????概率可以說(shuō)是和生活最息息相關(guān)的數(shù)學(xué)了嘲恍，從搖號(hào)買(mǎi)車(chē)買(mǎi)房、買(mǎi)彩票到天氣預(yù)測(cè)着绷、股票預(yù)測(cè)蛔钙、人工智能等，背后都有概率的身影荠医。那么什么是概率吁脱？在給概率下定義之前，先從日常生活中說(shuō)起彬向，我們可能會(huì)說(shuō)兼贡，某樓盤(pán)搖號(hào)買(mǎi)房的中簽率（概率）是1/400，股票上漲的概率是5%娃胆，明天下雨的概率是90%遍希，這些話的共同點(diǎn)是都是在預(yù)測(cè)某件事在未來(lái)發(fā)生的可能性大小，而這個(gè)可能性的大小是用“概率”這個(gè)概念來(lái)度量的里烦，因此概率的定義為：概率是表示某種情況（事件）出現(xiàn)的可能性大小的度量凿蒜，值在0~1之間的禁谦，概率為0的事件為不可能事件，概率為1的事件為必然事件废封。這個(gè)定義符合我們的直覺(jué)州泊，因此特別容易理解，但是對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)漂洋，這個(gè)定義還是很籠統(tǒng)遥皂，因?yàn)檫€不能對(duì)概率執(zhí)行各種數(shù)學(xué)運(yùn)算。為此刽漂，還要引入更抽象的數(shù)學(xué)定義演训，不過(guò)，在正式引入數(shù)學(xué)定義之前贝咙，先介紹一些更基本的概念样悟。
1.試驗(yàn)和事件
????試驗(yàn)是一個(gè)廣泛的術(shù)語(yǔ)，包含各種各樣的人為主動(dòng)做的科學(xué)實(shí)驗(yàn)颈畸，如拋硬幣乌奇，擲骰子，公證處搖號(hào)等眯娱，也包括被動(dòng)對(duì)客觀事物的調(diào)查礁苗、觀察，例如預(yù)測(cè)下雨情況徙缴。在概率論中试伙，把滿足以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：
1.試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；
2.每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)于样，并且能事先知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果或者雖然不知道所有結(jié)果但能知道范圍 ? ? ? 的疏叨，例如手機(jī)的壽命。所有可能結(jié)果或范圍的集合稱為樣本空間穿剖，記為S蚤蔓；
3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確切知道哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。
要找到滿足這三個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)不難糊余，一些例子如下：
1.拋2枚硬幣試驗(yàn)秀又，所有可能結(jié)果集合S={(正面，正面),(反面贬芥，反面),(正面吐辙，反面),(反面，正面)}蘸劈；
2.明天下雨情況預(yù)測(cè)昏苏，所有可能結(jié)果S={雨天，晴天，陰天贤惯，下雪洼专，下冰雹}
3.觀察明天股市情況試驗(yàn)，所有結(jié)果S={上漲救巷，橫盤(pán)壶熏，下跌}
4.某款手機(jī)的壽命句柠，所有結(jié)果S={壽命>0}(這個(gè)是理論上的壽命浦译，實(shí)際上廠家會(huì)安排2年后讓手機(jī)變得很慢)
????隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間的概念雖然是數(shù)學(xué)上的，但其實(shí)對(duì)我們的生活幫助也很大溯职，例如碰到一件事精盅，先想想這是不是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果事情的后果有一種以上的結(jié)果谜酒，我們基本可以判斷這是隨機(jī)試驗(yàn)叹俏，那么我們就要想想，這件事可能的結(jié)果有哪些僻族，有沒(méi)有可能遺漏的粘驰，這叫三思而后行，而不是頭腦發(fā)熱不顧后果去做述么，再加上后面了解到的計(jì)算每種結(jié)果的可能性蝌数。
