和差倍問題
年齡問題的三個基本特征：
①兩個人的年齡差是不變的坠狡；
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的淹遵；
③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的口猜；
歸一問題的基本特點：
問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”透揣，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示济炎。
關鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量。
植樹問題
雞兔同籠問題
基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題辐真、假設問題须尚，就是把假設錯的那部分置換出來；
基本思路：
①假設侍咱，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）耐床；
②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差楔脯，找出這個差是多少撩轰；
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；
④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{整堪嫂，消去出現(xiàn)的差偎箫。
基本公式：
①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)）
②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）
關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
盈虧問題
基本概念：一定量的對象溉苛，按照某種標準分組镜廉，產(chǎn)生一種結果：按照另一種標準分組弄诲，又產(chǎn)生一種結果愚战，由于分組的標準不同，造成結果的差異齐遵，由它們的關系求對象分組的組數(shù)或對象的總量寂玲。
基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化梗摇，根據(jù)這個關系求出參加分配的總份數(shù)拓哟，然后根據(jù)題意求出對象的總量。
基本題型：
①一次有余數(shù)伶授，另一次不足断序；?
基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差
②當兩次都有余數(shù)；? ?
基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差
③當兩次都不足糜烹；? ? ? ? ?
基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差
基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的违诗。
關鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。
牛吃草問題
基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份疮蹦，根據(jù)兩次不同的吃法诸迟，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因愕乎，即可確定草的生長速度和總草量阵苇。
基本特點：原草量和新草生長速度是不變的。
關鍵問題：確定兩個不變的量感论。
基本公式：
生長量=（較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間-短時間）绅项；
總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量；
周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律
周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中比肄，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)快耿。
周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。
關鍵問題：確定循環(huán)周期薪前。
閏年：一年有366天润努；
①年份能被4整除；
②如果年份能被100整除示括，則年份必須能被400整除铺浇；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除垛膝；
②如果年份能被100整除鳍侣，但不能被400整除丁稀；
平均數(shù)
基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)
? ? ? ? ? ? ? ? ? 總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)
? ? ? ? ? ? ? ? ? 總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)
? ? ? ? ? ? ? ②平均數(shù)=基準數(shù)＋每一個數(shù)與基準數(shù)差的和÷總份數(shù)
基本算法：
①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進行計算.
②基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關系倚聚，確定一個基準數(shù)线衫；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù)；以基準數(shù)為標準惑折，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差授账；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)惨驶；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和白热，就是所求的平均數(shù)，具體關系見基本公式②
抽屜原理
抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里粗卜，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體屋确。
例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和续扔，那么就有以下四種情況：①4=4+0+0? ②4=3+1+0? ③4=2+2+0? ④4=2+1+1
? ? ? 觀察上面四種放物體的方式攻臀，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體纱昧。
抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里刨啸，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:
? ? ? ①k=[n/m ]+1個物體：當n不能被m整除時砌些。
? ? ? ②k=n/m個物體：當n能被m整除時呜投。
理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。
? ? ? 例[4.351]=4存璃；[0.321]=0仑荐；[2.9999]=2；
關鍵問題：構造物體和抽屜纵东。也就是找到代表物體和抽屜的量粘招，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。
定義新運算
基本概念：定義一種新的運算符號偎球，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算洒扎。
基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入衰絮，轉化為加減乘除的運算袍冷，然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算猫牡。
關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義胡诗。
注意事項：
? ? ? ①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。
? ? ? ②每個新定義的運算符號只能在本題中使用煌恢。
數(shù)列求和
