一、非數(shù)學(xué)專業(yè)的人適不適合讀數(shù)學(xué)

非數(shù)學(xué)專業(yè)的人適不適合讀數(shù)學(xué)？如果我們?nèi)柨瓢喑錾淼娜硕咕蓿瑫?huì)發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)的回答是非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)不適合來讀數(shù)學(xué)。原因在于缺乏數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的訓(xùn)練掐场。比如說你直接開始看研究生的課往扔，會(huì)連課本都看不懂。我們?cè)趺纯创@種認(rèn)識(shí)熊户？他們這種看法有一定道理萍膛，但是過于片面了。非數(shù)學(xué)專業(yè)的來學(xué)數(shù)學(xué)嚷堡，他的動(dòng)力他的興趣會(huì)比較的強(qiáng)蝗罗，這是一個(gè)方面。另一個(gè)方面蝌戒，當(dāng)你在什么問題都還沒有開始想的時(shí)候串塑，給你太多基礎(chǔ)的訓(xùn)練是好事的同時(shí)也是一件壞事。

好的一方面是你掌握了一些數(shù)學(xué)語言瓶颠，并且懂得一些基本的邏輯拟赊。壞的一方面是它將會(huì)以一種固定的方式限制你的思維。比如說我們對(duì)于數(shù)學(xué)到底想做什么的問題并不清楚粹淋，我們不知道數(shù)學(xué)想干什么吸祟，不知道數(shù)學(xué)到底是怎么回事瑟慈，然后就被告訴說這道題就該這么解，這么解就對(duì)屋匕。如果你問為什么要這么解葛碧，很多時(shí)候得不到任何想要的回答。而非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)在看待很多問題的時(shí)候过吻，思想可能會(huì)更開放进泼。

比如說跟數(shù)學(xué)專業(yè)的人討論，他可能第一反應(yīng)是你這個(gè)邏輯對(duì)不對(duì)纤虽，你這個(gè)細(xì)節(jié)有沒有問題乳绕。這是他的第一個(gè)反應(yīng)。你如果跟其他專業(yè)的人去討論逼纸，他們可能首先關(guān)注你的想法是什么洋措，你想解決什么問題，你這個(gè)想法能不能解決這些問題杰刽，而不拘泥于一些很細(xì)節(jié)的東西菠发。如果你說的這條路對(duì)了，嚴(yán)格化只是一個(gè)手段贺嫂。嚴(yán)格的證明能夠保證我們不出錯(cuò)滓鸠，但是嚴(yán)格的證明不能保證我們想到解決問題的思路。

事實(shí)上第喳，科班出身的同學(xué)糜俗，由于受今天數(shù)學(xué)教育的一個(gè)影響，形式化思維會(huì)很嚴(yán)重墩弯。我們舉個(gè)n維歐式空間的例子吩跋。在歷史上寞射，人們首先發(fā)現(xiàn)了實(shí)數(shù)渔工，也就是一維的歐式空間，然后根據(jù)現(xiàn)實(shí)需要推廣到高維的n維空間桥温。但是從數(shù)學(xué)的角度看引矩， n維空間是更基本的東西，一維空間只是n等于1的特殊情況侵浸。于是講的時(shí)候可以從n維的歐式空間開始講旺韭，再令n等于1得到一維空間的特殊結(jié)果。而且這樣講顯得這個(gè)問題更深刻掏觉。

如果是這樣的思維区端，對(duì)于數(shù)學(xué)為何產(chǎn)生，數(shù)學(xué)要解決什么樣的問題澳腹，抽象的數(shù)學(xué)和具體的現(xiàn)實(shí)問題有什么樣的聯(lián)系這些非常重要的問題是不會(huì)引起思考的织盼，比如說現(xiàn)實(shí)的物理空間是三維的杨何，有了相對(duì)論之后加上時(shí)間研究四維時(shí)空，人們?yōu)槭裁匆芯恳话愕膎維空間沥邻，它的動(dòng)力來源于哪里危虱，它的應(yīng)用又為何正確？

