一扎酷、非數(shù)學(xué)專業(yè)的人適不適合讀數(shù)學(xué)
非數(shù)學(xué)專業(yè)的人適不適合讀數(shù)學(xué)隙弛？如果我們?nèi)?wèn)科班出身的人，會(huì)發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)的回答是非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)不適合來(lái)讀數(shù)學(xué)帅刊。原因在于缺乏數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的訓(xùn)練。比如說(shuō)你直接開始看研究生的課漂问，會(huì)連課本都看不懂赖瞒。我們?cè)趺纯创@種認(rèn)識(shí)女揭？他們這種看法有一定道理，但是過(guò)于片面了栏饮。非數(shù)學(xué)專業(yè)的來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)田绑，他的動(dòng)力他的興趣會(huì)比較的強(qiáng)，這是一個(gè)方面抡爹。另一個(gè)方面掩驱，當(dāng)你在什么問(wèn)題都還沒(méi)有開始想的時(shí)候，給你太多基礎(chǔ)的訓(xùn)練是好事的同時(shí)也是一件壞事冬竟。
好的一方面是你掌握了一些數(shù)學(xué)語(yǔ)言欧穴，并且懂得一些基本的邏輯。壞的一方面是它將會(huì)以一種固定的方式限制你的思維泵殴。比如說(shuō)我們對(duì)于數(shù)學(xué)到底想做什么的問(wèn)題并不清楚涮帘，我們不知道數(shù)學(xué)想干什么，不知道數(shù)學(xué)到底是怎么回事笑诅，然后就被告訴說(shuō)這道題就該這么解调缨，這么解就對(duì)。如果你問(wèn)為什么要這么解吆你，很多時(shí)候得不到任何想要的回答弦叶。而非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)在看待很多問(wèn)題的時(shí)候，思想可能會(huì)更開放妇多。
比如說(shuō)跟數(shù)學(xué)專業(yè)的人討論伤哺，他可能第一反應(yīng)是你這個(gè)邏輯對(duì)不對(duì)，你這個(gè)細(xì)節(jié)有沒(méi)有問(wèn)題者祖。這是他的第一個(gè)反應(yīng)立莉。你如果跟其他專業(yè)的人去討論，他們可能首先關(guān)注你的想法是什么七问，你想解決什么問(wèn)題蜓耻，你這個(gè)想法能不能解決這些問(wèn)題，而不拘泥于一些很細(xì)節(jié)的東西械巡。如果你說(shuō)的這條路對(duì)了刹淌，嚴(yán)格化只是一個(gè)手段。嚴(yán)格的證明能夠保證我們不出錯(cuò)坟比，但是嚴(yán)格的證明不能保證我們想到解決問(wèn)題的思路芦鳍。
事實(shí)上，科班出身的同學(xué)葛账，由于受今天數(shù)學(xué)教育的一個(gè)影響柠衅，形式化思維會(huì)很嚴(yán)重。我們舉個(gè)n維歐式空間的例子籍琳。在歷史上菲宴，人們首先發(fā)現(xiàn)了實(shí)數(shù)贷祈，也就是一維的歐式空間，然后根據(jù)現(xiàn)實(shí)需要推廣到高維的n維空間喝峦。但是從數(shù)學(xué)的角度看势誊， n維空間是更基本的東西，一維空間只是n等于1的特殊情況谣蠢。于是講的時(shí)候可以從n維的歐式空間開始講粟耻，再令n等于1得到一維空間的特殊結(jié)果。而且這樣講顯得這個(gè)問(wèn)題更深刻眉踱。
如果是這樣的思維挤忙，對(duì)于數(shù)學(xué)為何產(chǎn)生，數(shù)學(xué)要解決什么樣的問(wèn)題谈喳，抽象的數(shù)學(xué)和具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題有什么樣的聯(lián)系這些非常重要的問(wèn)題是不會(huì)引起思考的册烈，比如說(shuō)現(xiàn)實(shí)的物理空間是三維的，有了相對(duì)論之后加上時(shí)間研究四維時(shí)空婿禽，人們?yōu)槭裁匆芯恳话愕膎維空間赏僧，它的動(dòng)力來(lái)源于哪里，它的應(yīng)用又為何正確扭倾？