等差數(shù)列：在一列數(shù)中骇陈，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)瑰抵，就叫做等差數(shù)列你雌。
基本概念：
首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示二汛；
項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)婿崭，一般用n表示；
公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差习贫，一般用d表示逛球；
通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示苫昌；
數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量幸海，如果己知其中三個祟身，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量物独，如果己知其中三個袜硫，就可以求這第四個。
基本公式：通項公式：an = a1+（n－1）d挡篓；
? ? ? ? ? ? ? 通項＝首項＋（項數(shù)一1) ×公差婉陷；
? ? ? ? ? ? ? 數(shù)列和公式：sn= (a1+ an)×n÷2；
? ? ? ? ? ? 數(shù)列和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2官研；
? ? ? ? ? ? 項數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d＋1秽澳；
? ? ? ? ? ? 項數(shù)=（末項-首項）÷公差＋1；
? ? ? 公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）戏羽；
? ? ? ? ? 公差=（末項－首項）÷（項數(shù)－1）担神；
關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式始花；
二進制及其應用
十進制：用0～9十個數(shù)字表示妄讯，逢10進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義酷宵，十位上的2表示20亥贸，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4浇垦。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意：N0=１炕置；N１=N（其中N是任意自然數(shù)）
二進制：用0～1兩個數(shù)字表示，逢2進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義讹俊。
= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1垦沉。
十進制化成二進制：
①根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)仍劈，直到商為0厕倍，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。
②先找出不大于該數(shù)的2的n次方贩疙，再求它們的差讹弯，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0这溅，按照二進制展開式特點即可寫出组民。
加法乘法原理和幾何計數(shù)
加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法悲靴，在第二類方法中有m2種不同方法……臭胜，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法癞尚。
關鍵問題：確定工作的分類方法耸三。
基本特征：每一種方法都可完成任務。
乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行浇揩，做第1步有m1種方法仪壮，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法胳徽，第n步總有mn種方法积锅，那么完成這件任務共有：m1×m2....... ×mn種不同的方法。
關鍵問題：確定工作的完成步驟养盗。
基本特征：每一步只能完成任務的一部分缚陷。
直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡爪瓜。
直線特點：沒有端點蹬跃，沒有長度。
線段：直線上任意兩點間的距離铆铆。這兩點叫端點蝶缀。
線段特點：有兩個端點，有長度薄货。
射線：把直線的一端無限延長翁都。
射線特點：只有一個端點；沒有長度谅猾。
①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點數(shù)一1）柄慰；
②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）鳍悠；
③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：
④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)
質數(shù)與合數(shù)
質數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)坐搔，這個數(shù)叫做質數(shù)藏研，也叫做素數(shù)。
合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外概行，還有別的約數(shù)蠢挡，這個數(shù)叫做合數(shù)。
質因數(shù)：如果某個質數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)凳忙，那么這個質數(shù)叫做這個數(shù)的質因數(shù)业踏。
分解質因數(shù)：把一個數(shù)用質數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù)涧卵。通常用短除法分解質因數(shù)勤家。任何一個合數(shù)分解質因數(shù)的結果是唯一的。
分解質因數(shù)的標準表示形式：N=柳恐，其中a1伐脖、a2、a3……an都是合數(shù)N的質因數(shù)胎撤，且a1<a2<a3<……<an晓殊。
求約數(shù)個數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互質數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質數(shù)伤提。
約數(shù)與倍數(shù)
約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)认烁，b就叫做a的約數(shù)肿男。
公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)却嗡；其中最大的一個舶沛，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。
最大公約數(shù)的性質：
1窗价、? 幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)如庭，所得的幾個商是互質數(shù)。
2撼港、? 幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)坪它。
3、? 幾個數(shù)的公約數(shù)帝牡，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)往毡。
4、? 幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m靶溜，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m开瞭。
例如：12的約數(shù)有1懒震、2、3嗤详、4个扰、6、12葱色；
? ? ? 18的約數(shù)有：1、2冬筒、3恐锣、6、9舞痰、18土榴；
那么12和18的公約數(shù)有：1、2响牛、3玷禽、6；
那么12和18最大的公約數(shù)是：6呀打，記作（12矢赁，18）=6；
求最大公約數(shù)基本方法：
1贬丛、分解質因數(shù)法：先分解質因數(shù)撩银，然后把相同的因數(shù)連乘起來。
2豺憔、短除法：先找公有的約數(shù)额获，然后相乘。
3恭应、輾轉相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除抄邀，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)昼榛。