從這個(gè)問題講唐全，一方面是想告訴大家埃跷，數(shù)學(xué)專業(yè)本身去學(xué)數(shù)學(xué)有它的優(yōu)勢(shì)，要知道自己的優(yōu)勢(shì)在什么地方邮利，但也要知道自己的不足弥雹，要想辦法去彌補(bǔ)這些不足。而另一方面如果有非數(shù)學(xué)專業(yè)的人致力于研究數(shù)學(xué)延届，那么也有他的優(yōu)勢(shì)缅糟，但也有他的不足，也是要把自己的優(yōu)勢(shì)發(fā)揮出來祷愉，同時(shí)想辦法通過一定的訓(xùn)練來彌補(bǔ)自己的不足窗宦。

二、概率論的起源

概率論要解決什么問題二鳄？我們?nèi)祟悶槭裁匆氵@一門學(xué)科赴涵？

概率論在歷史上的出現(xiàn)源于賭金的分配，從這個(gè)時(shí)候開始出現(xiàn)了概率相關(guān)的問題订讼，但概率論真正成型和發(fā)展并不單純是由于這些問題髓窜，更大的動(dòng)力來源是生產(chǎn)實(shí)踐。我們現(xiàn)在來考察一個(gè)燈泡生產(chǎn)商欺殿。顧客要來買燈泡寄纵，肯定關(guān)心廠家的燈泡能燒多久，產(chǎn)品的質(zhì)量有沒有保證脖苏。如果是一個(gè)具體的燈泡程拭，它要燒多久，我們可以讓它一直燒棍潘，看它什么時(shí)候燒壞了恃鞋。可問題在于亦歉，經(jīng)過測(cè)試之后恤浪，燈泡就報(bào)廢了。現(xiàn)實(shí)生活中我們不能用這樣的思路解決問題肴楷。我們必須想辦法通過其它手段來解決它水由，并給出令人信服的結(jié)論。

如果對(duì)于同樣的材料赛蔫，同樣的生產(chǎn)工藝砂客，生產(chǎn)的同一批燈泡直秆，我們認(rèn)為它的一個(gè)質(zhì)量大概是穩(wěn)定的。怎么叫做大概是穩(wěn)定的呢鞭盟？就是說把這一批燈泡全都拿過來燒圾结，可能有的燒的時(shí)間特別短，有的可能燒的時(shí)間特別長(zhǎng)齿诉，但是對(duì)于絕大多數(shù)的燈泡而言筝野，它燒的時(shí)間就會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)值附近。

基于這樣的想法粤剧，如果一次生產(chǎn)了2萬個(gè)燈泡歇竟，雖然不能把2萬個(gè)都燒了，但抽100個(gè)出來燒一下是沒問題的抵恋。燒一下之后焕议，這100個(gè)可能有10個(gè)連200個(gè)小時(shí)都沒燒夠，可能還有15個(gè)直接燒過了8000個(gè)小時(shí)弧关，但是剩下的絕大多數(shù)都在三四千個(gè)小時(shí)左右盅安。這個(gè)時(shí)候就說這批燈泡它大概比較穩(wěn)定的燒的時(shí)長(zhǎng)是4000個(gè)小時(shí)。比如說超過80%合格世囊，那么對(duì)于這樣的一個(gè)生產(chǎn)工藝别瞭，它就是達(dá)到了一個(gè)及格線的，當(dāng)然需要改進(jìn)株憾，但是可以繼續(xù)用蝙寨。你再去買燈泡的時(shí)候，你可能也會(huì)偶然買到壞的嗤瞎，但是你不會(huì)說我一連買了100個(gè)全是壞的墙歪。這是一類我們需要用概率論解決的問題。

