MBA老呂數(shù)學-5-幾何

@(MBA備考)

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1 平面圖形

三角形

三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

常用面積公式：
$S=\frac{1}{2}ab \cdot sinC醒串，\angle C$ 是a城侧，b邊所夾的角

海倫公式：(p是三角形周長的一半)
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

內(nèi)外切圓半徑求面積： $S=rp=\frac{abc}{4R}$ ,r是內(nèi)切圓半徑，R是外接圓半徑劫拢，p是周長一半
等邊三角形面積：a是邊長
$S=\frac{\sqrt3}{4}\cdot a^2$

三角形有：重心（中線1：2）、垂心（高）胖缤、內(nèi)心（角平分線尚镰，內(nèi)切圓心）、外心（垂直平分線哪廓，外接圓心）
等邊三角形四心合一狗唉，稱為“中心”

四邊形

平行四邊形面積：a為底邊高為h
$S=a \cdot h$
菱形面積：兩 $l$ 是兩條對角線
$S=a \cdot h= \frac{1}{2}l_1\cdot l_2$
梯形中位線：
$l=\frac{a+b}{2}$
梯形面積：
$S = \frac{(a+b)\cdot h}{2}$

多邊形內(nèi)角和= $180^∥姓妫×(n-2)$
四邊形=360 分俯；五邊形=540 ；六邊形=720

蝴蝶定理

[圖片上傳失敗...(image-5ec3fe-1572102303129)]
任意梯形有：左右相等哆料，上下相似缸剪。① $S_{II} = S_{III}$ ， ② $\Delta_I ∽ \Delta_{IV}$ 相似比為 $=\frac{AO}{OC}$

圓與扇形

過圓心的弦东亦，是圓內(nèi)最長的弦杏节，稱為直徑。
度與弧度： $180^典阵。=π 奋渔，60^。=\frac{π}{3}$
圓心角壮啊，圓周角嫉鲸，弦切角
扇形弧長： $l=\frac{α}{360}\cdot 2πr=r\cdot θ$ ,θ是扇形弧度數(shù)，α為扇形的角度
扇形面積： $S=\frac{α}{360}\cdot πr^2=\frac{1}{2}lr$ 歹啼，α為扇形的角度玄渗，l為扇形弧長

2 空間幾何體

長方體對角線 $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
球體體積： $V=\frac{4}{3}πR^3$
球體表面積： $S=4πR^2$

3 解析幾何

點

兩點間距離：
$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
中點坐標公式：
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

直線

垂直于x軸的線座菠，沒有斜率，斜率常用k表示藤树。
點斜式方程：無法表示無斜率(垂直)的線
$y-y_0=k(x-x_0)$
斜截式方程：無法表示無斜率(垂直)的線
$y=kx+b$
兩點式方程：無法表示(垂直+水平)的線
$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
截距式方程（特殊兩點式）：過（a,0）(0,b)兩點浴滴，**無法表示(垂直+水平)的線
$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$
一般式：（A,B不同時為0）
$Ax+By+C=0,k=-\frac{A}{B}$

三角形 $\Delta ABC$ 三個角坐標(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3),則三角形的<font color=red>重心坐標</font>是：
$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

兩斜率分別為 $k_1,k_2$ 的直線相互垂直,則：
$k_1 \cdot k_2 =-1$

點與直線

點不在直線上時也榄，點 $(x_0,y_0)$ 到直線Ax+By+C=0的距離d為：
$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

求點關于直線的對稱點：點 $(p_1,p_1)$ 與點 $(p_2,p_2)$ 關于直線Ax+By+C=0對稱巡莹。則有：
$\begin{cases} A(\frac{x_1+x_2}{2})+B(\frac{y_1+y_2}{2})+C=0 \\ \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{B}{A} \end{cases}$

直線與直線

兩直線平行

斜截式
$l_1 //\ l_2 \Leftrightarrow k_1=k_2,b_1 \neq b_2$
一般式
$l_1 //\ l_2 \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$
平行線距離
$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

兩直線相交

一般式下：
$兩直線相交 \Leftrightarrow \frac{A_1}{B_1}\neq \frac{A_2}{B_2}$
交點
聯(lián)立兩直線式司志，求唯一解甜紫。
夾角：（斜截式，兩線不垂直）
$tan\ α=\left| \frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2} \right|$

垂直

斜率乘積 $=-1$
$k_1 \cdot k_2 =-1$
一般式：
$\frac{A_1}{B_1}=\frac{-B_2}{A_2}$

圓

標準方程：
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
一般方程：
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$
$(x+\frac{D}{2})^2 + (y+\frac{E}{2})^2 = \big(\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}\big)^2$
圓心： $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$
半徑： $\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$