公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)境肾，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個胆屿，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)奥喻。
12的倍數(shù)有：12、24莺掠、36衫嵌、48……；
18的倍數(shù)有：18彻秆、36楔绞、54结闸、72……；
那么12和18的公倍數(shù)有：36酒朵、72桦锄、108……；
那么12和18最小的公倍數(shù)是36蔫耽，記作[12结耀，18]=36；
最小公倍數(shù)的性質：
1匙铡、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)图甜。
2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積鳖眼。
求最小公倍數(shù)基本方法：1黑毅、短除法求最小公倍數(shù)；2钦讳、分解質因數(shù)的方法
數(shù)的整除
一矿瘦、基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數(shù)a愿卒，除以一個自然數(shù)b缚去，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)琼开，那么叫做a能被b整除或b能整除a易结，記作b|a。
2柜候、常用符號：整除符號“|”衬衬，不能整除符號“”；因為符號“∵”改橘，所以的符號“∴”；
二玉控、整除判斷方法：
1. 能被2飞主、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除高诺。
2. 能被4碌识、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除虱而。
3. 能被8筏餐、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除牡拇。
4. 能被3魁瞪、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3穆律、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除导俘。
②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除峦耘。
6. 能被11整除：
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。
②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除旅薄。
③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除辅髓。
7.? 能被13整除：
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除少梁。
三洛口、整除的性質：
1. 如果a、b能被c整除凯沪，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除第焰。
2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)著洼，那么a乘以c也能被b整除樟遣。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除身笤，那么a也能被c整除豹悬。
4. 如果a能被b、c整除液荸，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除瞻佛。
余數(shù)及其應用
基本概念：對任意自然數(shù)a、b娇钱、q伤柄、r，如果使得a÷b=q……r文搂，且0
余數(shù)的性質：
①余數(shù)小于除數(shù)适刀。
②若a、b除以c的余數(shù)相同煤蹭，則c|a-b或c|b-a笔喉。
③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。
④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)硝皂。
余數(shù)常挚、同余與周期
一、同余的定義：
①若兩個整數(shù)a稽物、b除以m的余數(shù)相同奄毡，則稱a、b對于模m同余。
②已知三個整數(shù)a杀糯、b奉芦、m憨闰，如果m|a-b霉涨，就稱a役电、b對于模m同余抄腔，記作a≡b(mod m)改抡，讀作a同余于b模m售淡。
二斤葱、同余的性質：
①自身性：a≡a(mod m)；
②對稱性：若a≡b(mod m)揖闸，則b≡a(mod m)揍堕；
③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)汤纸，則a≡ c(mod m)衩茸；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)贮泞，則a+c≡b+d(mod m)楞慈，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)啃擦，c≡d(mod m)囊蓝，則a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)令蛉，則an≡bn(mod m)聚霜；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數(shù)c珠叔，則a×c≡ b×c(mod m×c)蝎宇；
三、關于乘方的預備知識：
①若A=a×b祷安，則MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四姥芥、被3、9汇鞭、11除后的余數(shù)特征：
①一個自然數(shù)M撇眯，n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）虱咧；
②一個自然數(shù)M，X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和锚国，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和腕巡，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五血筑、費爾馬小定理：如果p是質數(shù)（素數(shù)）绘沉，a是自然數(shù)煎楣，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)车伞。
分數(shù)與百分數(shù)的應用
基本概念與性質：
分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份择懂，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。
分數(shù)的性質：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外）另玖，分數(shù)的大小不變困曙。
分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)谦去。
百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)慷丽。
常用方法：
①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。
②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系鳄哭。
③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答要糊。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數(shù)關系；把不同的標準（在分數(shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率妆丘。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量锄俄。
④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立勺拣，計算出相應的結果奶赠，然后再進行調整，求出最后結果宣脉。
⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中车柠，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化塑猖，而這個量是始終固定不變的竹祷。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化羊苟，總量不變塑陵。B、總量發(fā)生變化蜡励，但其中有的分量不變令花。C、總量和分量都發(fā)生變化凉倚，但分量之間的差量不變化兼都。
⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關系單一化稽寒、量率關系明朗化扮碧。
⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。
⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。
分數(shù)大小的比較
基本方法：
①通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同慎王，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關系比較蚓土。
②通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關系比較赖淤。
③基準數(shù)法：確定一個標準蜀漆，使所有的分數(shù)都和它進行比較。
④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時咱旱，分子或分母越大的分數(shù)值越大确丢。
⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外莽龟，可以用同倍率的變化關系比較分數(shù)的大小蠕嫁。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）
⑥轉化比較方法：把所有分數(shù)轉化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。
⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)毯盈，結果得數(shù)和1進行比較剃毒。
⑧大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較搂赋。
⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小赘阀，然后確定原數(shù)的大小。
⑩基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)脑奠，每一個數(shù)與基準數(shù)比較基公。
分數(shù)拆分
一、? 將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：
完全平方數(shù)
完全平方數(shù)特征：
1.末位數(shù)字只能是：0宋欺、1轰豆、4、5齿诞、6酸休、9；反之不成立祷杈。
2.除以3余0或余1斑司；反之不成立。
3.除以4余0或余1但汞；反之不成立宿刮。
4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立私蕾。
5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)僵缺；反之不成立。
6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)踩叭；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)谤饭。
7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
比和比例
比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項揉抵，比號后面的數(shù)叫比的后項。
比值：比的前項除以后項的商嗤疯，叫做比值冤今。
比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變茂缚。
比例：表示兩個比相等的式子叫做比例戏罢。a:b=c:d或
比例的性質：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積(交叉相乘)，ad=bc脚囊。
正比例：若A擴大或縮小幾倍龟糕，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比悔耘。
反比例：若A擴大或縮小幾倍讲岁，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比衬以。
比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺缓艳。
按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配看峻。
綜合行程
基本概念：行程問題是研究物體運動的阶淘，它研究的是物體速度、時間互妓、路程三者之間的關系.
基本公式：路程=速度×時間溪窒；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間
關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向冯勉。
相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）
追及問題：追及時間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）
流水問題：順水行程=（船速+水速）×順水時間
逆水行程=（船速-水速）×逆水時間
順水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=（順水速度+逆水速度）÷2
水速=（順水速度-逆水速度）÷2
流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度澈蚌，參照以上公式。
過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程珠闰，參照以上公式惜浅。
主要方法：畫線段圖法
基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）伏嗜、時間（相遇時間坛悉、追及時間）、速度（速度和承绸、速度差）中任意兩個量裸影，求第三個量。
工程問題
基本公式：
①工作總量=工作效率×工作時間
②工作效率=工作總量÷工作時間
③工作時間=工作總量÷工作效率
基本思路：
①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）军熏；
②假設一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)）轩猩，利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.
關鍵問題：確定工作量、工作時間均践、工作效率間的兩兩對應關系晤锹。
經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合彤委。
邏輯推理
基本方法簡介：
①條件分析—假設法：假設可能情況中的一種成立鞭铆，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況焦影，說明該假設情況是不成立的车遂，那么與他的相反情況是成立的。例如斯辰，假設a是偶數(shù)成立舶担，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)彬呻。
②條件分析—列表法：當題設條件比較多衣陶，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析废岂。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中祖搓，表格的行、列分別表示不同的對象與情況湖苞，觀察表格內(nèi)的題設情況拯欧，運用邏輯規(guī)律進行判斷。
③條件分析——圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時财骨，就可用連線表示兩個對象之間的關系镐作，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)隆箩，沒有連線則表示否定的狀態(tài)该贾。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識捌臊，沒有表示不認識杨蛋。
④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算理澎，根據(jù)計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件逞力。
⑤簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法糠爬，并從特殊情況推廣到一般情況寇荧，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決执隧。