從這個(gè)問(wèn)題講淀零，一方面是想告訴大家，數(shù)學(xué)專業(yè)本身去學(xué)數(shù)學(xué)有它的優(yōu)勢(shì)吆录，要知道自己的優(yōu)勢(shì)在什么地方窑滞，但也要知道自己的不足琼牧，要想辦法去彌補(bǔ)這些不足恢筝。而另一方面如果有非數(shù)學(xué)專業(yè)的人致力于研究數(shù)學(xué)，那么也有他的優(yōu)勢(shì)巨坊，但也有他的不足撬槽，也是要把自己的優(yōu)勢(shì)發(fā)揮出來(lái)，同時(shí)想辦法通過(guò)一定的訓(xùn)練來(lái)彌補(bǔ)自己的不足趾撵。
二侄柔、概率論的起源
概率論要解決什么問(wèn)題？我們?nèi)祟悶槭裁匆氵@一門學(xué)科占调？
概率論在歷史上的出現(xiàn)源于賭金的分配暂题，從這個(gè)時(shí)候開始出現(xiàn)了概率相關(guān)的問(wèn)題，但概率論真正成型和發(fā)展并不單純是由于這些問(wèn)題究珊，更大的動(dòng)力來(lái)源是生產(chǎn)實(shí)踐薪者。我們現(xiàn)在來(lái)考察一個(gè)燈泡生產(chǎn)商。顧客要來(lái)買燈泡剿涮，肯定關(guān)心廠家的燈泡能燒多久言津，產(chǎn)品的質(zhì)量有沒(méi)有保證攻人。如果是一個(gè)具體的燈泡，它要燒多久悬槽，我們可以讓它一直燒怀吻，看它什么時(shí)候燒壞了〕跗牛可問(wèn)題在于蓬坡，經(jīng)過(guò)測(cè)試之后，燈泡就報(bào)廢了“跖眩現(xiàn)實(shí)生活中我們不能用這樣的思路解決問(wèn)題渣窜。我們必須想辦法通過(guò)其它手段來(lái)解決它，并給出令人信服的結(jié)論宪躯。
如果對(duì)于同樣的材料乔宿，同樣的生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)的同一批燈泡访雪，我們認(rèn)為它的一個(gè)質(zhì)量大概是穩(wěn)定的详瑞。怎么叫做大概是穩(wěn)定的呢？就是說(shuō)把這一批燈泡全都拿過(guò)來(lái)燒臣缀，可能有的燒的時(shí)間特別短坝橡，有的可能燒的時(shí)間特別長(zhǎng)，但是對(duì)于絕大多數(shù)的燈泡而言精置，它燒的時(shí)間就會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)值附近计寇。
基于這樣的想法，如果一次生產(chǎn)了2萬(wàn)個(gè)燈泡脂倦，雖然不能把2萬(wàn)個(gè)都燒了番宁，但抽100個(gè)出來(lái)燒一下是沒(méi)問(wèn)題的。燒一下之后赖阻，這100個(gè)可能有10個(gè)連200個(gè)小時(shí)都沒(méi)燒夠蝶押，可能還有15個(gè)直接燒過(guò)了8000個(gè)小時(shí)，但是剩下的絕大多數(shù)都在三四千個(gè)小時(shí)左右火欧。這個(gè)時(shí)候就說(shuō)這批燈泡它大概比較穩(wěn)定的燒的時(shí)長(zhǎng)是4000個(gè)小時(shí)棋电。比如說(shuō)超過(guò)80%合格，那么對(duì)于這樣的一個(gè)生產(chǎn)工藝苇侵，它就是達(dá)到了一個(gè)及格線的赶盔，當(dāng)然需要改進(jìn)，但是可以繼續(xù)用榆浓。你再去買燈泡的時(shí)候于未，你可能也會(huì)偶然買到壞的，但是你不會(huì)說(shuō)我一連買了100個(gè)全是壞的。這是一類我們需要用概率論解決的問(wèn)題沉眶。
