中考題超綱驹碍？從函數(shù)角度思考——2021年廣東中考數(shù)學(xué)第25題
圖形間的位置關(guān)系壁涎，最早可追溯到相交線與平行線，我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候志秃，也討論過兩條直線的位置關(guān)系怔球，學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，對(duì)于拋物線與直線的位置關(guān)系浮还，以及雙拋物線的情況也并不陌生竟坛，研究函數(shù)圖象的位置與研究圖形的位置關(guān)系，有其類似的地方，然而更多需要從函數(shù)本身的性質(zhì)出發(fā)担汤。
2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試題又官，被認(rèn)為難度較高，在第25題壓軸題中漫试，便出現(xiàn)了一個(gè)看上去是含參一元二次不等式組的條件六敬，給諸多考生極大的迷惑。
題目
已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)(-1,0)驾荣，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x外构，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.
(1)求該二次函數(shù)解析式；
(2)若(1)中的二次函數(shù)圖象與x軸正半軸交點(diǎn)為A播掷，與y軸交點(diǎn)為C审编，點(diǎn)M是(1)中二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，問在x軸上是否存在點(diǎn)N歧匈，使得以A垒酬、C、M件炉、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形勘究，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)斟冕；若不存在口糕，請(qǐng)說明理由.
解析：
(1)
首先將點(diǎn)(-1,0)代入y=ax2+bx+c中，可得a-b+c=0①磕蛇；
對(duì)于這個(gè)含參不等式組景描，初中階段沒辦法求解，因此我們需要將它看作三個(gè)函數(shù)秀撇，即設(shè)y1=4x-12超棺，y2=2x2-8x+6，再加上y=ax2+bx+c呵燕，如果函數(shù)y的圖象“夾”在y1和y2之間棠绘，便可視為滿足條件，由于y1和y3已知虏等，我們不妨先看下它們是否有公共點(diǎn)弄唧，作為嘗試。
聯(lián)立y1和y3得方程4x-12=2x2-8x+6霍衫，解得x=3候引，說明這兩個(gè)函數(shù)有唯一公共點(diǎn)(3,0)，如下圖：
來(lái)點(diǎn)想像力敦跌，一次函數(shù)y1是一堵墻澄干，二次函數(shù)y2是一個(gè)大胖子挨著墻(唯一公共點(diǎn))逛揩，現(xiàn)在二次函數(shù)y要插到它們之間，那必須經(jīng)過那個(gè)唯一公共點(diǎn)(3,0)麸俘，將坐標(biāo)代入得9a+3b+c=0②辩稽；
由①式和②式我們可解得b=-2a，c=-3a从媚，于是y=ax2-2ax-3a逞泄，既然是唯一公共點(diǎn)，說明與一次函數(shù)y1聯(lián)立之后所得的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拜效，聯(lián)立方程4x-12=ax2-2ax-3a喷众，整理得ax2-(2a+4)x-3a+12=0，其中△=(2a+4)2-4a(-3a+12)=0紧憾，解得a=1到千，所以二次函數(shù)解析式為y=x2-2x-3；
(2)
作為典型的平行四邊形存在性探究赴穗，四個(gè)頂點(diǎn)中憔四，點(diǎn)A和點(diǎn)C是定點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上般眉，點(diǎn)M在y軸上了赵，我們從兩個(gè)定點(diǎn)出發(fā)，即線段AC煤篙，它可以是平行四邊形的邊斟览，也可以是對(duì)角線。
若AC為對(duì)角線辑奈，我們可得AN∥CM，由于A已烤、N均在x軸上鸠窗，所以CM∥x軸，說明點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C縱坐標(biāo)相等胯究，為-3稍计，代入y=x2-2x-3求得M(2,-3)，則CM=2裕循，而AN=CM=2臣嚣，可得點(diǎn)N1坐標(biāo)為(1,0)；
若AC為邊剥哑，不妨將線段AC向右平移硅则，使點(diǎn)C與點(diǎn)M重合，仍然可得AN=CM=2株婴，于是N2坐標(biāo)為(5,0)怎虫，如下圖：
還可以將線段AC向上平移，分別得到N3和N4，如下圖：
由平行四邊形性質(zhì)可知大审，點(diǎn)M2和點(diǎn)M3縱坐標(biāo)相同蘸际，所以只需要求出其中一個(gè)，另一個(gè)就容易得到徒扶，先看M3粮彤、A、C姜骡、N4構(gòu)成的平行四邊形导坟。
由平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，可知點(diǎn)C到x軸的距離溶浴，一定等于點(diǎn)M3到x軸的距離乍迄，所以將y=3代入y=x2-2x-3中，求出兩根為1-√7和1+√7士败，其中M3坐標(biāo)為(1-√7,3)闯两，它與點(diǎn)A橫坐標(biāo)相差2+√7個(gè)單位，而點(diǎn)N4與點(diǎn)C橫坐標(biāo)也相差2+√7個(gè)單位谅将，因此得到N4(-2-√7,0)漾狼，同理，求得點(diǎn)N3(-2+√7,0)饥臂；
綜上所述逊躁，符合條件的點(diǎn)N有四個(gè)，分別是(1,0),(5,0),(-2-√7,0),(-2+√7,0).
