老師們：
四點共圓是一個經(jīng)典問題，很多優(yōu)秀老師都以此做為切入點發(fā)表研究文章退客。本文為您收集四點共圓問題的研究現(xiàn)狀，嘗試剖析作者的研究思路。
四點共圓問題有兩個研究方向：求證四個點共圓和推導(dǎo)四點共圓的充要條件楣责。以下從三個角度來梳理研究思路。
第一境界：掌握已有的解題技巧聂沙；
第二境界：剖析背后的思維方法秆麸；
第三境界：分享自己的研究成果。
純幾何角度
在小編多方查證下：四點共圓問題在80逐纬，90年代還曾入選過《初級中學(xué)課本_幾何》中蛔屹。（那個時候小編還沒出生！所以對于更早的課本有沒有四點共圓問題小編就不知道了豁生，在網(wǎng)上只找到了89年版的）以下是該書中涉及證明四個點共圓的定理：
可以看出這些證明四點共圓的方法都是純幾何證法兔毒。在初中范圍內(nèi)漫贞，證明四點共圓的方法一般有7種[1]：
1.圓的定義法：根據(jù)圓的定義“到定點的距離等于定長的集合為圓”。首先尋找圓心育叁，之后去求出各點到圓心的長度迅脐。在高中遇到四點共圓問題時，很多學(xué)生和老師的思路也是如此豪嗽。.
2.對角互補法：利用“如果一個四邊形的對角互補谴蔑，那么它內(nèi)接于圓」昝危”進(jìn)行證明隐锭。找出四邊形的一組對角，之后證明它們互補计贰，進(jìn)而得出四個點共圓钦睡。
3.公共邊法：利用“有相同邊的兩個三角形，且公共邊的對應(yīng)的角相等且在邊的同一側(cè)躁倒，那么這兩個三角形內(nèi)接于同一個圓”荞怒，進(jìn)行證明。
4.外角等于它的內(nèi)對角法：找到一個角的外角和其內(nèi)對角相等即可得證秧秉。其原理和對角互補法相似褐桌，不過多闡述。
5.圓冪定理：圓冪定理即為相交弦定理象迎，切割線定理和割線定理的統(tǒng)一形式荧嵌。它的具體內(nèi)容為：如果交點為P的兩條相交直線與圓O相交于A、B與C挖帘、D完丽，則PA·PB=PC·PD。一般運用其逆定理證明四點共圓拇舀，很多高中老師都是運用圓冪定理去推導(dǎo)四點共圓的充要條件逻族。
6.證明四點組成的圖形是矩形，等腰梯形等必有外接圓的圖形[2]骄崩。
7.托勒密定理：托勒密定理為“圓的凸內(nèi)接四邊形的對邊乘積和等于對角線乘積”聘鳞。運用托勒密定理的逆定理進(jìn)行證明。
以上即為初中（30年前）常見的證明四點共圓的方式要拂。雖然說現(xiàn)在這些定理推論都不教了抠璃，但是遇到四點共圓問題還是要用這些東西。名義上是減負(fù)脱惰，但是不會這些去證明四點共圓問題反而讓學(xué)生感到更加困難搏嗡。
那我們?yōu)槭裁匆榻B四點共圓問題的純幾何方法呢？經(jīng)過小編大量的閱讀四點共圓方面的文章，發(fā)現(xiàn)很多老師的工作都是基于這些純幾何的定理推論采盒。
解析幾何角度
????在高中知識點的范疇內(nèi)旧乞，四點共圓問題很少有純幾何的題目（除了數(shù)學(xué)競賽外[3]）。作為圓錐曲線的一部分磅氨，圓的問題一般都是緊密的和圓錐曲線聯(lián)系在一起尺栖。更有很多老師不滿足于研究這種退化的二次曲線，把四點共圓問題放到非退化的二次曲線背景去研究烦租。
我們在前文中提到延赌，很多老師都是基于圓冪定理來證明四個點共圓或者推導(dǎo)四點共圓問題的充要條件。?我們再來看下圓冪定理：
如果交點為P的兩條相交直線與圓O相交于A叉橱、B與C挫以、D，則PA·PB=PC·PD窃祝。
那么證明四點共圓問題時屡贺，我們可以先用四個點構(gòu)建一個四邊形并用代數(shù)式表示出兩條對角線的方程之后和圓錐曲線聯(lián)立。求得PA·PB和PC·PD的值锌杀，證明它們相等進(jìn)而得證四點共圓。
四點共圓的充要條件的推導(dǎo)也是基于圓冪定理之上泻仙。這樣推導(dǎo)的四點共圓充要條件為：
圓錐曲線上四個不同的點組成的四邊形對角線傾斜角互補糕再。
在證明四點共圓問題和推導(dǎo)四點共圓充要條件有一個小技巧就是可以用交點P建立兩條對角線的參數(shù)方程。這樣PA·PB和PC·PD的值可以用韋達(dá)定理得出玉转，并且避免討論直線沒有斜率的情況[4]突想。
繼續(xù)考察圓冪定理可以發(fā)現(xiàn)：保持四個點不重不漏，四邊形可已作出三組相對的線段究抓。那么基于圓冪定理猾担，我們當(dāng)然可以直接判斷：
1. 四個點共圓則其組成的四邊形的對邊平行或傾斜角互補（兩條直線平行時因為沒有交點，所以無法用圓冪定理刺下，下同）绑嘹；
2. 四個點組成的四邊形中的三組直線只要有一組直線的傾斜角互補（即四點共圓），則剩下的兩組直線平行或傾斜角互補橘茉。
