對稱是自然界中最常見的一種現(xiàn)象，無論是動(dòng)物還是植物的身體秃殉，大都具有對稱性坝初。
在我國的建筑中，從故宮博物院到普通民居复濒，就是現(xiàn)代樓房脖卖，也大都注重對稱。
幾何中的軸對稱巧颈，是指在一個(gè)平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊袖扛，直線兩旁的部分能夠完全重合砸泛。這條直線就是對稱軸十籍，它是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。
這個(gè)知識(shí)點(diǎn)近年來常見于八年級唇礁、中考和高考勾栗。2020-2021學(xué)年北京理工大學(xué)附中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷第25題，就考查了這一知識(shí)點(diǎn)盏筐。
我們先來看一下題：如圖围俘，已知等腰△ABC中，∠BAC=30°琢融，AB=AC界牡，∠PAB=α，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D漾抬，連接AD宿亡，連接BD交AP于點(diǎn)G，連接CD交AP于點(diǎn)E纳令，交AB于點(diǎn)F挽荠。
（1）當(dāng)α=15°時(shí)，
①按要求畫出圖形平绩，
②求出∠ACD的度數(shù)圈匆；
③探究DE與BF的倍數(shù)關(guān)系并加以證明；
（2）在直線AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中（0°<α<75°）捏雌，當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)臭脓，利用備用圖直接求出α的值為????。
第一大問的第一問并無什么難度腹忽，按題意畫好的圖形如圖二来累。
從圖中可知，點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AP對稱窘奏，AP是線段BD的垂直平分線嘹锁。
所以AD=AB，△ABD為等腰三角形着裹，△ABG≌△ADG领猾，∠PAD=∠PAB=α。
當(dāng)α=15°時(shí)骇扇，∠PAD=15°摔竿，∠PAB=30°
在△ACD中，AD=CD少孝，∠DAC=∠BAC+∠DAB=60°继低。
所以△ACD為等邊三角形，∠ACD=60°稍走。
再來看第三問袁翁，探究DE與BF的倍數(shù)關(guān)系柴底。
這兩條線段在圖形中很難看出有直接的聯(lián)系，更不要說倍數(shù)關(guān)系了粱胜，但可以利用軸對稱的概念進(jìn)行轉(zhuǎn)換柄驻。
如圖三，連接BE焙压，E是直線AP上鸿脓，AP垂直平分BD。
所以BE=DE涯曲。只要證明BE和BF的倍數(shù)關(guān)系就可以了野哭。
我們回頭看一下第二問的結(jié)論：△ACD為等邊三角形，∠BAC=∠DAB=30°掀抹。
所以AB平分∠CAD虐拓。
因?yàn)椋冗吶切雾斀瞧椒志€傲武，底邊上的高和中線“三線合一”蓉驹。
所以，AB垂直平分CD揪利，△BEF為RT△态兴。
△ABD為等腰三角形，∠ABD=∠ADB=75°疟位。
因?yàn)檎叭螅螦DC=60°，所以甜刻，∠BDC=15°绍撞。
因?yàn)椋螧EF是△BDE的一個(gè)外角得院，△BDE也是等腰三角形傻铣，
所以，∠BEF=∠BDE+∠DBE=30°祥绞。
RT△BEF中泊藕，∠BEF=30°幌陕，這個(gè)角對應(yīng)邊長度是斜邊長度的一半，所以BE=2BF友酱。
所以节沦，DE=2BF辅搬。
第二大問是一個(gè)填空題涩哟，但難度并不比第一大問小埋虹。
我們先來分析一下題意，只說了△AEF為等腰三角形時(shí)虹统，并沒有說哪兩條邊相等弓坞，這就需要分類討論隧甚〕道螅可能有三種情況AE=AF渡冻、AE=EF、AF=EF忧便。
要證明等腰三角形族吻，可以通過證明兩底角相等的方式進(jìn)行，我們可以利用△AEF和△BCF構(gòu)成的“8字模型”來幫助證明珠增。
根據(jù)題意超歌，我們可以知道，∠ABC=75°蒂教，∠BCD=α巍举；所以∠BFC=∠AFE=105°-α。
我們先看第一種情況AE=AF凝垛，如圖四懊悯。
則∠EAF=α，∠AEF=∠AFE=105°-α梦皮。
2（105°-α）+α=180°炭分，α=30°。
第二種情況AE=EF剑肯，如圖五捧毛。
則∠AFE=105°-α=∠EAF=α，α=52.5°让网。
第三種情況AF=EF呀忧。
此時(shí)α=75°，點(diǎn)D在CA的延長線上溃睹，點(diǎn)E點(diǎn)F與點(diǎn)A重合而账，如圖六。
當(dāng)然了丸凭，這也不在0°<α<75°的題意討論范圍之內(nèi)福扬。
所以第二大問的答案是30°或52.5°。
