目錄:
一、巴什博弈（Bash Game）
二嫁赏、尼姆博弈(Nimm Game)
三悔橄、威佐夫博奕（Wythoff Game）
四.斐波那契博弈
五.環(huán)形博弈
一蒸其、巴什博弈（Bash Game）
情形：有n個石子帝美，每個人最少拿a個石子碍彭，最多拿b個石子，問先手贏還是后手贏.
分析：當n = a + b時,先手必輸. 推廣而來,n = k*(a + b)時悼潭，先手必輸.其他情況先手必贏.?
證明:很簡單庇忌，略了
結(jié)論:當n%(a+b) == 0 時，先手必輸女责，否則漆枚，先手必贏
二创译、尼姆博弈(Nimm Game)
情形:有3堆任意多的物品(x, y, z)抵知。兩個人輪流拿，每次只能從一堆中拿软族，至少拿一個刷喜，至多不限。拿到最后者勝利立砸。
簡要分析:
當(0,0,0)時掖疮，先手必輸
當(0,a,a)時，先手必輸颗祝，因為無論先手在一堆中拿多少個浊闪，后手總能拿同樣多個恼布，到最后還是后手拿完.
當(0,a,b)時，先手必贏搁宾，因為先手可以拿成(0,a,a),變后手必輸折汞。
結(jié)論：a^b^c = 0為先手必敗
擴展情形：n堆 結(jié)論:a1^a2^...^an = 0為先手必敗.
證明:為了證明結(jié)論，我們需要先證明兩個東西.
①我們知道0^0^0 = 0 是必敗態(tài)盖腿。那么我們來證明?a1^a2^...^an = 0 且 ai不全等于0 的條件下爽待，先手無法一步致勝.
要證明先手無法一步致勝，那就需要證明:無論如何拿翩腐，拿完后的局面:a1^a2^...^an != 0;
證明這一點:我們只能在某一堆里拿去不少于一個石子鸟款，那么只能有一個數(shù)變化了。
設我們拿的這一堆為ak,那么根據(jù)異或的自反性,ak =?a1^a2^...^an (右式中不含ak)?
顯然當ak減小了以后茂卦，上式子不成立何什。利用反證法:
設ak =?a1^a2^...^an 且 ak - d =?a1^a2^...^an (0 < d <= ak)那么 兩式相減得d = 0,與前提相悖，所以ak - d !=?a1^a2^...^an 疙筹，即
a1^a2^..^(ak - d)^.^an != 0 , 即無論如何拿富俄，拿完后的局面:a1^a2^...^an != 0; 即先手無法一步致勝，得證.
②接下來再證明一個東西:a1^a2^...^an != 0時而咆，先手一定有一種合法的方案使得拿完后的局面為a1^a2^...^an = 0.
證明：設a1^a2^...^an = k. 設k二進制中最左邊（即最高位）的1為第g位霍比。
那么a中一定存在ai,它的第g位為1(若不存在，那么第g位上a為全0)暴备。那么得出ai^k < ai.(我們知道,k的更高位都為0了,那么ai^k后第g位一定從1變成0悠瞬，不管最低位如何變化，ai^k的值一定是減小的).
所以得證.
綜合上面的證明我們可以得出一點,當且僅當先手面對a1^a2^...^an != 0的局面時才有可能贏涯捻，即,a1^a2^...^an = 0時先手必輸浅妆，a1^a2^...^an ！= 0時 先手必贏.(我們的方法是證明a1^a2^...^an = 0 不可能一步贏障癌，且a1^a2^...^an != 0時可以以合法的手段轉(zhuǎn)換成a1^a2^...^an = 0.而且總體的石子數(shù)是下降的.所以顯然最終肯定是面對a1^a2^...^an != 0局面的人贏)
三凌外、威佐夫博奕（Wythoff Game）
情形:有兩堆石子，兩個頂尖聰明的人在玩游戲涛浙，每次每個人可以從任意一堆石子中取任意多的石子或者從兩堆石子中取同樣多的石子康辑，誰先無法繼續(xù)取誰就輸了
前幾個必輸狀態(tài):
(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10)…
性質(zhì)1:假設(x,y)且 x < y,為第k個必輸狀態(tài)，x為前1~k-1必輸狀態(tài)中沒出現(xiàn)過的最小自然數(shù).那么y = x + k;
性質(zhì)2:任何一個自熱數(shù)都包含在一個且僅一個必輸狀態(tài)中.
結(jié)論:必輸狀態(tài)一定符合等式:(y - x)*(sqrt(5.0) + 1) / 2 = x;
四.斐波那契博弈
情形:有一堆石子轿亮，兩個頂尖聰明的人玩游戲疮薇，先取者可以取走任意多個，但不能全取完我注，以后每人取的石子數(shù)不能超過上個人的兩倍
結(jié)論:先手必敗按咒，當且僅當石子數(shù)為斐波那契數(shù)
五.環(huán)形博弈
情形:n個石子圍成一個環(huán),每次取一個或者取相鄰的2個（每個石子有序號）
結(jié)論:石子數(shù)<=2先手贏,否則后手贏
