圖信號處理室離散信息處理理論在圖信號領(lǐng)域應用，通過對傅里葉變換垦写、濾波等信號處理基本概念的遷移研究對圖信號的壓縮蚣旱、變換碑幅、重構(gòu)等信號處理的基礎(chǔ)任務。
一塞绿、圖信號與圖的拉普拉斯矩陣
給定圖G=(V,E)沟涨，V表示圖中節(jié)點集合,圖信號是一種描述V->R的映射，表示成向量形成x=[x1,x2,..Xn]T异吻，xi表示節(jié)點vi上的信號強度裹赴。
與離散信號不同，圖信號是定在節(jié)點上的信號涧黄，節(jié)點與節(jié)點之間固有關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)篮昧。
拉普拉斯矩陣是用來研究圖結(jié)構(gòu)性質(zhì)的核心對象，定義如下L=D-A笋妥。A是鄰接矩陣，是否與鄰居相連窄潭，自相連為0春宣，不是鄰居的為0。D是一個對角矩陣嫉你，表示節(jié)點的度月帝，如果i=j則為度，如果ij屬于邊為-1幽污，否則為0嚷辅。正則化表示為 ，如果i=j為1距误，
屬于邊為
,否則為0簸搞。
拉普拉斯算子是n維歐式空間中的一個二階算子，如果將算子退化到離散二維圖像空間准潭，變成了邊緣檢測算子趁俊。拉普拉斯算子描述與中心像素與局部上下左右四鄰居像素的差異，這個性質(zhì)可以用作圖像上邊緣檢測算子刑然。在圖信號中寺擂，拉普拉斯算子也被用來描述中心節(jié)點與鄰居節(jié)點之間的信號差異。定義非常重要的二次型，怔软，圖信號的總變差垦细，標量將各條邊上新信號的差值進行嘉禾，刻畫了圖信號整體上的平滑度挡逼。
二括改、圖的傅里葉變換
傅里葉變換是數(shù)據(jù)信號處理的基石，將信號從時域空間轉(zhuǎn)換到頻域空間挚瘟，頻域視角給信號處理帶來了極大的便利叹谁，圍繞傅里葉變換，信號的濾波乘盖、壓縮焰檩、卷積等操作都有了完備的理論定義，為一些實際的工程應用订框，如信號去躁析苫、壓縮、重構(gòu)等任務提供了理論指導穿扳。
假設(shè)圖G的拉普拉斯矩陣
,由于L是一個實對稱矩陣衩侥，根據(jù)實對稱矩陣都可以被正交化，可得 ,V是一個正交矩陣
矛物，特征向量為彼此之間線性無關(guān)的單位向量茫死。
表示第k個特征向量對應的特征值，對特征值進行降序排列
履羞。
對于給定的向量x,拉普拉斯的二次型峦萎，拉普拉斯是一個半正定矩陣，其所有的特征值都大于等于0忆首，且存在上限
圖傅里葉變換對于任意一個在圖G上的信號x,圖傅里葉變換為
特征向量為傅里葉基爱榔，是x在第k個傅里葉基上的傅里葉系數(shù)，傅里葉基系數(shù)本質(zhì)上是圖信號在傅里葉基上的投影糙及，衡量了圖信號與傅里葉基之間的相似度详幽，V是正交矩陣，矩陣形式為
,左式乘V浸锨，則
于是我們可以用矩陣形式逆傅里葉變換唇聘，從線性代數(shù)角度，V組成了完備基向量揣钦，圖G上任意一個圖信號可以被表征為這些基向量的線性加權(quán)雳灾。
特征值等價為頻率，特征值越低冯凹，頻率越低谎亩，對應的傅里葉變化越緩慢炒嘲，相似節(jié)點上的信號值趨于一致；特征值越高匈庭，頻率越高夫凸，對應傅里葉變化得越劇烈，相近節(jié)點上的信號值高度不一致阱持。
定義好圖傅里葉變換后夭拌，從頻域視角去研究圖信號，圖信號所有的傅里葉系數(shù)合在一起稱為該信號的頻譜衷咽。在一個給定的圖中鸽扁，圖信號的頻譜等價于一種身份，運用逆傅里葉變換镶骗，完整推導出空域中的圖信號桶现。
