知識(shí)點(diǎn)：數(shù)據(jù)分布

• 正態(tài)分布

正態(tài)分布（英語(yǔ)：normal distribution）又名高斯分布（英語(yǔ)：Gaussian distribution）仓手，是一個(gè)非常常見(jiàn)的連續(xù)概率分布莉掂。正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)上十分重要战授，經(jīng)常用在自然和社會(huì)科學(xué)來(lái)代表一個(gè)不明的隨機(jī)變量盆犁。

一般正態(tài)分布是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布基礎(chǔ)上平移或縮放得到的。如縮放（標(biāo)準(zhǔn)差）后平移（期望）得到概率密度函數(shù)公式為：

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈鐘形猾漫，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線（類似于寺廟里的大鐘年鸳，因此得名）省撑。我們通常所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是位置參數(shù),的正態(tài)分布赌蔑。

正態(tài)分布像一只倒扣的鐘俯在。兩頭低竟秫，中間高，左右對(duì)稱跷乐。大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在平均值肥败，小部分在兩端。實(shí)際上人的身高就是符合正態(tài)分布的愕提。

神奇的是馒稍，正態(tài)分布是普遍規(guī)律。不管是人的身高浅侨，手臂長(zhǎng)度纽谒，肺活量，還是他們的考試成績(jī)如输，都符合正態(tài)分布鼓黔。

符合正態(tài)分布的商業(yè)現(xiàn)象也很多央勒。大部分員工的業(yè)績(jī)，都是一般的澳化，做得特別好的非常少崔步，做得特別差的也不多見(jiàn)。這就是為什么績(jī)效管理領(lǐng)域中平均水平占絕大數(shù)缎谷。

大部分人的智商是正常的井濒，正態(tài)分布有點(diǎn)像2/8原則。少數(shù)像愛(ài)伊斯坦老爺子這樣的智商太超常了

正態(tài)分布中一些值得注意的量：

密度函數(shù)關(guān)于平均值對(duì)稱

平均值是它的眾數(shù)（statistical mode）以及中位數(shù)（median）

函數(shù)曲線下68.268949%的面積在平均值左右的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)

95.449974%的面積在平均值左右兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差2σ的范圍內(nèi)

99.730020%的面積在平均值左右三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差3σ的范圍內(nèi)

99.993666%的面積在平均值左右四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差4σ的范圍內(nèi)

σ描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度列林，σ越大瑞你，數(shù)據(jù)分布越分散，σ越小希痴，數(shù)據(jù)分布越集中捏悬。也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，σ越大润梯，曲線越扁平过牙，反之，σ越小纺铭，曲線越瘦高寇钉。

• 伯努利分布

伯努利分布亦稱“零一分布”、“兩點(diǎn)分布”舶赔。

如果隨機(jī)變量X只取0和1兩個(gè)值扫倡，并且相應(yīng)的概率為：

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的伯努利分布，若令q=1一p竟纳，則X的概率函數(shù)可寫(xiě)為：

• 二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布就是重復(fù)n次獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)撵溃。

舉個(gè)實(shí)例，最簡(jiǎn)單的拋硬幣試驗(yàn)就是伯努利試驗(yàn)锥累，在一次試驗(yàn)中硬幣要么正面朝上缘挑，要么反面朝上，每次正面朝上的概率都一樣p=0.5桶略，且每次拋硬幣的事件相互獨(dú)立语淘，即每次正面朝上的概率不受其他試驗(yàn)的影響。如果獨(dú)立重復(fù)拋n=10次硬幣际歼，正面朝上的次數(shù)k可能為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一個(gè)惶翻，那么k顯然是一個(gè)隨機(jī)變量，這里就稱隨機(jī)變量k服從二項(xiàng)分布鹅心。

n次拋硬幣中恰好出現(xiàn)k次的概率為

P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k

記作X~B(n,p)吕粗。

總結(jié)：伯努利分布、兩點(diǎn)分布旭愧、0-1分布這三種分布是同一個(gè)分布的不同名稱颅筋，又都是二項(xiàng)分布在n=1時(shí)的特例虐秋。

• 泊松分布

公式推導(dǎo)（馬同學(xué)高等數(shù)學(xué)強(qiáng)推！＠佟）

泊松分布的理解：

日常生活中客给，大量事件是有固定頻率的：超市平均每天銷售包奶粉；網(wǎng)站平均每分鐘有次訪問(wèn)肢簿；

特點(diǎn)就是我們可以預(yù)估這些事件的總數(shù)靶剑，但沒(méi)法知道具體的發(fā)生時(shí)間。已知平均每分鐘有2次訪問(wèn)池充，下分鐘有幾次訪問(wèn)是無(wú)法知道的桩引。

泊松分布就是描述某段時(shí)間內(nèi)，事件具體的發(fā)生概率收夸。

一個(gè)事件在一段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)發(fā)生坑匠，其服從泊松分布的條件為：

（1）將該時(shí)間段無(wú)限分隔成很多個(gè)小的時(shí)間段，在這個(gè)小的時(shí)間段內(nèi)卧惜，事件發(fā)生的概率非常小厘灼，不發(fā)生的概率非常大。

（2）在每個(gè)小的時(shí)間段內(nèi)咽瓷，事件發(fā)生的概率是穩(wěn)定的设凹，且與小的時(shí)間段的長(zhǎng)度成正比。

（3）該事件在不同的小時(shí)間段里茅姜，發(fā)生與否相互獨(dú)立闪朱。

• 均勻分布

• 伽馬函數(shù)

這個(gè)可以形象理解為用一個(gè)伽馬刀，對(duì)x動(dòng)了一刀钻洒，于是指數(shù)為x-1,動(dòng)完刀需要扶著梯子(-t)才能走下來(lái)奋姿。這樣，就記住了關(guān)鍵的,?t素标。

性質(zhì)：

• 卡方分布

• Beta分布

Beta分布是一個(gè)定義在[0,1]區(qū)間上的連續(xù)概率分布族称诗，它有兩個(gè)正值參數(shù)，稱為形狀參數(shù)糯钙，一般用和表示粪狼。在貝葉斯推斷中退腥，Beta分布是Bernoulli任岸、二項(xiàng)分布、負(fù)二項(xiàng)分布和幾何分布的共軛先驗(yàn)分布狡刘。Beta分布的概率密度函數(shù)形式如下：

Beta分布的均值是：

方差是：

Beta分布可以看作一個(gè)概率的概率分布，當(dāng)你不知道一個(gè)東西的具體概率是多少時(shí)嗅蔬，它可以給出所有概率出現(xiàn)的可能性大小剑按。Beta分布是一個(gè)連續(xù)分布疾就，由于它描述概率p的分布，因此其取值范圍為0到1艺蝴。

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