值得一提的是：張乃貴老師在其《圓錐曲線上四點共圓充要條件的研究》[5]一文中并沒有假定四點已經(jīng)共圓工腋，而是直接給出我們上面的2個推論。在其證明過程中發(fā)現(xiàn)當(dāng)拋物線上的四個點共圓時畅卓，它們的縱坐標(biāo)之和等于0擅腰。即：
在姬士學(xué)，王恩權(quán)老師的文章中也給出了相同的推論[6]翁潘。這個條件是拋物線上四點共圓的一個充要條件趁冈。
在幾何即圓冪定理的指導(dǎo)下，能做出的工作基本如此拜马。各位老師可以試著計算下渗勘，反正小編是算的手軟了沐绒。然而以甘志國老師為代表的一些老師并沒有囤于前人的思路，反而從另一個角度來看待四點共圓問題[7][8][9][10][11]呀邢。甘志國老師通過構(gòu)建曲線簇去找出一條經(jīng)過四個點的圓的方程洒沦。這樣做的好處使得計算大大的簡便，并且繞過了圓冪定理這個“缺失”的知識點价淌。比如說接下來這道題：
解題思路：
這種解法及背后的意義在我們上篇的文章都有討論申眼，請各位老師進(jìn)入名師鍛造公眾號進(jìn)行觀看。
那么基于這種想法蝉衣，我們設(shè)兩條對角線的方程為：
若四點共圓括尸，則可得出的結(jié)論為：
該條件為四點共圓的充要條件，我們發(fā)現(xiàn)它和圓冪定理得到的條件等價病毡，但是圓冪定理可以快速的判斷兩組對邊的傾斜角情況（該條件也可判斷濒翻，但是需要一定的計算去判斷組合后的圓的半徑是否有意義）。在線性組合的思想下我們可以得出什么啦膜？
兩條圓錐曲線有4個交點有送，則這四個點共圓[8][11]。這在幾何的背景下很難想到僧家。（具體的證法各位老師可以觀看我們本專題的視頻）
當(dāng)四點共圓時雀摘，其中的一邊上的兩個定點不斷接近，考慮極限的情況八拱，又可以得出什么呢阵赠？（答案當(dāng)然在小編第一喜歡的甘老師四點共圓的視頻中啦）
甘老師的工作都是基于退化的二次曲線上，那么在非退化的二次曲線上呢肌稻？這個時候二次曲線的方程變?yōu)椋?/p>
在線性組合的思想下我們知道想要組合成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程清蚀，則需要消去含有xy的交叉項，并且使二次項的系數(shù)相等且不為0爹谭。聯(lián)立這兩個方程組:
進(jìn)行線性組合枷邪，當(dāng)四點共圓時，我們可以得到：
???同樣的有四個交點的兩條圓錐曲線旦棉，四點共圓的充要條件是：
?通過圓冪定理進(jìn)行推導(dǎo)齿风，思路和退化情況沒有差別，最后得出：
這些就是高中范圍內(nèi)四點共圓問題的常見推論和其思路绑洛。
高等數(shù)學(xué)角度
????在求證四個點共圓的問題上救斑，一些老師從矩陣的角度出發(fā)，給出只要其中有三個點不共線的四點滿足下列矩陣即可共圓真屯。
我們可以把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程看做：
?則該矩陣是關(guān)于圓的系數(shù)的四元一次方程組脸候，若四點滿足該矩陣，則證明方程組有唯一解，即四點共圓运沦。這里要注意的是三點不能共線泵额，否則可能解出A=0的直線方程（四點共線時）。在小編看文章時很多研究者忽略了這一點携添，廣大老師需要注意嫁盲。
????而有一些老師把四點共圓放在復(fù)平面的背景下來考慮。復(fù)數(shù)表示角度簡潔方便烈掠，自然就可以聯(lián)想到用關(guān)于角度的定理去推導(dǎo)羞秤，在我們一開始介紹的純幾何證法有提到：如果一個四邊形對角互補，則這個四邊形內(nèi)接于圓左敌。那么基于這個證法瘾蛋，復(fù)平面下的四點共圓充要條件的推導(dǎo)思路如下[12]：
這里有兩點需要注意：
一是下面這個式子的順序：
要注意好誰做分子，誰做分母矫限。分子分母上下順序相反會造成旋轉(zhuǎn)角度相反哺哼，在閱讀一些關(guān)于復(fù)平面四點共圓的文章時，有的老師上下順序便弄反了叼风。
????二是小編設(shè)四點交代了四點的順序取董，所以證明會簡單，不用討論角1和角3的位置關(guān)系无宿，有些老師沒有像小編這樣取巧甲葬，證明的思路會更復(fù)雜些，但是最后的結(jié)論是一樣的[12]懈贺。
以上便為四點共圓問題的研究現(xiàn)狀，感興趣的老師可以根據(jù)我們羅列的參考文獻(xiàn)找到相應(yīng)文檔資料坡垫。當(dāng)然甘志國老師已將研究成果以視頻教學(xué)形式完整展示出來梭灿，想探究甘老師解題思路的您趕快來觀看專題視頻吧！
參考文獻(xiàn)
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