仿射變換其實是另外兩種簡單變換的疊加：一個是線性變換询件，一個是平移變換。統(tǒng)一平移變換和線性變換的一種變換我們起了個名字叫“仿射變換”畅涂。這個新的變換就不再單純的是兩個線性空間的映射了，而是變成了兩個仿射空間的映射關(guān)系道川。為了更好地理解仿射變換午衰，首先就要知道線性變換以及它的不足立宜。在未說明的情況下，下面使用的是卡迪爾坐標系臊岸。
所謂線性變換是指兩個線性空間的映射橙数，一個變換
是線性變換，必須滿足兩個條件帅戒，也就是我們經(jīng)常說的線性條件：
additivity
homogeneity
舉個例子說明一下灯帮。建設(shè)
是一個二維繞原點旋轉(zhuǎn)變換，
和
是旋轉(zhuǎn)角度逻住。我們知道“一次性旋轉(zhuǎn)
度”和“先旋轉(zhuǎn)
度再旋轉(zhuǎn)
讀”達到的效果是一樣的钟哥；同樣地，“一次性旋轉(zhuǎn)
度”和“旋轉(zhuǎn)
次u度”也是一張的鄙信。
線性變換可以用矩陣來表示瞪醋。假設(shè)
是二維空間中的點忿晕，T是一線性變換装诡，那么存在一個矩陣A，使得
践盼。上面的旋轉(zhuǎn)變換R鸦采，以及縮放S變換都有相應(yīng)的變換矩陣
但是在卡迪爾坐標系中，平移變換卻不能用矩陣來表示咕幻。一個平移變換T具有如下的形式
+
我們可以很容易地驗證渔伯，平移變換T是不能寫成兩個矩陣乘積形式的。使用齊次坐標系很好的解決了這個問題(可能還有其它的原因)肄程。齊次坐標系統(tǒng)其實是用高維坐標來表示一個低維的點锣吼，就好比我們用（x,1)來表示一個長度值一樣，其實用一個x就可以了蓝厌，但是用高一維的表示玄叠，在有的時候會帶來便利。一個N維的卡迪爾坐標系中的一個點
拓提，在齊次坐標系中有無數(shù)的N+1維點與之對應(yīng)读恃，這些點可以描述為
，
取不同的值代态，我們變得到齊次坐標系中不同的點寺惫。當把這些點映射到
平面（不改變
之間比例），我們又降維得到對應(yīng)的卡迪爾坐標系中的點蹦疑。在OpenGL中我們是用
(
)來表示一點三維的點西雀，顯然這個點與卡迪爾坐標系中的點
是一一對應(yīng)的。在計算的過程中歉摧，會出現(xiàn)第四個分量不為
的情況蒋搜，這時我們也總是同除以
使齊次坐標正規(guī)化〈勰欤現(xiàn)在回來讓我們看看使用齊次坐標時，對應(yīng)的線性變換是什么形式豆挽。假設(shè)
是二維點對應(yīng)的齊次坐標育谬，與上面使用卡迪爾坐標系類似，我們可以得到相應(yīng)的線性變換如旋轉(zhuǎn)變換R和縮放變換S的矩陣表示：
容易驗證,
的值并沒有變化帮哈。但是使用齊次坐標后膛檀，平移操作便也可以使用矩陣來表示了（如下），平移量出現(xiàn)在變換矩陣的最右側(cè)娘侍。
最后咖刃，我們給出仿射變換稍微正式點的定義。一個仿射變換T憾筏，可以表示成一個線性變換A后平移t：T(p)=Ap+t嚎杨，其中p是待變換的點齊次坐標表示。T可以表示成如下的形式：
其中氧腰，表示線性變換枫浙；表示平移變換；右下角的數(shù)字可以進行整體縮放古拴，當為1時箩帚，表示不進行整體縮放。
仿射變換之所以重要黄痪，另一個重要的原因是仿射變換后不改變點的共線/共面性紧帕，而且還保持比例，這對圖形系統(tǒng)尤其重要桅打。例如是嗜，根據(jù)這個性質(zhì)，如果我們要變換一個三角形挺尾，只需要對三個定點v1,v2,v3進行變換T就可以了鹅搪，對于原先邊v1v2上的點，變換后一定還在邊后T(v1)T(v2)上潦嘶。
總結(jié)一下涩嚣，仿射變換是線性變換后進行平移變換（其實也是齊次空間的線性變換），使用齊次坐標使得仿射變換可以以統(tǒng)一的矩陣形式進行表示掂僵。
