有一種很有意思的游戲切威，就是有物體若干堆，可以是火柴棍或是圍棋子等等均可丙号。兩個人輪流從堆中取物體若干先朦，規(guī)定最后取光物體者取勝。這是我國民間很古老的一個游戲犬缨，別看這游戲極其簡單喳魏，卻蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)原理。下面我們來分析一下要如何才能夠取勝怀薛。

（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n個物品刺彩，兩個人輪流從這堆物品中取物，規(guī)定每次至少取一個枝恋，最多取m個创倔。最后取光者得勝。
顯然焚碌，如果n=m+1畦攘，那么由于一次最多只能取m個，所以十电，無論先取者拿走多少個知押，后取者都能夠一次拿走剩余的物品，后者取勝摆出。因此我們發(fā)現(xiàn)了如何取勝的法則：如果 n=（m+1）r+s朗徊，（r為任意自然數(shù)，s≤m),那么先取者要拿走s個物品偎漫，如果后取者拿走 k（≤m)個爷恳，那么先取者再拿走m+1-k個，結(jié)果剩下（m+1）（r-1）個象踊，以后保持這樣的取法温亲，那么先取者肯定獲勝”兀總之栈虚，要保持給對手留下（m+1）的倍數(shù)，就能最后獲勝史隆。
這個游戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數(shù)魂务，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100者勝粘姜。

（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若干個物品鬓照，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規(guī)定每次至少取一個孤紧，多者不限豺裆，最后取光者得勝。 這種情況下是頗為復(fù)雜的号显。
我們用（ak臭猜，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1押蚤，2蔑歌，...,n)表示兩堆物品的數(shù)量并稱其為局勢，如果甲面對（0活喊，0）丐膝，那么甲已經(jīng)輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢钾菊。前幾個奇異局勢是：（0帅矗，0）、（1煞烫，2）浑此、（3，5）滞详、（4凛俱，7）、（6料饥， 10）蒲犬、（8，13）岸啡、（9原叮，15）、（11巡蘸，18）奋隶、（12，20）悦荒。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù),而 bk= ak + k唯欣，奇異局勢有如下三條性質(zhì)：
1、任何自然數(shù)都包含在一個且僅有一個奇異局勢中搬味。 由于ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù)境氢，所以有ak > ak-1 蟀拷，而 bk= ak + k > ak -1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質(zhì)1产还。成立匹厘。
2、任意操作都可將奇異局勢變?yōu)榉瞧娈惥謩荨?事實(shí)上脐区，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某一個分量她按，那么另一個分量不可能在其他奇異局勢中牛隅，所以必然是非奇異局勢。如果使（ak酌泰，bk）的兩個分量同時減少媒佣，則由于其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差陵刹，因此也是非奇異局勢默伍。
3、采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄋニ觯梢詫⒎瞧娈惥謩葑優(yōu)槠娈惥謩荨?br> 假設(shè)面對的局勢是（a,b）也糊，若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體羡宙，就變?yōu)榱似娈惥謩荩?狸剃，0）；如果a = ak 狗热，b > bk钞馁，那么，取走b - bk個物體匿刮，即變?yōu)槠娈惥謩萆耍蝗绻?a = ak ， b < bk ,則同時從兩堆中拿走 ak - ab - ak個物體,變?yōu)槠娈惥謩荩?ab - ak , ab - ak+ b - ak）熟丸；如果a > ak 训措，b= ak + k,則從第一堆中拿走多余的數(shù)量a - ak 即可；如果a < ak 虑啤，b= ak + k,分兩種情況隙弛，第一種，a=aj （j < k） ,從第二堆里面拿走 b - bj 即可狞山；第二種全闷，a=bj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - a j 即可。
從如上性質(zhì)可知萍启，兩個人如果都采用正確操作总珠，那么面對非奇異局勢屏鳍，先拿者必勝；反之局服，則后拿者取勝钓瞭。 那么任給一個局勢（a，b）淫奔，怎樣判斷它是不是奇異局勢呢山涡？我們有如下公式： ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0唆迁，1鸭丛，2，...,n 方括號表示取整函數(shù)) 奇妙的是其中出現(xiàn)了黃金分割數(shù)（1+√5）/2 = 1唐责。618...,因此,由ak鳞溉，bk組成的矩形近似為黃金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2鼠哥，可以先求出j=[a（√5-1）/2]熟菲，若a=[ j（1+√5）/2]，那么a = aj朴恳，bj = aj + j抄罕，若不等于，那么a = aj+1菜皂，bj+1 = aj+1 + j + 1贞绵，若都不是，那么就不是奇異局勢恍飘。然后再按照上述法則進(jìn)行榨崩，一定會遇到奇異局勢。
