(xué)中最大的未解問題之一——黎曼猜想便是以復(fù)分析來(lái)描述的染坯。
以上這些便是純粹數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。接下來(lái)我們進(jìn)入應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域丘逸。應(yīng)用數(shù)學(xué)的主旨在于將抽象的數(shù)學(xué)工具運(yùn)用在解答科學(xué)酒请、工程、商業(yè)及其他領(lǐng)域上的現(xiàn)實(shí)問題鸣个。
3.應(yīng)用數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)被廣泛地應(yīng)用在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域羞反。
3.1我們從物理學(xué)開始《谟基本上在純粹數(shù)學(xué)提到的所有分支都多多少少的被應(yīng)用于物理學(xué)上昼窗。數(shù)學(xué)和理論物理跟純粹數(shù)學(xué)的關(guān)系是密不可分的。許多數(shù)學(xué)理論是在物理問題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的涛舍；也有很多數(shù)學(xué)方法和工具通常只在物理學(xué)中找到實(shí)際應(yīng)用澄惊。例如，微分方程被應(yīng)用在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)富雅；場(chǎng)論被應(yīng)用在電磁場(chǎng)掸驱、引力場(chǎng)和規(guī)范場(chǎng)；群論和表示論別應(yīng)用在粒子物理學(xué)中没佑。
3.2除了物理外毕贼，數(shù)學(xué)也被應(yīng)用在其它的自然科學(xué)上，特別是在數(shù)學(xué)化學(xué)和生物數(shù)學(xué)上蛤奢。在數(shù)學(xué)化學(xué)中鬼癣，數(shù)學(xué)模型通常被用以模擬分子；拓?fù)浠瘜W(xué)也是一個(gè)熱門的研究領(lǐng)域（2016年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)就跟拓?fù)溆嘘P(guān)）啤贩。數(shù)學(xué)也大量應(yīng)用在生物學(xué)中待秃，如由于基因?qū)W的發(fā)展，生物學(xué)家采集到的大量數(shù)據(jù)必須通過(guò)解析方法加以處理痹屹；演化生物學(xué)和生態(tài)學(xué)都大量使用數(shù)學(xué)理論等等章郁。
3.3數(shù)學(xué)也被大量應(yīng)用在工程學(xué)上，自古埃及和巴比倫時(shí)期志衍，數(shù)學(xué)就被大量應(yīng)用在建筑上暖庄。非常復(fù)雜的電路系統(tǒng)，比如在飛機(jī)或電網(wǎng)中足画，就利用了動(dòng)力系統(tǒng)的方法雄驹，叫控制理論佃牛。
（這里推薦一本Mary Boas寫的教材《Mathematical Methods in the Physical Sciences》淹辞，對(duì)于那些本科選擇物理、化學(xué)和工程專業(yè)的學(xué)生，這本書可以快速的幫你們掌握所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)象缀。）
3.4當(dāng)一些數(shù)學(xué)太過(guò)于復(fù)雜我們無(wú)法有效地解決時(shí)蔬将，我們就會(huì)用到數(shù)值分析，它也包含了對(duì)計(jì)算中舍入誤差或其它來(lái)源的誤差之研究央星。例如霞怀，如果你把一個(gè)圓圈放進(jìn)一個(gè)正方形中，并向它扔許多的飛鏢莉给，接著比較飛鏢在圓圈和正方形的數(shù)量毙石，你就可以得到 π 的近似值。但在現(xiàn)實(shí)中颓遏，數(shù)值分析通常會(huì)使用大型計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)徐矩。
3.5博弈論專注于思考游戲中的個(gè)體的預(yù)測(cè)行為和實(shí)際行為，并研究它們的優(yōu)化策略叁幢。主要研究公式化了的激勵(lì)結(jié)構(gòu)（游戲）間的相互作用滤灯。其中一個(gè)代表性的應(yīng)用例子是囚徒困境。博弈論在經(jīng)濟(jì)學(xué)曼玩、心理學(xué)鳞骤、生物學(xué)、國(guó)際關(guān)系黍判、政治學(xué)等其它學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用豫尽。