概率論這門學(xué)科它之所以能夠成型贝奇，第一個(gè)很基本的步驟就是概率這個(gè)概念的產(chǎn)生『绶疲現(xiàn)實(shí)當(dāng)中有很多問題，雖然說每考察一個(gè)都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)確定的結(jié)果弃秆，但我們?cè)谔幚韱栴}的時(shí)候不能這樣去處理届惋。我們發(fā)現(xiàn)在考慮多次或者多個(gè)的時(shí)候，它會(huì)有一個(gè)穩(wěn)定性的東西菠赚，也就是概率這個(gè)概念≈２兀或者說概率這個(gè)概念衡查，是把這個(gè)穩(wěn)定性抽象出來。但是抽象出來還不算是數(shù)學(xué)必盖，還只是一個(gè)想法拌牲，抽象出來之后俱饿，還得有數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)它，有數(shù)學(xué)方法去處理它塌忽。

在研究的時(shí)候也發(fā)現(xiàn)另外一些問題拍埠。比如你去研究不同的問題，它所滿足的模式還不太一樣土居。從一個(gè)袋子里抓小球枣购，抓出來放不放回去，你會(huì)發(fā)現(xiàn)不同的概率它又有不同的模式擦耀。所以就得搞概型棉圈，其實(shí)一個(gè)概型就是一類概率問題，用這一個(gè)概念來解決這一類問題眷蜓。這些基本的概念和理論成型之后分瘾，它會(huì)抽象出一些數(shù)、一些數(shù)量關(guān)系吁系，然后就需要把相應(yīng)的概率做一些計(jì)算德召。

剛剛我們講了賭金分配促使了概率論的偶然發(fā)生，而概率論真正成型和發(fā)展應(yīng)當(dāng)歸功于生產(chǎn)實(shí)踐汽纤。大家想氏捞，我們先把概率論的歷史起源和基本認(rèn)識(shí)搞清楚，具體一個(gè)概型的概率怎么算冒版、為什么這么算等等這些東西一點(diǎn)一點(diǎn)去搞就行了液茎，這樣的學(xué)習(xí)思路是不是更加清晰高效呢？

三辞嗡、高等數(shù)學(xué)要研究什么東西

高等數(shù)學(xué)的核心是微積分捆等，那微積分是從什么問題來的？答案是運(yùn)動(dòng)续室。在15栋烤、16世紀(jì)之前，整個(gè)數(shù)學(xué)都處于常量數(shù)學(xué)時(shí)期挺狰，也就是初等數(shù)學(xué)時(shí)期明郭，而從資本主義萌芽興起之后漸漸地過渡，發(fā)展成了變量數(shù)學(xué)丰泊。為了反抗宗教神學(xué)薯定，以伽利略和笛卡爾為代表的近代自然科學(xué)的先驅(qū)，開始去大量的研究運(yùn)動(dòng)問題瞳购。你比如說他們?nèi)パ芯刻祗w運(yùn)動(dòng)话侄，神學(xué)講天體沿著圓周在運(yùn)動(dòng)，那是因?yàn)橛猩系墼谕苿?dòng)。又為什么是圓周年堆？因?yàn)樯系凼峭昝赖耐毯迹钔昝赖那€是圓周，所以天體沿著圓周在運(yùn)動(dòng)变丧。人們通過一定的研究芽狗，發(fā)現(xiàn)這個(gè)軌跡不是圓周，而是橢圓痒蓬。然后通過牛頓等人做一個(gè)總結(jié)童擎，告訴人們天體運(yùn)動(dòng)不是有上帝在推動(dòng)，而是萬有引力的影響谊却，是自然規(guī)律的作

再到后面人們發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的研究還有它的生產(chǎn)力意義柔昼，運(yùn)動(dòng)的研究是整個(gè)社會(huì)的發(fā)展向人們提出的現(xiàn)實(shí)要求。

從物理學(xué)的角度研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)是我們熟知的情形炎辨，化學(xué)同樣會(huì)從化學(xué)的角度去研究運(yùn)動(dòng)捕透，比如在分子和原子層面考慮化學(xué)鍵的分裂、結(jié)合碴萧。不同的學(xué)科有各自不同的研究對(duì)象乙嘀，從不同的角度去研究，但是它們都涉及一類共性的問題破喻，就是數(shù)量關(guān)系的問題虎谢。而數(shù)學(xué)恰恰是來解決這個(gè)問題的，所以它就給數(shù)學(xué)提出了現(xiàn)實(shí)的需要曹质。也就是說人們需要從而且只從數(shù)量關(guān)系的角度研究運(yùn)動(dòng)婴噩，這正是數(shù)學(xué)這門學(xué)科所要解決的問題。當(dāng)社會(huì)發(fā)展向人們提出研究運(yùn)動(dòng)需要的時(shí)候羽德，就賦予了數(shù)學(xué)相應(yīng)的任務(wù)和歷史使命几莽。