概率論這門學(xué)科它之所以能夠成型打却，第一個(gè)很基本的步驟就是概率這個(gè)概念的產(chǎn)生。現(xiàn)實(shí)當(dāng)中有很多問(wèn)題谎倔，雖然說(shuō)每考察一個(gè)都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)確定的結(jié)果柳击，但我們?cè)谔幚韱?wèn)題的時(shí)候不能這樣去處理。我們發(fā)現(xiàn)在考慮多次或者多個(gè)的時(shí)候片习，它會(huì)有一個(gè)穩(wěn)定性的東西捌肴，也就是概率這個(gè)概念∨河剑或者說(shuō)概率這個(gè)概念状知，是把這個(gè)穩(wěn)定性抽象出來(lái)。但是抽象出來(lái)還不算是數(shù)學(xué)孽查，還只是一個(gè)想法饥悴，抽象出來(lái)之后，還得有數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)它盲再，有數(shù)學(xué)方法去處理它西设。
在研究的時(shí)候也發(fā)現(xiàn)另外一些問(wèn)題。比如你去研究不同的問(wèn)題答朋，它所滿足的模式還不太一樣贷揽。從一個(gè)袋子里抓小球，抓出來(lái)放不放回去梦碗，你會(huì)發(fā)現(xiàn)不同的概率它又有不同的模式禽绪。所以就得搞概型，其實(shí)一個(gè)概型就是一類概率問(wèn)題洪规，用這一個(gè)概念來(lái)解決這一類問(wèn)題印屁。這些基本的概念和理論成型之后，它會(huì)抽象出一些數(shù)淹冰、一些數(shù)量關(guān)系库车，然后就需要把相應(yīng)的概率做一些計(jì)算。
剛剛我們講了賭金分配促使了概率論的偶然發(fā)生樱拴，而概率論真正成型和發(fā)展應(yīng)當(dāng)歸功于生產(chǎn)實(shí)踐。大家想洋满，我們先把概率論的歷史起源和基本認(rèn)識(shí)搞清楚晶乔，具體一個(gè)概型的概率怎么算拗窃、為什么這么算等等這些東西一點(diǎn)一點(diǎn)去搞就行了试和，這樣的學(xué)習(xí)思路是不是更加清晰高效呢？
三趣兄、高等數(shù)學(xué)要研究什么東西
高等數(shù)學(xué)的核心是微積分驻民，那微積分是從什么問(wèn)題來(lái)的翻具？答案是運(yùn)動(dòng)履怯。在15、16世紀(jì)之前裆泳，整個(gè)數(shù)學(xué)都處于常量數(shù)學(xué)時(shí)期叹洲，也就是初等數(shù)學(xué)時(shí)期，而從資本主義萌芽興起之后漸漸地過(guò)渡工禾，發(fā)展成了變量數(shù)學(xué)运提。為了反抗宗教神學(xué)，以伽利略和笛卡爾為代表的近代自然科學(xué)的先驅(qū)闻葵，開始去大量的研究運(yùn)動(dòng)問(wèn)題民泵。你比如說(shuō)他們?nèi)パ芯刻祗w運(yùn)動(dòng)，神學(xué)講天體沿著圓周在運(yùn)動(dòng)槽畔，那是因?yàn)橛猩系墼谕苿?dòng)栈妆。又為什么是圓周？因?yàn)樯系凼峭昝赖南峋钔昝赖那€是圓周签钩，所以天體沿著圓周在運(yùn)動(dòng)。人們通過(guò)一定的研究坏快，發(fā)現(xiàn)這個(gè)軌跡不是圓周铅檩，而是橢圓。然后通過(guò)牛頓等人做一個(gè)總結(jié)莽鸿，告訴人們天體運(yùn)動(dòng)不是有上帝在推動(dòng)昧旨，而是萬(wàn)有引力的影響，是自然規(guī)律的作用祥得。
再到后面人們發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的研究還有它的生產(chǎn)力意義兔沃，運(yùn)動(dòng)的研究是整個(gè)社會(huì)的發(fā)展向人們提出的現(xiàn)實(shí)要求。
從物理學(xué)的角度研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)是我們熟知的情形级及，化學(xué)同樣會(huì)從化學(xué)的角度去研究運(yùn)動(dòng)乒疏，比如在分子和原子層面考慮化學(xué)鍵的分裂、結(jié)合饮焦。不同的學(xué)科有各自不同的研究對(duì)象怕吴，從不同的角度去研究，但是它們都涉及一類共性的問(wèn)題县踢，就是數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題转绷。