3.6概率論是集中研究概率及隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支，最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件為扔硬幣顷帖、抽撲克或擲骰子拂募。應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要領(lǐng)域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)，它利用概率論為其工具并允許對(duì)含有機(jī)會(huì)成分的現(xiàn)象進(jìn)行描述窟她、分析與預(yù)測(cè)陈症。大部分的實(shí)驗(yàn)、調(diào)查及觀察研究都依賴于統(tǒng)計(jì)分析震糖。因此被廣泛地應(yīng)用在各門學(xué)科录肯，從自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)到人文學(xué)科吊说。特別是在金融行業(yè)论咏，通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析以獲取最大的利益。
3.7跟最大化利益相關(guān)的是最優(yōu)化颁井，你試圖計(jì)算的是在一系列不同選擇或限制下的最佳選擇厅贪，也就是找到一個(gè)函數(shù)的最高或最低點(diǎn)。最優(yōu)化問題是人類的第二天性雅宾，我們一直在都在進(jìn)行最優(yōu)化選擇养涮，比如試圖最優(yōu)化我們的快樂程度，購(gòu)買的時(shí)候想要物有所值等等。
3.8另一個(gè)領(lǐng)域跟純數(shù)學(xué)有非常深的聯(lián)系贯吓，那就是計(jì)算機(jī)科學(xué)懈凹。計(jì)算機(jī)科學(xué)的規(guī)則事實(shí)上是從純數(shù)學(xué)中推導(dǎo)出來(lái)的。機(jī)器學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)人工智能的一個(gè)途徑悄谐，即以機(jī)器學(xué)習(xí)為手段解決人工智能中的問題介评。機(jī)器學(xué)習(xí)是一門多領(lǐng)域的交叉學(xué)科，利用了數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域爬舰，比如線性代數(shù)们陆、最優(yōu)化、動(dòng)力系統(tǒng)和概率論等等情屹。
3.9最后棒掠，密碼術(shù)也是非常重要且實(shí)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，應(yīng)用到了純粹數(shù)學(xué)研究屁商，比如組合數(shù)學(xué)和數(shù)論等烟很。
現(xiàn)在我們已經(jīng)概括了純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的主要部分。但是蜡镶，還沒有結(jié)束雾袱，我們不能夠忽略數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。
4.基礎(chǔ)
數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)試圖理解數(shù)學(xué)本身的性質(zhì)官还，并且追問所有數(shù)學(xué)規(guī)則的基礎(chǔ)是什么芹橡。是否存在著一套稱為公理的完整的基本規(guī)則？我們要如何證明它是否自洽望伦？數(shù)理邏輯林说、集合論和范疇論就試圖回答這個(gè)問題。在數(shù)理邏輯中有一個(gè)非常著名的成果叫做哥德爾不完備定理屯伞，對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)腿箩，數(shù)學(xué)并沒有一套完整和自洽的公理，意味著它們都是由我們?nèi)祟悇?chuàng)造的劣摇。這聽起來(lái)很奇怪珠移，因?yàn)閿?shù)學(xué)如此完美的解釋了宇宙中的許多事物。為什么我們會(huì)認(rèn)為由人類創(chuàng)造的東西可以做到如此地步末融？這是一個(gè)非常深?yuàn)W的謎題钧惧。我們還有計(jì)算理論，它專注于研究不同的計(jì)算模型勾习，基于這些模型如何能夠有效地解決問題浓瞪。它包含了復(fù)雜性理論，其中P/NP問題是該領(lǐng)域中至今沒有解決的問題巧婶。數(shù)學(xué)是一個(gè)非常抽象和美妙的世界乾颁，如果要用一句話形容它的重要性涂乌，那么我會(huì)選擇伽利略曾經(jīng)說(shuō)過(guò)的：“如果一個(gè)人不懂得宇宙的語(yǔ)言，即數(shù)學(xué)的語(yǔ)言钮孵，他就不能夠閱讀宇宙這本偉大的書⊙勐耍”