幾何面積
基本思路：
在一些面積的計算上揩抡，不能直接運用公式的情況下户侥，一般需要對圖形進行割補，平移峦嗤、旋轉蕊唐、翻折、分解烁设、變形刃泌、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算署尤；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。
常用方法：
1.連輔助線方法
2.利用等底等高的兩個三角形面積相等亚侠。
3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點曹体，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。
4.利用特殊規(guī)律
①等腰直角三角形硝烂，已知任意一條邊都可求出面積箕别。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）
②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等滞谢。
③圓的面積占外接正方形面積的78.5%串稀。
時鐘問題—快慢表問題
基本思路：
1.按照行程問題中的思維方法解題；
2.不同的表當成速度不同的運動物體狮杨；
3.路程的單位是分格（表一周為60分格）母截；
4.時間是標準表所經(jīng)過的時間；
5.合理利用行程問題中的比例關系橄教；
時鐘問題—鐘面追及
基本思路：封閉曲線上的追及問題清寇。
關鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；
? ? ? ? ? ? ? ②確定分針與時針的路程差护蝶；
基本方法：
①分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格华烟，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格持灰，即一周盔夜；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格堤魁，時針每分鐘走1／12分格喂链。
②度數(shù)方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°姨涡，分針每分鐘轉度衩藤，即6°，時針每分鐘轉度涛漂，即度赏表。
濃度與配比
經(jīng)驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系检诗，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。
溶質：溶解在其它物質里的物質（例如糖瓢剿、鹽逢慌、酒精等）叫溶質。
溶劑：溶解其它物質的物質（例如水间狂、汽油等）叫溶劑攻泼。
溶液：溶質和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液鉴象。
基本公式：溶液重量=溶質重量+溶劑重量忙菠；
溶質重量=溶液重量×濃度；
濃度=×100%=×100%
理論部分小練習：試推出溶質纺弊、溶液牛欢、溶劑三者的其它公式。
經(jīng)驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系淆游，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比傍睹。
經(jīng)濟問題
利潤的百分數(shù)=（賣價-成本）÷成本×100%；
賣價=成本×（1+利潤的百分數(shù)）犹菱；
成本=賣價÷（1+利潤的百分數(shù)）拾稳；
商品的定價按照期望的利潤來確定；
定價=成本×（1+期望利潤的百分數(shù)）腊脱；
本金：儲蓄的金額访得；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期數(shù)虑椎；
含稅價格=不含稅價格×（1+增值稅稅率）震鹉；
簡單方程
代數(shù)式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。
方程：含有未知數(shù)的等式叫方程捆姜。
列方程：把兩個或幾個相等的代數(shù)式用等號連起來传趾。
列方程關鍵問題：用兩個以上的不同代數(shù)式表示同一個數(shù)。
等式性質：等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)泥技，等式不變浆兰；等式兩邊同時乘以或除以一個數(shù)（除0），等式不變珊豹。
移項：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊簸呈；
移項規(guī)則：先移加減，后變乘除店茶；先去大括號蜕便，再去中括號，最后去小括號贩幻。
加去括號規(guī)則：在只有加減運算的算式里轿腺，如果括號前面是“+”號两嘴，則添、去括號族壳，括號里面的運算符號都不變憔辫；如果括號前面是“－”號，添仿荆、去括號贰您，括號里面的運算符號都要改變；括號里面的數(shù)前沒有“+”或“－”的拢操，都按有“+”處理锦亦。
移項關鍵問題：運用等式的性質，移項規(guī)則令境，加孽亲、去括號規(guī)則。
乘法分配率：a(b+c)=ab+ac
解方程步驟：①去分母展父；②去括號；③移項玲昧；④合并同類項栖茉；⑤求解；
方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程孵延。
解方程組的步驟：①消元吕漂；②按一元一次方程步驟。
消元的方法：①加減消元尘应；②代入消元惶凝。
不定方程
一次不定方程：含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程犬钢，由于它的解不唯一苍鲜，所以也叫做二元一次不定方程；
常規(guī)方法：觀察法玷犹、試驗法混滔、枚舉法；
多元不定方程：含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程歹颓，它的解也不唯一坯屿；
多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)巍扛，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程领跛，按照二元一次不定方程解即可；
涉及知識點：列方程撤奸、數(shù)的整除吠昭、大小比較喊括；
解不定方程的步驟：1.列方程；2.消元怎诫；3.寫出表達式瘾晃；4.確定范圍；5.確定特征幻妓；6.確定答案蹦误；
技巧總結：A、寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)肉津，同時考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)强胰；B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)妹沙；
循環(huán)小數(shù)
一偶洋、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分數(shù)的規(guī)則
①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分數(shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9距糖，9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同玄窝，最后能約分的再約分。
②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分數(shù)：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差悍引，分母的頭幾位數(shù)字是9恩脂，9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0趣斤，0的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同俩块。
二、分數(shù)轉化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：
①一個最簡分數(shù)浓领，如果分母中既含有質因數(shù)2和5玉凯，又含有2和5以外的質因數(shù)，那么這個分數(shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)联贩。
②一個最簡分數(shù)漫仆，如果分母中只含有2和5以外的質因數(shù)，那么這個分數(shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)泪幌。