????言歸正傳，我們繼續(xù)看“事件”的概念度秘。樣本空間里的每一個(gè)結(jié)果稱為樣本點(diǎn)或者基本事件顶伞，一個(gè)或多個(gè)樣本點(diǎn)或基本事件的集合構(gòu)成事件。在擲骰子試驗(yàn)中剑梳，樣本空間由6種點(diǎn)數(shù)的樣本點(diǎn)構(gòu)成（1唆貌，2，3垢乙，4锨咙，5，6）追逮，那么每個(gè)樣本點(diǎn)是一個(gè)基本事件酪刀，其單個(gè)或多個(gè)組合構(gòu)成事件，例如偶數(shù)點(diǎn)（2羊壹，4蓖宦，6）構(gòu)成偶數(shù)點(diǎn)事件，奇數(shù)點(diǎn)（1油猫，3稠茂，5）構(gòu)成奇數(shù)點(diǎn)事件。
? ? 基本概念介紹完了，現(xiàn)在可以來(lái)看概率的數(shù)學(xué)定義睬关。
1.1.4?概率公理化定義
? ? 概率公理化定義是由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲窳_夫完成的诱担，定義了公理之后，大家就可以在公理所描述內(nèi)容的基礎(chǔ)上电爹，推演出更多的內(nèi)容蔫仙。所謂的公理，就是不證自明的丐箩，所謂的不證自明摇邦，即他可以明確的告訴你，我就是對(duì)的屎勘，雖然看起來(lái)強(qiáng)詞奪理施籍，但卻不是指鹿為馬，硬把錯(cuò)誤當(dāng)正確且不容置疑概漱，實(shí)際上公理符合我們的常識(shí)認(rèn)知丑慎，例如兩條平行直線不相交，在直覺(jué)是沒(méi)有問(wèn)題的瓤摧。
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????柯?tīng)柲窳_夫
????我們來(lái)看概率柯氏公理化定義竿裂，柯氏公理體系中引入三元體（Ω，F(xiàn)照弥，P）腻异，第一個(gè)元素Ω代表所有抽象集合，Ω的基本元素是ω产喉，表示為基本事件捂掰，換句話說(shuō)，Ω是由ω組成的集合曾沈。第二個(gè)元素F表示事件的集合这嚣，前面已經(jīng)提過(guò)，事件是由一個(gè)和若干個(gè)基本事件構(gòu)成塞俱，而每個(gè)事件有自己的發(fā)生的可能性大小姐帚，即概率的大小，概率根據(jù)事件的情況而定障涯，換句話說(shuō)罐旗，概率是事件的函數(shù)，接下來(lái)看第三個(gè)元素P即表示概率唯蝶，對(duì)于F中的任意事件A的概率九秀，用P(A)表示。概率P還必須滿足以下三個(gè)公理：
A.公理1：任何事件的概率都是非負(fù)的且小于等于1粘我，即1≥P(A)≥0
B.公理2：樣本空間的概率P(Ω)=1鼓蜒，空集的概率P(?)=0
C.公理?3：對(duì)任一系列互不相交的事件E1痹换，E2，...都弹，有P()=
娇豫。
公理1說(shuō)明，任何事件A的概率在0到1之間畅厢，公理2說(shuō)明冯痢，Ω是必然事件，其概率定義為0框杜，而空集作為不可能事件浦楣，其概率定義為0。到這里霸琴，我們可以看出椒振，這把我們?cè)谧铋_(kāi)始提到的概率定義已經(jīng)包含進(jìn)來(lái)了，而這里使用了更抽象的方式描述梧乘。再來(lái)看看公理3，公理3的公式看起來(lái)很不友好庐杨，其主要說(shuō)的是选调，任意互不相交事件，至少有一事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件發(fā)生的概率之和灵份。所謂的事件相交仁堪，指的是兩個(gè)事件具有相同的樣本點(diǎn)，例如擲骰子填渠，事件A是得到點(diǎn)數(shù){1,2},事件B得到的點(diǎn)數(shù){1,3}弦聂，因?yàn)槭录嗀和B有共同的樣本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)1，因此事件A和事件B是相交的氛什，我們定義事件A是得到點(diǎn){1}莺葫，定義事件B是得到點(diǎn){2，3枪眉，4}捺檬，由于A和B沒(méi)有共同的樣本點(diǎn)，因此A和B不相交贸铜，再定義一個(gè)事件C為事件A和事件B的并集堡纬，所謂的并集，表示至少事件A發(fā)生或者事件B發(fā)生蒿秦，那么事件C的概率P(C)=P(A)+P(B)烤镐。