四巴席、如何學(xué)習(xí)
4.1 適量做題
千萬(wàn)千萬(wàn)千萬(wàn)不要狂做題。比如說(shuō)你先花5年做完吉米諾維奇六本數(shù)學(xué)分析習(xí)題集诅需，那么到時(shí)候你就30歲了漾唉，后面的二級(jí)課程還沒開始學(xué)呢。因此堰塌，做一些課后習(xí)題赵刑，幫助你復(fù)習(xí)、思考场刑、維持大腦運(yùn)轉(zhuǎn)就行般此，要不斷地向后學(xué)。如果完全學(xué)不懂了牵现，返回來(lái)做習(xí)題幫自己理清頭緒铐懊。
4.2 了解思想
數(shù)學(xué)的精髓不是做題的數(shù)量，而是掌握思想瞎疼。每一個(gè)數(shù)學(xué)分支都有自己的主線思想和方法論科乎，不同分支也有相互可供對(duì)比和借鑒的思維方式。留意它贼急，模仿它茅茂，瑣碎的知識(shí)就串成了一條項(xiàng)鏈，你也就掌握了一門課太抓。思想并不是讀一本教材就能輕易了解的空闲，你要讀好幾本書，了解一些應(yīng)用才能體會(huì)走敌。舉兩個(gè)例子：
微積分的主線有這么幾條：認(rèn)識(shí)到微觀和宏觀是有聯(lián)系的进副，微分用來(lái)刻畫事物如何變化，它把細(xì)節(jié)放大給你看悔常，而積分用來(lái)刻畫事物的整體性質(zhì)影斑；微分和積分有時(shí)是描述一個(gè)現(xiàn)象的不同方式，這一點(diǎn)你在數(shù)學(xué)分析書中可能不容易發(fā)現(xiàn)机打，但是如果學(xué)點(diǎn)物理矫户，就會(huì)發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程組同時(shí)有等價(jià)的微分形式和積分形式；積分變換能夠建立不同空間之間的的聯(lián)系残邀，建立空間和空間邊界的聯(lián)系皆辽，這就是Stokes定理柑蛇，這個(gè)公式最遲要在微分流形中你才能一窺全貌。
矩陣是空間中線性變換的抽象驱闷，線性代數(shù)這門課的全部意義在于研究如何表達(dá)耻台、化簡(jiǎn)、分類空間線性變換算子空另；SVD分解不僅在應(yīng)用學(xué)科用有極為廣泛的亮相盆耽，也是你理解矩陣的有力工具；矩陣是有限維空間上的線性算子扼菠，對(duì)"空間"的理解不僅能讓你重新認(rèn)識(shí)矩陣摄杂，更為泛函分析的學(xué)習(xí)開了個(gè)好頭。
4.3 漸進(jìn)式迂回式學(xué)習(xí)循榆，對(duì)比學(xué)習(xí)
很多時(shí)候析恢，只讀一本書，可能由于作者在某處思維跳躍了一下秧饮，以后你就再也跟不上了映挂。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅，就是你同時(shí)拿到好幾本國(guó)際知名教材盗尸，相互對(duì)比著看袖肥，或者看完一本然后再看同一主題的另一本書，已經(jīng)熟悉的內(nèi)容跳過(guò)去振劳，如果看不懂了椎组，停下來(lái)思考或者做做習(xí)題，還是不懂則往后退一退历恐，從能看懂的部分向前推進(jìn)寸癌，當(dāng)你看的多了，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)東西出現(xiàn)在很多地方弱贼，對(duì)它的理解就加深了蒸苇。舉兩個(gè)例子：
a.外微分這個(gè)東西，國(guó)內(nèi)有的數(shù)學(xué)分析書里可能不介紹吮旅，我第一次遇到是在彭家貴的《微分幾何》里溪烤，覺得這是個(gè)方便巧妙的工具；后來(lái)讀卓里奇的《數(shù)學(xué)分析》和Rudin的《數(shù)學(xué)分析原理》庇勃，都講了這個(gè)東西檬嘀，可見在西方外微分是一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)。你要讀懂它责嚷，可能要首先理解矩陣鸳兽，明白行列式恰好是空間體積在矩陣的變換下拉伸的倍數(shù)，它是一種線性形式罕拂。最后揍异，當(dāng)你讀微分流形后全陨，將發(fā)現(xiàn)外微分是獲得流形上的Stokes定理的工具。