而數(shù)學(xué)恰恰是來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題的，所以它就給數(shù)學(xué)提出了現(xiàn)實(shí)的需要硼啤。也就是說(shuō)人們需要從而且只從數(shù)量關(guān)系的角度研究運(yùn)動(dòng)议经，這正是數(shù)學(xué)這門學(xué)科所要解決的問(wèn)題。當(dāng)社會(huì)發(fā)展向人們提出研究運(yùn)動(dòng)需要的時(shí)候，就賦予了數(shù)學(xué)相應(yīng)的任務(wù)和歷史使命煞肾。
為了完成這樣一個(gè)任務(wù)咧织，承擔(dān)從數(shù)量關(guān)系研究運(yùn)動(dòng)這樣的一個(gè)歷史使命的學(xué)科就是微積分，微積分是從這個(gè)地方來(lái)的籍救，它要干的也就是這個(gè)事情习绢。
當(dāng)數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量的時(shí)代，它的研究對(duì)象钧忽、研究問(wèn)題不一樣了毯炮，它的研究方法也發(fā)生了變化。數(shù)論里面產(chǎn)生了解析數(shù)論耸黑，幾何學(xué)也出現(xiàn)了解析幾何和微分幾何桃煎。
四、笛卡爾的貢獻(xiàn)
在微積分出現(xiàn)之前大刊，有一個(gè)必須要提的數(shù)學(xué)家——笛卡爾为迈。怎么看待笛卡爾的數(shù)學(xué)成就呢？也就是說(shuō)怎么評(píng)價(jià)坐標(biāo)系的意義呢缺菌？
如果沒(méi)有笛卡爾坐標(biāo)系葫辐，今天的數(shù)學(xué)會(huì)是什么樣子？數(shù)和形結(jié)合不到一塊伴郁，也不會(huì)產(chǎn)生變量耿战，我們可能一直處在初等數(shù)學(xué)時(shí)期。
笛卡爾坐標(biāo)系的建立焊傅，最直接的意義是解析幾何這門學(xué)科的誕生剂陡，里面包含一個(gè)觀念的轉(zhuǎn)變，也就是引入了動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)狐胎。人們不再把一條曲線單純地看作曲線了鸭栖，還可以把它看作是點(diǎn)的軌跡，這是從形的角度說(shuō)握巢。那從數(shù)的角度看晕鹊，會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)可以變，可以有一個(gè)變化的范圍暴浦，也就是說(shuō)變量的概念產(chǎn)生了溅话。變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，如果連變量都沒(méi)有肉渴，連變量都沒(méi)辦法刻畫公荧，自然沒(méi)有發(fā)展的舞臺(tái)，這是笛卡爾坐標(biāo)系它真正的數(shù)學(xué)意義同规。所有的變量數(shù)學(xué)，都可以看作是從笛卡爾這個(gè)地方起源的。
他的這項(xiàng)工作券勺，并沒(méi)有證明什么高深的定理绪钥，但他搞的這個(gè)東西開啟了整個(gè)變量數(shù)學(xué)的時(shí)代。因此关炼，笛卡爾是世界一流的數(shù)學(xué)家程腹，是和牛頓、萊布尼茨同等層次的大數(shù)學(xué)家儒拂。
五寸潦、函數(shù)的誕生
有了變量之后，也就有了函數(shù)社痛，函數(shù)的概念最早由歐拉定義见转，但在這之前數(shù)學(xué)家們也一直在研究函數(shù)。函數(shù)其實(shí)就是變量對(duì)變量的依附關(guān)系蒜哀，這些變量在其它學(xué)科里面是具體的量斩箫，比如速度、電流等等撵儿，但在數(shù)學(xué)這里乘客，變量只保留了數(shù)量在一定范圍內(nèi)可以發(fā)生變化的特點(diǎn)。函數(shù)是微積分的研究對(duì)象淀歇，這里主要的還是連續(xù)函數(shù)易核。那么我們需要什么樣的方法進(jìn)行研究呢？