解題反思
作為壓軸題的第1小題隅熙，那個(gè)一元二次不等式組的確很“嚇人”稽煤，初中階段并沒有求解一元二次不等式組的內(nèi)容，但并不意味著本題超綱囚戚，事實(shí)上我們?cè)诰拍昙?jí)學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)酵熙，研究過二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再回顧八年級(jí)學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)驰坊，研究過一次函數(shù)與一元一次方程匾二、一元一次不等式的關(guān)系，所以關(guān)于不等式組與函數(shù)的關(guān)聯(lián)拳芙，其實(shí)早已建立察藐，從這個(gè)角度來(lái)看，出現(xiàn)二次不等式組舟扎，是希望從函數(shù)角度去理解分飞。
函數(shù)圖象的位置關(guān)系，教材中涉及到了一次函數(shù)浆竭、反比例函數(shù)浸须、二次函數(shù)惨寿，主要是研究它們間的公共點(diǎn)問題，區(qū)域最值問題等删窒，第1小題的設(shè)置很巧妙裂垦，考驗(yàn)了學(xué)生對(duì)函數(shù)關(guān)系理解的深度，那個(gè)唯一公共點(diǎn)是關(guān)鍵肌索。
本題第2小題蕉拢，屬于比較常見的平行四邊形存在性探究，體現(xiàn)? 了分類討論思想诚亚，只是由于前1個(gè)小題太過于“出彩”晕换，因此掩蓋了它的光芒。
我們?cè)诤瘮?shù)教學(xué)過程中站宗，如何才能讓學(xué)生理解得更深刻闸准，這是值得思考的一個(gè)問題，初中階段梢灭，函數(shù)本質(zhì)上是指兩個(gè)變量之間的關(guān)系夷家，有三種方式可表示這種關(guān)系，分別是解析式敏释、表格库快、圖象，理解函數(shù)圖象的性質(zhì)钥顽，需要明確圖象上的點(diǎn)代表的意義义屏，以本題為例，y1和y2有唯一公共點(diǎn)蜂大，這和y有什么關(guān)系闽铐？不等式y(tǒng)1≤y≤y2又如何解讀？
我們將這三個(gè)函數(shù)看作是一個(gè)隊(duì)列奶浦，由圖象可知對(duì)于任意實(shí)數(shù)y1≤y2阳啥，當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào)，現(xiàn)在y要插隊(duì)到二者之間财喳，也是當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào)，這相當(dāng)于y1斩狱、y耳高、y2都只能有唯一公共點(diǎn)(3,0)，并且對(duì)于任意實(shí)數(shù)所踊，y1在y的“上方”泌枪，y在y2的“上方”，再結(jié)合其余條件去求a的值秕岛。
2021年的廣東省中考數(shù)學(xué)碌燕，精彩不止于壓軸題误证，整卷難度較往年有突破，值得研究修壕。
