今天聊一點計算機的基礎(chǔ)——浮點數(shù)，具體我們探討 IEEE754 格式的浮點數(shù)，大多數(shù)語言都采用該格式來表示小數(shù)吹散，通常又分為單精度和雙精度浮點數(shù)造锅。
在 JavaScript 中皂贩，不區(qū)分整形和小數(shù)，唯一表示數(shù)值的類型 Number 就是采用 IEEE754 格式中的雙精度浮點數(shù)來表示的会傲。
因為單精度和雙精度浮點數(shù)在原理上完全一致混卵，所以本文只集中分析雙精度浮點數(shù)。我會依次說一下原理恶阴、定義和一些結(jié)論诈胜。
原理
我們都知道任何一個數(shù)都可以用科學計數(shù)法，例如：
1.234 * 10 ^ 2 // => 123.4
其中冯事，^ 代表指數(shù)焦匈，下同。
同理昵仅，我們也可以不局限與 10 進制缓熟，采用任意進制 R，指數(shù)用 e 表示摔笤，m 表示基數(shù)够滑，正負數(shù)用 (-1) ^ S 表示，其中 S 為 0 或 1吕世，結(jié)果用 N 表示彰触，于是：
N = (-1) ^ S * m * R ^ e
這就是我們的原理，十分簡單寞冯。另外很容易得出渴析，對了任何非 0 的數(shù)，m 都可以限定在大于等于 1 且小于 R 的范圍內(nèi)吮龄，即 [1, R)俭茧。當 R = 2 的時候，m 取值為 [1, 2)漓帚∧刚可以如下表示：
m = 1 + M (0 <= M < 1)
定義
雙精度浮點數(shù)就是采用上面的原理，底數(shù) R = 2尝抖。
雙精度浮點數(shù)用 8 個字節(jié)表示毡们，也就是 64 bit。例如數(shù)值 100.25 在內(nèi)存中的情況如下：
0,10000000101,100100010~0 // ~代表了若干個 0
為了分析昧辽，我將 64 bit 分為 3 個部分衙熔。
第一部分是符號位(S)，占 1 bit搅荞，代表符號红氯，正數(shù) 0框咙，負數(shù)1。當前例子中痢甘，符號位為 0 表示這是一個正數(shù)喇嘱。
第三部分是尾數(shù)位(M)，占 52 bit塞栅，代表基數(shù)的小數(shù)部分者铜，采用二進制表示。當前例子中 100100010~0 換算成十進制的小數(shù)為 1/2 + 1/16 + 1/256 = 0.56640625放椰。
第二部分是階碼位(E)作烟，占 11 bit，代表指數(shù)部分庄敛。
因為基數(shù)始終是
1.xxx的小數(shù)俗壹，所以為了表示 0，規(guī)定當階碼和尾碼全是 0 的時候藻烤，表示值 0 绷雏。因為前面還有符號位，所有有 +0 和 -0 之分怖亭。同時規(guī)定涎显，當階碼全為 1 ，尾碼全為0 的時候兴猩，表示 ∞期吓。同理，有 +∞ 和 -∞倾芝。
因為
2^11 = 2048讨勤，排除上面兩種特殊情況，能表示的值為1~2046晨另，但是為了表示小數(shù)潭千，我們指數(shù)需要用到負數(shù)，因此我們設(shè)置一個偏碼值1023借尿，指數(shù)的實際值e = E - 1023刨晴，例如上面實例中[10000000101]2 = 1029，因此實際的指數(shù)值e = 6 = 1029 - 1023;
講解完畢路翻，關(guān)于浮點數(shù)的格式推導(dǎo)出真實值的公式也就如下：
(-1) ^ S * (1 + M) * 2 ^ (E - 1023) = N
對應(yīng)我們上面的示例：
(-1) ^ 0 * (1 + 0.56640625) * 2 ^ (1029 - 1023) = 1.56640625 * 2 ^ 6 = 100.25
是不是很簡單狈癞，沒看懂的童鞋還可以再看2遍。
結(jié)論
指數(shù) e 的取值范圍為
(1-1023) ~ (2046 - 1023)茂契，也就是-1022 ~ 1023蝶桶。基數(shù)的小數(shù)部分 M 的取數(shù)值范圍為
0 ~ (1 - 1 / (2 ^ 52))，大約是0 ~ 1掉冶。
意味著真竖，能表示數(shù)值的范圍是-(1 + 1 - 1 / (2 ^ 52)) * 2 ^ 1023 ~ (1 + 1 - 1 / (2 ^ 52)) * 2 ^ 1023儡蔓，即-1.79e+308 ~ 1.79e+308。其中最大值對應(yīng)的是 JavaScript 中的Number.MAX_VALUE疼邀。當我們用上面的公式表示一個數(shù)的時候，一旦確定了指數(shù) e 召锈，同時也確定了在該指數(shù)下所表示值的最小精度旁振，即
2 ^ (e - 52)。因此雙精度浮點數(shù)能夠表示的最小精度為2 ^ ( -1022 - 52) = 2 ^ -1074 = 5e-324涨岁，也就是我們 JavaScript 中Number.MIN_Value的值拐袜。同理，當我們要精確的表示一個整數(shù)時梢薪，也就是我們精度值要小于 1蹬铺，簡單倒推可得此時的e<= 52，也就是說秉撇，當e = 52時我們依舊能夠精確的表示一個整數(shù)甜攀。因此 JavaScript 能夠精確表示一個整數(shù)的最大值為(1 + (1 - 1 / (2 ^ 52))) * 2 ^ 52 = 2 ^ 53 - 1 = 9007199254740991，能精確表示一個整數(shù)的最小值自然就是-9007199254740991琐馆，對應(yīng)我們 JavaScript 中的Number. Number.MAX_SAFE_INTEGER和Number.MIN_SAFE_INTEGER规阀。
綜上，我們依次闡述了雙精度浮點數(shù)的原理瘦麸、定義和一些結(jié)論谁撼。而單精度浮點數(shù)只有在階碼和尾數(shù)的位數(shù)有所不同，原理完全一致滋饲，自然不用贅述厉碟。
最后，依舊是如果發(fā)現(xiàn)什么沒有闡述清楚或者有問題的地方屠缭，歡迎反饋箍鼓。