b.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)東西衷掷，搞應(yīng)用用不到辱姨。但是但凡你想往深處學(xué)，這一門學(xué)科就必須要掌握戚嗅，因?yàn)樗峁?duì)諸如開集雨涛、緊集、連續(xù)渡处、完備等數(shù)學(xué)基本概念的精準(zhǔn)刻畫镜悉。往后學(xué)泛函分析祟辟、微分流形医瘫，沒有這些概念你將寸步難行。首先你要讀芒克里斯的曠世名著《拓?fù)鋵W(xué)》旧困，接著在讀其他外國(guó)人寫的書時(shí)醇份，或多或少都會(huì)接觸一些相關(guān)概念，你的理解就加深了吼具，比如讀Rudin的《泛函分析》僚纷，開始就是介紹線性拓?fù)淇臻g，前面的知識(shí)你就能用上了拗盒。
4.4 建立不同學(xué)科的聯(lián)系
看到一個(gè)東西在很多地方用怖竭，你對(duì)它的理解就加深了，慢慢也就能體會(huì)到這個(gè)東西的精妙陡蝇，最后你會(huì)發(fā)現(xiàn)所有的基礎(chǔ)學(xué)科相互交織痊臭，又在后續(xù)應(yīng)用中相互幫助，切實(shí)體會(huì)到它們真的很基礎(chǔ)登夫，很有用广匙。這是一種體會(huì)數(shù)學(xué)樂趣的途徑。
4.5 關(guān)注應(yīng)用學(xué)科(上文介紹過(guò)一些)
沒有什么比應(yīng)用更能激發(fā)你對(duì)新知識(shí)恼策、新工具的渴望鸦致。找一些感興趣的應(yīng)用學(xué)科教材，讀一讀涣楷，開闊眼界分唾，為自己的未來(lái)積累資源。以下結(jié)合自己的專業(yè)（計(jì)算機(jī)視覺）和愛好說(shuō)說(shuō)一些優(yōu)秀的專業(yè)書籍：
學(xué)了微積分狮斗，就可以無(wú)壓力閱讀《費(fèi)恩曼物理學(xué)講義第一卷》鳍寂，了解力、熱情龄、光迄汛、時(shí)空的奧秘捍壤；學(xué)了偏微分方程，就可以無(wú)壓力閱讀《費(fèi)恩曼物理學(xué)講義第二卷》鞍爱，了解電的奧秘鹃觉；學(xué)了矩陣論，可以買一本《計(jì)算機(jī)視覺中的多視圖幾何》睹逃，了解成像的奧秘盗扇，編程進(jìn)行圖像序列的三維重建；學(xué)了概率論的同學(xué)應(yīng)該會(huì)聽說(shuō)過(guò)貝葉斯學(xué)派和頻率學(xué)派沉填，這兩個(gè)學(xué)派的人把戰(zhàn)場(chǎng)拉到了機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域疗隶，成就了兩本經(jīng)典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，讀了它們翼闹，我被基礎(chǔ)數(shù)學(xué)為機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域提供的豐碩成果和深刻見解深深折服斑鼻；讀了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己寫了一個(gè)光線追蹤器渲染真實(shí)場(chǎng)景猎荠，它的基礎(chǔ)就是一點(diǎn)點(diǎn)微積分和矩陣......
高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用實(shí)在是太多了坚弱，如果你喜歡編程，自動(dòng)化关摇、機(jī)器人荒叶、計(jì)算機(jī)視覺、模式識(shí)別输虱、數(shù)據(jù)挖掘些楣、圖形圖像、信息論和密碼學(xué)......到處都有大量模型供你玩耍宪睹，而且只需要一點(diǎn)點(diǎn)高等數(shù)學(xué)愁茁。在這些領(lǐng)域，你可能能發(fā)現(xiàn)比數(shù)學(xué)書更有趣横堡，也更容易找到工作的目標(biāo)埋市。
4.6 找有趣的書看
