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不動點定理是非常重要的定理每篷，可以證明算子方程Ax=x解的存在性瓣戚，甚至唯一性，凝縮原理應(yīng)該是最基礎(chǔ)的不動點定理焦读，巴拿赫不動點定理子库，之前學(xué)習(xí)泛函分析的時候也介紹過，巴拿赫不動點定理和迭代法矗晃，這個定理保證了迭代法的成立仑嗅。
9.22
凝縮函數(shù)的定義，也稱為壓縮映射张症，一個區(qū)域經(jīng)過壓縮映射的作用會不斷變小仓技，直觀的考慮，無窮次應(yīng)用后俗他，就變成一個點了脖捻。
9.23
完備度量空間中的壓縮映射確定唯一的不動點，完備性非常關(guān)鍵兆衅，可以保證柯西序列的收斂性地沮，也就是不動點的存在性。
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反函數(shù)定理要求映射連續(xù)可微羡亩，這個條件看起來似乎有些過高摩疑，因為連續(xù)性已經(jīng)可以保證局部的良好性質(zhì)，不過畏铆，連續(xù)函數(shù)是可以非常古怪的雷袋，我們在生活中宣稱的連續(xù)，流暢更多的是二階可導(dǎo)連續(xù)辞居，甚至無窮階可導(dǎo)楷怒。所以寨腔，使用經(jīng)驗去認(rèn)識數(shù)學(xué)概念往往會造成很大的偏差。按我的理解的話率寡，導(dǎo)數(shù)保證了切空間的存在迫卢，連續(xù)保證了切空間的流暢切換，切空間之間的可逆性容易證明冶共，也就是線性代數(shù)的基本應(yīng)用乾蛤。或者稱為坐標(biāo)變換捅僵。
9.24
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這個就是線性代數(shù)的內(nèi)容家卖，參數(shù)之間的互相表示。
9.25
開集就是局部庙楚，拓?fù)渲械幕驹鼐褪情_集上荡，所以可以認(rèn)為在每個元素上定義了映射關(guān)系，是逐點的馒闷。
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局部一一的酪捡，而不是整體一一的，要充分理解這句話纳账，就需要考慮空間的幾何構(gòu)造逛薇，也就是拓?fù)鋵W(xué)，局部的不同連接方式可以獲得拓?fù)洳坏葍r的整體圖景疏虫，最簡單的例子就是直線和圓的拓?fù)洳坏葍r永罚，雖然都可以表示為一維空間。
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隱函數(shù)定理感覺上是與向量空間的直和有關(guān)卧秘，相對于原空間和附加空間的直和的推廣映射呢袱，由于連續(xù)可微函數(shù)在局部可以被導(dǎo)數(shù)所逼近，所以在局部是線性的翅敌，所以視為向量空間就沒有太大的問題羞福。我們可以看到，這類函數(shù)的各種性質(zhì)都需要線性代數(shù)理論證明哼御，因為他們其實是一致的坯临。
9.26
這個記號其實就反映了直和分解的內(nèi)容焊唬，將一個線性變換分解為兩個部分恋昼，原空間和正交補(bǔ)空間。
9.27
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非常熟悉的內(nèi)容赶促，線性方程的矩陣求解法液肌。
9.28
隱函數(shù)定理說明了連續(xù)可微函數(shù)的局部性態(tài)和導(dǎo)數(shù)所成線性空間沒有區(qū)別。
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秩定理是和維數(shù)有關(guān)的鸥滨，或者說矩陣的秩嗦哆，算子的秩谤祖。反映了非退化部分的維數(shù)
9.30
這個定義就是關(guān)于零空間和值空間。比如維數(shù)定理老速，
9.31
射影就是不變子空間粥喜，也就是一個同構(gòu)。
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直和分解橘券，一個是不變的部分额湘，一個是歸零的部分
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其實就把不變子空間顯明的給出了
9.32
看得有點迷糊，用了很多不必要的符號旁舰，簡單來說锋华，連續(xù)可微函數(shù)F有兩部分，一個是保持自身箭窜，一個是退化為零毯焕。
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講的有些不清不楚的，零空間與任意數(shù)的交磺樱，還是這個數(shù)纳猫，雖然看起來好像變成了一個空間，但這個空間沒有包含變化竹捉。就像等能量面一樣续担，不論面上的點怎么移動，能量都是一個定值活孩，所以物遇，可以認(rèn)為水平集就是等值超曲面。
這個定理本質(zhì)上還是說明了連續(xù)可微函數(shù)在局部等同于函數(shù)導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的線性變換憾儒。
感覺清晰了不少询兴，估計可以去看微分拓?fù)涞膬?nèi)容了，連續(xù)可微函數(shù)是一個線性變換的逼近起趾，而連續(xù)函數(shù)是多項式函數(shù)的逼近诗舰，由此可見差別還是非常大的。多項式可以具有很多高次項训裆，相應(yīng)的性質(zhì)也非常的復(fù)雜眶根。看來由連續(xù)函數(shù)空間到連續(xù)可微函數(shù)空間跳躍的太過了边琉，而連續(xù)可微函數(shù)空間到光滑函數(shù)空間属百，差別又過小了。這可能就是廣義導(dǎo)數(shù)和索伯列夫空間提出的根據(jù)变姨，把這個跳躍描述的更加精細(xì)族扰。