為了完成這樣一個(gè)任務(wù)，承擔(dān)從數(shù)量關(guān)系研究運(yùn)動(dòng)這樣的一個(gè)歷史使命的學(xué)科就是微積分宅静，微積分是從這個(gè)地方來的章蚣，它要干的也就是這個(gè)事情。

當(dāng)數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量的時(shí)代姨夹，它的研究對(duì)象纤垂、研究問題不一樣了，它的研究方法也發(fā)生了變化磷账。數(shù)論里面產(chǎn)生了解析數(shù)論峭沦，幾何學(xué)也出現(xiàn)了解析幾何和微分幾何。

四够颠、笛卡爾的貢獻(xiàn)

在微積分出現(xiàn)之前熙侍，有一個(gè)必須要提的數(shù)學(xué)家——笛卡爾。怎么看待笛卡爾的數(shù)學(xué)成就呢履磨？也就是說怎么評(píng)價(jià)坐標(biāo)系的意義呢蛉抓？

如果沒有笛卡爾坐標(biāo)系，今天的數(shù)學(xué)會(huì)是什么樣子剃诅？數(shù)和形結(jié)合不到一塊巷送，也不會(huì)產(chǎn)生變量，我們可能一直處在初等數(shù)學(xué)時(shí)期矛辕。

笛卡爾坐標(biāo)系的建立笑跛，最直接的意義是解析幾何這門學(xué)科的誕生，里面包含一個(gè)觀念的轉(zhuǎn)變聊品，也就是引入了動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)飞蹂。人們不再把一條曲線單純地看作曲線了，還可以把它看作是點(diǎn)的軌跡翻屈，這是從形的角度說陈哑。那從數(shù)的角度看，會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)可以變伸眶，可以有一個(gè)變化的范圍惊窖，也就是說變量的概念產(chǎn)生了。變量數(shù)學(xué)的時(shí)代厘贼，如果連變量都沒有界酒，連變量都沒辦法刻畫，自然沒有發(fā)展的舞臺(tái)嘴秸，這是笛卡爾坐標(biāo)系它真正的數(shù)學(xué)意義毁欣。所有的變量數(shù)學(xué)，都可以看作是從笛卡爾這個(gè)地方起源的岳掐。

他的這項(xiàng)工作凭疮，并沒有證明什么高深的定理，但他搞的這個(gè)東西開啟了整個(gè)變量數(shù)學(xué)的時(shí)代岩四。因此哭尝，笛卡爾是世界一流的數(shù)學(xué)家，是和牛頓剖煌、萊布尼茨同等層次的大數(shù)學(xué)家材鹦。

五、函數(shù)的誕生

有了變量之后耕姊，也就有了函數(shù)桶唐，函數(shù)的概念最早由歐拉定義，但在這之前數(shù)學(xué)家們也一直在研究函數(shù)茉兰。函數(shù)其實(shí)就是變量對(duì)變量的依附關(guān)系尤泽，這些變量在其它學(xué)科里面是具體的量，比如速度、電流等等坯约，但在數(shù)學(xué)這里熊咽，變量只保留了數(shù)量在一定范圍內(nèi)可以發(fā)生變化的特點(diǎn)。函數(shù)是微積分的研究對(duì)象闹丐，這里主要的還是連續(xù)函數(shù)横殴。那么我們需要什么樣的方法進(jìn)行研究呢？