極限的概念并不直觀浪默，因?yàn)闃O限是倒著來(lái)的牡直。比如說(shuō)一個(gè)人從地方A走到地方B，極限的看法是我先走到了地方B浴鸿，再往回看我1/2的時(shí)間走到了哪里井氢，1/4的時(shí)間走到哪里。極限是當(dāng)這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程完成之后回過(guò)頭來(lái)看的岳链，它和人們的直觀思考方式不太一樣花竞。牛頓產(chǎn)生了極限這個(gè)想法，但他自己也不是很肯定掸哑，到了晚年他也還是想用這個(gè)東西约急，但畢竟微積分沒(méi)有跟著牛頓的思路發(fā)展。當(dāng)時(shí)牛頓和萊布尼茨爭(zhēng)奪微積分發(fā)明的優(yōu)先權(quán)苗分，導(dǎo)致整個(gè)歐洲的數(shù)學(xué)分裂成了兩部分厌蔽，一部分是以牛頓為代表的英國(guó)數(shù)學(xué)家群體，一部分是以萊布尼茨為代表的歐洲大陸數(shù)學(xué)家們摔癣。英國(guó)那一派沒(méi)走下去奴饮，雖然也出了麥克勞林纬向、泰勒等人，可是這些人做的東西顯然沒(méi)辦法跟歐拉戴卜、拉格朗日等人相比逾条。
如果要研究運(yùn)動(dòng)，y隨著x變化投剥，自然的做法是去考察x變一點(diǎn)點(diǎn)的時(shí)候师脂，y怎么變。而這也就是我們微積分研究的無(wú)窮小方法,沿著這個(gè)方法就構(gòu)成了19世紀(jì)之前整個(gè)微積分的發(fā)展江锨。微積分誕生之后吃警，它自身作為工具，又可以去研究微分方程啄育，也可以用微分去研究幾何（微分幾何）酌心。常微分方程在18世紀(jì)的時(shí)候，解法就已經(jīng)研究得比較清楚了灸撰，此時(shí)的物理學(xué)還主要停留在力學(xué)的研究時(shí)代谒府，所以偏微分方程主要是以弦振動(dòng)方程為代表的一些簡(jiǎn)單的波動(dòng)方程。到了19世紀(jì)物理學(xué)進(jìn)入了電磁學(xué)和熱學(xué)等的研究時(shí)代浮毯，所以19世紀(jì)的偏微分方程的發(fā)展又是以熱傳導(dǎo)方程完疫、拉普拉斯方程為代表，格林函數(shù)法等解法也在這時(shí)誕生债蓝。
從這些東西我們可以看到微積分是從什么地方來(lái)的壳鹤，要解決什么問(wèn)題，研究微積分的過(guò)程中是怎么把這樣的一些想法轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的方式饰迹，它需要什么樣的概念芳誓。我們就要把這些問(wèn)題搞清楚，而這些問(wèn)題又需要結(jié)合數(shù)學(xué)本身演化的歷史來(lái)把它搞清楚啊鸭，也就是我們講的歷史和邏輯相一致的問(wèn)題锹淌。
人類為什么要研究數(shù)學(xué)？通過(guò)剛才對(duì)數(shù)學(xué)史的講解赠制，我們把邏輯過(guò)程還原為認(rèn)識(shí)過(guò)程赂摆，能夠發(fā)現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)不是現(xiàn)在這個(gè)樣子。其實(shí)未來(lái)的數(shù)學(xué)也不是今天這個(gè)樣子钟些，數(shù)學(xué)要有一個(gè)歷史的發(fā)展烟号。很多人把數(shù)學(xué)當(dāng)成是既定的這個(gè)樣子，但是我們知道數(shù)學(xué)有它自己要完成的任務(wù)政恍，因?yàn)閿?shù)學(xué)要解決現(xiàn)實(shí)的數(shù)量關(guān)系汪拥、空間形式等，把數(shù)量關(guān)系的規(guī)律篙耗、空間形式的規(guī)律給它揭示出來(lái)迫筑，所以在它發(fā)展到一定階段時(shí)宪赶，它可能會(huì)有一些質(zhì)的變化，這是數(shù)學(xué)自身的發(fā)展規(guī)律铣焊。數(shù)學(xué)的發(fā)展最終也一定會(huì)朝著更好地為人類服務(wù)的方向前進(jìn)逊朽。
文章來(lái)源：數(shù)學(xué)經(jīng)緯網(wǎng)公眾號(hào)
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