形式級(jí)數(shù)法

本文介紹用形式級(jí)數(shù)法判別非線(xiàn)性系統(tǒng)的奇點(diǎn)類(lèi)型：

有如下平面系統(tǒng)：

$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = y, \\ \frac{dy}{dt} = -x + \beta x^2 + \gamma y^2 - \alpha y^3. \end{cases}$

試判斷奇點(diǎn) $O(0, 0)$ 的類(lèi)型，其中 $\alpha \neq 0$ 屑迂。

因?yàn)樗o系統(tǒng)右端解析浸策，且 $O(0, 0)$ 是其對(duì)應(yīng)線(xiàn)性系統(tǒng)的中心。所以這是細(xì)焦點(diǎn)和中心的問(wèn)題惹盼。應(yīng)用形式級(jí)數(shù)法庸汗，令

$F(x, y) = x^2 + y^2 + F_3(x, y) + F_4(x, y) + \cdots,$

沿系統(tǒng)的解求導(dǎo)數(shù)得

$\frac{dF}{dt} = \left(2x + \frac{\partial F_3}{\partial x} + \frac{\partial F_4}{\partial x} + \cdots\right) y + \left(2y + \frac{\partial F_3}{\partial y} + \frac{\partial F_4}{\partial y} + \cdots\right) \left(-x + \beta x^2 + \gamma y^2 - \alpha y^3\right).$

令 $\frac{dF}{dt} \equiv 0$ ，先考察 3 次齊次多項(xiàng)式項(xiàng)有

$y \frac{\partial F_3}{\partial x} - x \frac{\partial F_3}{\partial y} + 2\beta x^2 y = 0$

或

$-y \frac{\partial F_3}{\partial x} + x \frac{\partial F_3}{\partial y} = 2\beta x^2 y.$

化為極坐標(biāo)手报，令

$F_3(x, y) = F_3(r \cos \theta, r \sin \theta) \triangleq r^3 \Phi_3(\theta),$

則

$\frac{\partial}{\partial \theta} \left(r^3 \Phi_3(\theta)\right) = \frac{\partial F_3}{\partial x} (-r \sin \theta) + \frac{\partial F_3}{\partial y} (r \cos \theta).$

故方程的極坐標(biāo)形式為

$\Phi_3'(\theta) = 2 \beta \cos^2 \theta \sin \theta,$

解得周期函數(shù)

$\Phi_3(\theta) = -\frac{2}{3} \beta \cos^3 \theta.$
于是

$F_3(x, y) = r^3 \Phi_3(\theta) = -\frac{2}{3} \beta r^3.$

再考慮 $\frac{dF}{dt} \equiv 0$ 中的 4 次齊次多項(xiàng)式蚯舱，有

$y \frac{\partial F_4}{\partial x} - x \frac{\partial F_4}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial x} \beta x^2 + 2 \gamma x y^3 - 2 \alpha y^4 = 0,$

即

$-y \frac{\partial F_4}{\partial x} + x \frac{\partial F_4}{\partial y} = 2 \gamma x y^3 - 2 \alpha y^4.$

化為極坐標(biāo)得

$\Phi_4'(\theta) = 2 \gamma \cos \theta \sin^3 \theta - 2 \alpha \sin^4 \theta \triangleq \Psi_4(\theta),$

其中

$\Psi_4(\theta) = -2 \alpha \left( \frac{1 - \cos 2 \theta}{2} \right)^2 + 2 \gamma \cos \theta \sin^3 \theta = -\frac{3}{4} \alpha + \Psi_4^*(\theta),$

其中 $\Psi_4^*(\theta)$ 是周期為 $2\pi$ 的函數(shù)，且在 $[0, 2\pi]$ 的積分值為零掩蛤。由于 $\alpha \neq 0$ 枉昏，所以方程不存在周期為 $2\pi$ 的解。

考慮方程

$\Phi_4'(\theta) = \Psi_4(\theta) - \left(-\frac{3}{4} \alpha \right),$

它應(yīng)有周期為 $2\pi$ 的解揍鸟，記作 $\Phi_4(\theta)$ 兄裂，從而

$F_4(x, y) = r^4 \Phi_4(\theta)$

為 4 次齊次多項(xiàng)式，且由方程知

$\frac{\partial}{\partial \theta} \left( r^4 \Phi_4(\theta) \right) = r^4 \Psi_4(\theta) + \frac{3}{4} \alpha r^4.$

返回直角坐標(biāo)系得

$y \frac{\partial F_4}{\partial x} - x \frac{\partial F_4}{\partial y} = 2 \gamma x y^3 - 2 \alpha y^4 + \frac{3}{4} \alpha (x^2 + y^2)^2.$

取

$F(x, y) = x^2 + y^2 + F_3(x, y) + F_4(x, y),$

則

$\frac{dF}{dt} = y \frac{\partial F_4}{\partial x} - x \frac{\partial F_4}{\partial y} + 2 \gamma x y^3 - 2 \alpha y^4 + o(r^4),$

綜上可知

$\frac{dF}{dt} = -\frac{3}{4} \alpha (x^2 + y^2)^2 + o(r^4).$

所以當(dāng) $\alpha > 0$ 時(shí)阳藻， $O$ 為一階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)晰奖； $\alpha < 0$ 時(shí)， $O$ 為一階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)腥泥。

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