數(shù)學(xué)家寫的書有時(shí)是比較死板的，但是總有一些教材命贴，它們的作者有強(qiáng)烈的欲望想向你展示"這個(gè)東西其實(shí)很有趣"道宅，"這個(gè)東西完全不是你想的那個(gè)樣子"等等，他們成功了胸蛛；還有些作者污茵，他們喜歡把一個(gè)東西在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，和不同東西在某一領(lǐng)域的應(yīng)用集中展示給你看葬项。這樣的書會(huì)提供給你充足的樂趣讀下去泞当。典型代表就是國(guó)內(nèi)出版的一套《圖靈數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)叢書》，這一套書實(shí)在是太棒了民珍，比如《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》《復(fù)分析：可視化方法》《微分方程襟士、動(dòng)力系統(tǒng)與混沌導(dǎo)論》盗飒，個(gè)人認(rèn)為都是學(xué)數(shù)學(xué)必讀的經(jīng)典教材，非常非常有趣陋桂。
五逆趣、多讀書，讀好書
如果只有一句話概括如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力嗜历，那么就是這一句：多讀書宣渗，讀好書。因此這一步我想單獨(dú)拿出來(lái)多說(shuō)兩句梨州。
想必大家都十分精通并能熟練應(yīng)用小學(xué)數(shù)學(xué)痕囱。想讀懂代數(shù)幾何，或者退一步暴匠，想讀懂信息論基礎(chǔ)鞍恢，你就要挑幾本好的基礎(chǔ)教材，最好是外國(guó)人寫的巷查，像掌握小學(xué)數(shù)學(xué)那樣掌握它有序。不要只看一本抹腿，找三本不同作者的書岛请，對(duì)比著看，逐行逐字看警绩。有的地方肯定看不懂崇败，記下來(lái)，說(shuō)不定在另一本書的某個(gè)地方就從另一個(gè)角度說(shuō)到了這個(gè)東西肩祥。
如果你以后還要往后學(xué)后室，現(xiàn)在看到的每一個(gè)基礎(chǔ)定理，以后還會(huì)用到混狠。每一本基礎(chǔ)書岸霹，你今天放棄，明天還要乖乖重頭再來(lái)将饺。要像讀經(jīng)文一樣贡避，交叉閱讀對(duì)比不同教材內(nèi)容的異同。
5.1. 推薦教材（其實(shí)就是我讀過(guò)的覺得好的書）：
第一級(jí)：
《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》
卓里奇《數(shù)學(xué)分析（兩冊(cè)）》（讀英文版吧予弧，不難刮吧。有知友說(shuō)這個(gè)還是不太簡(jiǎn)單，那你可以先看個(gè)國(guó)內(nèi)教材掖蛤，然后回過(guò)頭來(lái)再看這個(gè)）
復(fù)旦大學(xué)《概率論》
第二級(jí)：
芒克里斯《拓?fù)鋵W(xué)》
圖靈叢書的一些分冊(cè)
柯斯特利金《代數(shù)學(xué)引論》
Vapnik《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的本質(zhì)》
Rudin《數(shù)學(xué)分析原理》
Rudin《泛函分析》
Gamelin《復(fù)分析》
彭家貴《微分幾何》
Cover《信息論基礎(chǔ)》
第三級(jí)：
《微分流行與黎曼幾何》
《現(xiàn)代幾何學(xué)杀捻，方法與應(yīng)用》三卷
5.2. 閱讀一些科普教材
《什么是數(shù)學(xué):對(duì)思想和方法的基本研究》
《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》
《巴赫、埃舍爾蚓庭、哥德爾》
《e的故事》
5.3. 閱讀各個(gè)領(lǐng)域最有趣致讥、最活潑仅仆、最讓你長(zhǎng)知識(shí)、最重視應(yīng)用垢袱、文筆最易懂的教材和書籍
《費(fèi)恩曼物理學(xué)講義》三冊(cè)
《混沌與分形：科學(xué)的新疆界》
《微分方程蝇恶、動(dòng)力系統(tǒng)與混沌導(dǎo)論》
《復(fù)分析：可視化方法》
最后想說(shuō)，數(shù)學(xué)是一個(gè)無(wú)底洞惶桐，會(huì)消耗掉你寶貴的青春撮弧。一無(wú)所知的你可能勵(lì)志搞懂現(xiàn)代數(shù)學(xué)，但是多會(huì)半途卻步姚糊，同時(shí)剩下的時(shí)間又不夠精通另一門科學(xué)贿衍。而且即使你精通純數(shù)學(xué)，沒有幾篇好文章也并不容易找工作救恨。
我的建議是在閱讀數(shù)學(xué)的過(guò)程中開拓眼界贸辈，純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科都看看，找到感興趣肠槽、應(yīng)用廣泛擎淤、工作好找（來(lái)錢）的方向再一猛扎下去成為你的事業(yè)。比如數(shù)學(xué)扎實(shí)秸仙，編程能力也強(qiáng)的人就很有前途嘴拢。
