數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(高等數(shù)學(xué))

一些在機(jī)器學(xué)習(xí)中可能用到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及常用的數(shù)學(xué)公式

機(jī)器學(xué)習(xí)中常見的函數(shù)

  • 符號(hào)函數(shù)

y = sgnx= \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0 \\ \end{cases}

  • 取整函數(shù)

y = [x]

  • 狄利克雷函數(shù)

y = D(x)= \begin{cases} 1 & x 為有理數(shù) \\ 0 & x 為無理數(shù) \\ \end{cases}

  • 取最值函數(shù)

y = max[{f(x),g(x)}]
y = min[{f(x),g(x)}]

  • 對(duì)數(shù)函數(shù)

x =\log_a{N}

  • 指數(shù)函數(shù)

N = a^x

  • 泊松分布

P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda},k = 0,11...

  • 高斯分布(正態(tài)分布)

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})

  • sigmoid函數(shù)

S(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}

  • 冪函數(shù)

y = \begin{cases} x \\ x^2 \\ x^3 \\ x^4 \\ \end{cases}

  • 一元一次函數(shù)

y = ax +b

  • 三角函數(shù)

y = \begin{cases} sinx & 正弦函數(shù)\\ cosx & 余弦函數(shù) \\ tanx & 正切函數(shù)\\ \end{cases}

  • 反三角函數(shù)

y = \begin{cases} arcsinx & 反正弦函數(shù)\\ arccosx & 反余弦函數(shù) \\ arctanx & 反正切函數(shù)\\ \end{cases}

導(dǎo)數(shù)與微積分

  • 切線斜率

某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即為該點(diǎn)的斜率
k = \lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}}

  • 常見的導(dǎo)數(shù)

y' = \begin{cases} 0 & (C)' \\ cosx & (sinx)' \\ -sinx & (cosx)' \\ nx^{n-1} & (x^n)'\\ \frac{1}{xlna} & (log_a x)'\\ \frac{1}{x} & (lnx)'\\ a^x lna & (a^x)'\\ e^x & (e^x)'\\ \end{cases}

  • 微分

dy = f'(x_0)\Delta x = f'(x_0)dx

  • 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

[f(x)\pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)
[f(x) \ast g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
[\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}(g(x) \neq 0)

定積分

\int^b_a f(x)dx = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum^n_{i=1} f(\xi _i)\Delta x_i

  • 規(guī)定

\int^b_a f(x)dx = \begin{cases} 0 & a = b\\ -\int^a_b f(x)dx & b < a\\ \end{cases}

  • 性質(zhì)

\int^b_a[f(x)+g(x)]dx = \int^b_a f(x)dx + \int^b_a g(x)dx
\int^b_a kf(x)dx = k\int^b_af(x)dx
\int^b_a [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int^b_a f(x)dx + \beta \int^b_a g(x)dx
\int^b_a f(x)dx = \int^c_a f(x)dx + \int^b_c f(x)dx
\int^b_a f(x)dx \geq 0
若f(x)在[a,b]上連續(xù),則存在\xi \in [a,b] ,使 \int^b_a f(x)dx = f(\xi)(b-a)
設(shè)M,m分別是f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值,則m(b-a) \leq \int ^b_a f(x)dx \leq M(b-a)

向量代數(shù)及空間解析幾何

定義
既有大小又有方向的量
  • 兩非零向量的關(guān)系
    • 相等 : 大小相等且方向相同
      \vec a = \vec b
    • 平行或共線 : 方向相反或相同的兩個(gè)非零向量
      \vec a // \vec b
    • 垂直 : 方向成90°夾角的量非零向量
      \vec a \bot \vec b
  • 向量的運(yùn)算

\vec a + \vec b = \vec b + \vec a
\vec a + \vec b + \vec c = (\vec a + \vec b ) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)
\vec a +(- \vec a) = \vec 0
\vec a -\vec b = \vec a +(- \vec b)
\lambda (\mu \vec a) = \mu (\lambda \vec a) = (\mu \lambda)\vec a
(\lambda + \mu) \vec a = \lambda \vec a + \mu \vec a
\lambda(\vec a + \vec b ) = \lambda \vec a + \lambda \vec b

  • 數(shù)量積

\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b |cos \theta

  • 數(shù)量積的性質(zhì)
    • a \cdot a = |a|^2
    • 對(duì)于兩個(gè)非零向量a,b 如果a \cdot b =0,則a \bot b,反之,若a \bot b,則a \cdot b =0
  • 數(shù)量積的運(yùn)算

a \cdot b = b \cdot a
(a+b)\cdot c = a \cdot c + b \cdot c
(\lambda a) \cdot b = a \cdot (\lambda b) = \lambda(a \cdot b)
(\lambda a ) \cdot (\mu b) = \lambda \mu (a \cdot b)

  • 數(shù)量積的坐標(biāo)表示
    • 設(shè)a = (a_x,a_y,a_z), b = (b_x,b_y,b_z),則a \cdot b = a_xb_x+a_yb_y +a_zb_z
  • 向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示

cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|}=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}

  • 球面的方程

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2

  • 橢球面的方程

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1

梯度

定義

函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則對(duì)于點(diǎn)P_0(x_0,y_0) \in D,都可以定出向量 \frac{\alpha f}{\alpha x} \vec i+\frac{\alpha f}{\alpha y} \vec j, 這向量稱為函數(shù)z = f(x,y) 在點(diǎn)P_0(x_0,y_0)的梯度,記為 gradf(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0) \vec i +f_y(x_0,y_0) \vec j 它的模等于方向?qū)?shù)的最大值 |gradf(x,y)| = \sqrt{(\frac {\alpha f}{\alpha x})^2 + (\frac {\alpha f}{\alpha y})^2}

  • 梯度下降

\Theta^1 = \Theta^0 - \alpha \nabla J(\Theta) evaluated at \Theta^0
假設(shè)有一個(gè)單變量的函數(shù) J(\theta) = \theta^2,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是J'(\theta)=2\theta,起點(diǎn)為\theta^0 = 1,學(xué)習(xí)率\alpha = 0.4,開始計(jì)算下降梯度\theta^0=1 \theta^1 = \theta^0-\alpha *J'(\theta^0)=1-0.4*2=0.2 \theta^2 = \theta^1-\alpha *J'(\theta^1)=0.2-0.4*0.4=0.04

二重積分

  • 性質(zhì)

\int \int_Dkf(x,y)d \sigma = k\int\int_Df(x,y)d \sigma
\int \int_D[f(x,y) \pm g(x,y)]d \sigma = \int\int_Df(x,y)d \sigma + \int\int_Dg(x,y)d \sigma
\int \int_Df(x,y)d \sigma = \int\int_{D_1} f(x,y)d \sigma + \int\int_{D_2} f(x,y)d \sigma

結(jié)束語

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