復解析函數(shù)的充要條件與柯西黎曼方程

復變函數(shù)一般表示為 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 瓣蛀。

如果函數(shù) $f(z)$ 在點z的某個鄰域內處處可導, 則稱 $f(z)$ 在點z解析陆蟆。
如果 $f(z)$ 在區(qū)域D內的每一點都解析, 則稱 $f(z)$ 是D內的解析函數(shù), 或稱 $f(z)$ 在D內解析。
解析函數(shù)也叫全純函數(shù)或正則函數(shù)惋增。

復變函數(shù)的定義域一般是整個復平面叠殷，也就是整個平面上。所以要讓復變函數(shù)可導诈皿，需要它從各個方向過去都可導溪猿。而單變量實函數(shù)的定義域是一根實軸，只要從左右兩個方向可導就可以：這是它們的區(qū)別纫塌！

解析函數(shù)的解析區(qū)域邊界點（如果存在）稱為其奇點诊县。

要尋找函數(shù)可導的充要條件，首先會想到如果其實部虛部分別可導是否足夠措左。很遺憾依痊，它們不等價：

反例： $f(z)=\bar{z}$ 是否可導？
對平面上的任意一點z, 有 $\frac{\overline{z+\Delta{z}}-\bar z}{\Delta z}=\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}=\frac{\Delta x - \text{i}\Delta y}{\Delta x +\text{i}\Delta y}$ 怎披，
可以看到結果跟趨近方向有關：當水平趨近時胸嘁， $\Delta y=0$ ，結果是1凉逛；豎向趨近時是-1性宏，所以處處不可導。但它的實部虛部都可導状飞。

柯西黎曼方程

如果 $f(z)$ 可導毫胜，設 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 在點 $z=x+\text{i}y$ 處可導，即 $f'(z)=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$ 诬辈，
令 $\Delta z = \Delta x + \text{i}\Delta y$ 酵使， $f(z+\Delta z)-f(z)=\Delta u + \text{i}\Delta v$ ，
其中 $\Delta u = u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x,y)$ 焙糟， $\Delta v=v(x+\Delta x, y+\Delta y)-v(x,y)$ 口渔。
則 $f'(z)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}$ 穿撮。

當 $\Delta z$ 從實軸趨向0時缺脉， $f'(z)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y=0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x }=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+\text{i}\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta x}=u_x+\text{i} v_x$ 悦穿，
當 $\Delta z$ 從虛軸軸趨向0時咧党， $f'(z)=\lim_{\Delta \rightarrow 0,\Delta x=0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\text{i}\Delta y }=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}-\text{i}\frac{\Delta u}{\Delta y}+\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta y}=-\text{i}u_y+v_y$ 深员，
因為 $f(z)$ 可導，所以上面兩個結果的實部虛部分別相等叠赐，即

柯西黎曼方程

這個就是柯西黎曼方程芭概，簡寫C-R方程。

反過來：是否滿足柯西黎曼方程就可導呢惩嘉？估計大家能猜出來：不行：

反例：函數(shù) $f(z)=\sqrt{|xy|}$ 在z=0處是否可導罢洲？
可以證明，在原點處的兩個偏導都是0文黎，所以滿足C-R方程惹苗。
但是0點的導數(shù)并不存在，可以令 $\Delta z = \Delta r e^{\text{i}\theta}$ 耸峭，則 $\frac{f(0+\Delta z)-f(0)}{\Delta z}=\frac{\sqrt{|\Delta r \cos \theta \cdot \Delta r \sin \theta|}}{\Delta r e^{\text{i}\theta}}=\frac{\sqrt{| \cos \theta \cdot \sin \theta|}}{e^{\text{i}\theta}}$ 桩蓉，
所以趨向零點的方向角度不同結果可能就不同，因此不可導劳闹。

解析函數(shù)的充要條件

上面已經(jīng)看到函數(shù)可導的必要條件是實部虛部都可微（即偏導存在且連續(xù)）且符合C-R方程院究。
這個也是它的充分條件！

設函數(shù) $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 本涕，假設其在點 $z=x+\text{i}y$ 處實部和虛部都可導儡首，且滿足 $u_x=v_y, v_x=-u_y$ 。根據(jù)二元函數(shù)微分定義偏友，可以證明其導數(shù)存在蔬胯。

下面是一些復合復變函數(shù)求導法則：

設 $f(z)$ 和 $g(z)$ 在z處可導，則
$[f(z)+g(z)]'=f'(z)+g'(z)$
$[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$
$[\frac{f(z)}{g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)}, g(z)\neq 0$

最后編輯于：2019.02.11 16:06:10

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