極限的概念并不直觀卿拴，因?yàn)闃O限是倒著來的衫仑。比如說一個(gè)人從地方A走到地方B，極限的看法是我先走到了地方B堕花，再往回看我1/2的時(shí)間走到了哪里文狱，1/4的時(shí)間走到哪里。極限是當(dāng)這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程完成之后回過頭來看的缘挽，它和人們的直觀思考方式不太一樣瞄崇。牛頓產(chǎn)生了極限這個(gè)想法，但他自己也不是很肯定到踏，到了晚年他也還是想用這個(gè)東西杠袱，但畢竟微積分沒有跟著牛頓的思路發(fā)展。當(dāng)時(shí)牛頓和萊布尼茨爭(zhēng)奪微積分發(fā)明的優(yōu)先權(quán)窝稿，導(dǎo)致整個(gè)歐洲的數(shù)學(xué)分裂成了兩部分楣富，一部分是以牛頓為代表的英國(guó)數(shù)學(xué)家群體，一部分是以萊布尼茨為代表的歐洲大陸數(shù)學(xué)家們伴榔。英國(guó)那一派沒走下去纹蝴，雖然也出了麥克勞林、泰勒等人踪少，可是這些人做的東西顯然沒辦法跟歐拉塘安、拉格朗日等人相比。

如果要研究運(yùn)動(dòng)援奢，y隨著x變化兼犯，自然的做法是去考察x變一點(diǎn)點(diǎn)的時(shí)候，y怎么變集漾。而這也就是我們微積分研究的無窮小方法,沿著這個(gè)方法就構(gòu)成了19世紀(jì)之前整個(gè)微積分的發(fā)展切黔。微積分誕生之后，它自身作為工具具篇，又可以去研究微分方程纬霞，也可以用微分去研究幾何（微分幾何）。常微分方程在18世紀(jì)的時(shí)候驱显，解法就已經(jīng)研究得比較清楚了诗芜，此時(shí)的物理學(xué)還主要停留在力學(xué)的研究時(shí)代瞳抓，所以偏微分方程主要是以弦振動(dòng)方程為代表的一些簡(jiǎn)單的波動(dòng)方程。到了19世紀(jì)物理學(xué)進(jìn)入了電磁學(xué)和熱學(xué)等的研究時(shí)代伏恐，所以19世紀(jì)的偏微分方程的發(fā)展又是以熱傳導(dǎo)方程孩哑、拉普拉斯方程為代表，格林函數(shù)法等解法也在這時(shí)誕生脐湾。

從這些東西我們可以看到微積分是從什么地方來的臭笆，要解決什么問題叙淌，研究微積分的過程中是怎么把這樣的一些想法轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的方式秤掌，它需要什么樣的概念。我們就要把這些問題搞清楚鹰霍，而這些問題又需要結(jié)合數(shù)學(xué)本身演化的歷史來把它搞清楚闻鉴，也就是我們講的歷史和邏輯相一致的問題。

人類為什么要研究數(shù)學(xué)茂洒？通過剛才對(duì)數(shù)學(xué)史的講解孟岛，我們把邏輯過程還原為認(rèn)識(shí)過程，能夠發(fā)現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)不是現(xiàn)在這個(gè)樣子督勺。其實(shí)未來的數(shù)學(xué)也不是今天這個(gè)樣子渠羞，數(shù)學(xué)要有一個(gè)歷史的發(fā)展。很多人把數(shù)學(xué)當(dāng)成是既定的這個(gè)樣子智哀，但是我們知道數(shù)學(xué)有它自己要完成的任務(wù)次询，因?yàn)閿?shù)學(xué)要解決現(xiàn)實(shí)的數(shù)量關(guān)系、空間形式等瓷叫，把數(shù)量關(guān)系的規(guī)律屯吊、空間形式的規(guī)律給它揭示出來，所以在它發(fā)展到一定階段時(shí)摹菠，它可能會(huì)有一些質(zhì)的變化盒卸，這是數(shù)學(xué)自身的發(fā)展規(guī)律。數(shù)學(xué)的發(fā)展最終也一定會(huì)朝著更好地為人類服務(wù)的方向前進(jìn)次氨。

文章來源：數(shù)學(xué)經(jīng)緯網(wǎng)公眾號(hào)：人類為什么研究數(shù)學(xué)