點與圓

與圓心的距離>r , =r , <r骂远。三種情形

直線與圓

d>r , d=r , d < r

圓的切線

過圓上 $P(x_0,y_0)$ 作圓的切線囚霸。
切線標準式：
$x_0x+y_0y=r^2$
切線一般式：
$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$

圓與圓

兩圓圓心半徑分別為： $O_1,r_1;O_2,r_2$ 圓心距為d
外離： $d>r_1+r_2$
外切： $d=r_1+r_2$
相交： $|r_1-r_2|<d<r1+r2$
內(nèi)切： $d=|r1-r2|$
內(nèi)含： $d<|r_1-r_2|$

其他

1、三角形的相似與全等

相似三角形的兩種用法：

用來求線段長度或線段之間的關系
面積比等于相似比的平方

2激才、求陰影部分的面積（重點）

常用割補法拓型，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形
要找到圖形之間的等量關系
真題的圖形肯定是準確的，可以用尺子和量角器量瘸恼，在進行估算劣挫。簡單有效。

3东帅、空間幾何體問題

長方體（正方體/圓柱體）外接球直徑 = 長方體（正方體/圓柱體）的體對角線長
正方體內(nèi)結球直徑 = 正方體棱長
圓柱體內(nèi)結球：內(nèi)結球直徑 = 圓柱體的高压固；內(nèi)結球橫截面 = 圓柱體的底面

4、直線與直線位置關系

平行：斜率相等且截距不等靠闭，或兩直線的斜率都不存在
相交：①斜率不等 ②或一條直線斜率存在帐我，另一條不存在
垂直

5、直線與圓的位置關系（重點）

實質(zhì)是圓心到直線的距離愧膀。
求圓切線方程時拦键，先設直線方程為Ax+By+C=0 或 y=k(x-a)+b，再利用點到直線的距離等于半徑檩淋，來求芬为。

6、圓與圓的位置關系

圓與圓有五種關系：相離蟀悦、外切媚朦、內(nèi)切、相交熬芜、內(nèi)含
知圓到弦的距離求弦長莲镣，用直角三角形勾股定理。
【易錯點】如果題目說兩圓相切涎拉，一定要注意可能有兩種情況瑞侮，內(nèi)切與外切的圆。

已知兩圓C1、C2相交半火，則有：兩圓公共弦的直線方程 = 兩圓方程相減

7越妈、過定點問題

恒過定點問題：

方法一：先整理成形如 aλ+b=0 的形式，再令a=0钮糖，b=0
方法二：直接把λ取特殊值梅掠，如0，1代入組成方程組店归，即可求解阎抒。

$(A_1x+B_1y+C_1)λ+(A_2x+B_2y+C_2)=0$ 的圖像必經(jīng)過兩直線 $A_1x+B_1y+C_1=0，A_2x+B_2y+C_2=0$ 的交點消痛。

8且叁、對稱問題

正方形

形如 $|x+a|+|y+b|=c$ 的方程表達的是正方形。
矩形周長L不變時秩伞，當邊長 $a=\frac{1}{4}L$ 時逞带，即成正方形時，面積最大纱新。

圓的切割線定理

image.png

$|CP|^2=|AP|\cdot|BP|$

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線展氓，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
切割線定理的推論：從圓外一點引圓的兩條割線脸爱，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

常用數(shù)值

<font color=red>不考三角函數(shù)</font>
幾個常見三角函數(shù)數(shù)值得會
$sin0^遇汞。=cos90^。= 0$
$sin30^阅羹。=cos60^勺疼。=\frac{1}{2}$
$sin45^。=cos45^捏鱼。=\frac{\sqrt2}{2}$
$sin60^执庐。=cos30^。=\frac{\sqrt3}{2}$
$sin90^导梆。=cos0^轨淌。= 1$
$sin α = sin(180^。- α)$

$tan 0^看尼。= 0$
$tan 30^递鹉。=\frac{\sqrt3}{3}$
$tan 45^。=1$
$tan 60^藏斩。=\sqrt3$
$tan 90^躏结。=$ 不存在

解題思路

重要：解析幾何需要畫圖，用直尺按比例畫狰域。40%題畫完圖就能解媳拴。50%需要畫圖來輔助理解黄橘。10%題目畫圖后無法解出。
tan α就是直角三角形屈溉，對邊除鄰邊
近幾年考題解析幾何多出現(xiàn)動態(tài)題（即含參數(shù)）

最后編輯于：2019.10.27 10:29:47

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1 平面圖形

三角形

四邊形

蝴蝶定理

圓與扇形

2 空間幾何體

3 解析幾何

點

直線

點與直線

直線與直線

兩直線平行

兩直線相交

垂直

圓

點與圓

直線與圓

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正方形

圓的切割線定理

常用數(shù)值

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