（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干個物品章母，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品母蛛，規(guī)定每次至少取一個，多者不限乳怎，最后取光者得勝彩郊。
這種情況最有意思，它與二進(jìn)制有密切關(guān)系蚪缀，我們用（a秫逝，b，c）表示某種局勢询枚，首先（0违帆，0，0）顯然是奇異局勢金蜀，無論誰面對奇異局勢刷后，都必然失敗的畴。第二種奇異局勢是（0，n尝胆，n）丧裁，只要與對手拿走一樣多的物品，最后都將導(dǎo)致（0含衔，0煎娇，0）。仔細(xì)分析一下贪染，（1逊桦，2，3）也是奇異局勢抑进，無論對手如何拿，接下來都可以變?yōu)椋?睡陪，n寺渗，n）的情形。
計算機(jī)算法里面有一種叫做按位模2加兰迫，也叫做異或的運(yùn)算信殊，我們用符號（+）表示這種運(yùn)算。這種運(yùn)算和一般加法不同的一點(diǎn)是1+1=0汁果。先看（1涡拘，2，3）的按位模2加的結(jié)果：
1 =二進(jìn)制01
2 =二進(jìn)制10
3 =二進(jìn)制11 （+）
———————
0 =二進(jìn)制00 （注意不進(jìn)位）
對于奇異局勢（0据德，n鳄乏，n）也一樣，結(jié)果也是0棘利。 任何奇異局勢（a橱野，b，c）都有a（+）b（+）c =0善玫。
如果我們面對的是一個非奇異局勢（a水援，b，c）茅郎，要如何變?yōu)槠娈惥謩菽兀?strong>假設(shè) a < b < c,我們只要將 c 變?yōu)?a（+）b,即可,因?yàn)橛腥缦碌倪\(yùn)算結(jié)果: a（+）b（+）(a（+） b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0蜗元。要將c 變?yōu)閍（+）b，只要從 c中減去 c-（ a（+）b）即可系冗。
例1奕扣。（14，21毕谴，39）成畦，14（+）21=27距芬，39-27=12，所以從39中拿走12個物體即可達(dá)到奇異局勢（14循帐，21框仔，27）。
例2拄养。（55离斩，81，121）瘪匿，55（+）81=102跛梗，121-102=19，所以從121中拿走19個物品就形成了奇異局勢（55棋弥，81核偿，102）。
例3顽染。（29漾岳，45，58）粉寞，29（+）45=48尼荆，58-48=10，從58中拿走10個唧垦，變?yōu)椋?9捅儒，4 5，48）振亮。
例4巧还。我們來實(shí)際進(jìn)行一盤比賽看看：
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇異局勢
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇異局勢
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇異局勢
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇異局勢
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇異局勢
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇異局勢
甲勝。
（四）Fibonacci博弈：
1双炕、問題模型：
有一堆個數(shù)為n的石子狞悲，游戲雙方輪流取石子，滿足：
（1）先手不能在第一次把所有的石子取完妇斤；
（2）之后每次可以取的石子數(shù)介于1到對手剛?cè)〉氖訑?shù)的2倍之間（包含1和對手剛?cè)〉氖訑?shù)的2倍）摇锋。 約定取走最后一個石子的人為贏家。
2站超、解決思路：
當(dāng)n為Fibonacci數(shù)時荸恕，先手必敗。即存在先手的必敗態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)石頭個數(shù)為Fibonacci數(shù)死相。
證明：根據(jù)“Zeckendorf定理”（齊肯多夫定理）：任何正整數(shù)可以表示為若干個不連續(xù)的Fibonacci數(shù)之和融求。如n=83 = 55+21+5+2，我們看看這個分解有什么指導(dǎo)意義：假如先手取2顆算撮，那么后手無法取5顆或更多生宛，而5是一個Fibonacci數(shù)县昂，那么一定是先手取走這5顆石子中的最后一顆，同理陷舅，接下去先手取走接下來的后21顆中的最后一顆倒彰，再取走后55顆中的最后一顆，那么先手贏莱睁。
反證：如果n是Fibonacci數(shù)待讳，如n=89：記先手一開始所取的石子數(shù)為y
（1）若y>=34顆（也就是89的向前兩項），那么一定后手贏仰剿，因?yàn)?9-34=55=34+21<2*34创淡。
（2）y<34時剩下的石子數(shù)x介于55到89之間，它一定不是一個Fibonacci數(shù)南吮，把x分解成Fibonacci數(shù)：x=55+f[i]+…+f[j]琳彩，若，如果f[j]<=2y部凑，那么對B就是面臨x局面的先手汁针，所以根據(jù)之前的分析，后手只要先取f[j]個即可砚尽，以后再按之前的分析就可保證必勝。
3辉词、練習(xí)題目：NYOJ 取石子游戲